數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的信息技術(shù)應(yīng)用
——以函數(shù)的單調(diào)性為例

楊宏英 廣東省深圳市育新學(xué)校

數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的概括反映，是建立數(shù)學(xué)法則、公式、定理的基礎(chǔ)，也是運(yùn)算、推理、判斷和證明的基石，更是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)交流的工具。[1]數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)核心知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的載體，一部分來源于現(xiàn)實(shí)世界，是由現(xiàn)實(shí)世界的事物、現(xiàn)象及其關(guān)系抽象而產(chǎn)生（函數(shù)與圓），另一部分來自數(shù)學(xué)內(nèi)部，是通過對(duì)已有數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)進(jìn)行再抽象、組合或拓展而得到的進(jìn)一步概念（復(fù)數(shù)與極限）。

準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)和理解概念，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。如果教師能夠借助信息技術(shù)合理創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生積極參與到學(xué)習(xí)中，那么學(xué)生對(duì)概念的理解將更加深入。[2]創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境可以彌補(bǔ)直接傳授結(jié)論的局限，為數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃螒B(tài)提供自然的通道，為數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)方式轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)的生成方式提供具體的環(huán)境，有利于實(shí)現(xiàn)知識(shí)“再創(chuàng)造”。[3]

下面，筆者以“十四五”職業(yè)教育國(guó)家規(guī)劃教材——高教社出版的中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊上冊(cè)《函數(shù)的單調(diào)性》為例，探索如何運(yùn)用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體的直觀描述到結(jié)構(gòu)化表達(dá)的抽象過程，加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的認(rèn)識(shí)和理解。

● 確定目標(biāo)

1.學(xué)情分析

教師利用問卷星為學(xué)生做學(xué)情前測(cè)，前測(cè)內(nèi)容包括學(xué)習(xí)方式與學(xué)習(xí)認(rèn)知水平兩個(gè)方面。

（1）學(xué)習(xí)方式。有38.96%的學(xué)生表示希望“通過師生共同創(chuàng)建活動(dòng)，探索概念的生成過程”，28.57%的學(xué)生贊同“教師畫圖分析導(dǎo)入概念”，24.68%的學(xué)生愿意“聽教師陳述定義，介紹概念”，而7.79%的學(xué)生表示會(huì)通過“自己課后百度求助”。

數(shù)據(jù)表明，學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)方式的選擇具有差異性，但其中大部分學(xué)生希望通過適當(dāng)?shù)姆绞綄?dǎo)入概念或在活動(dòng)中探索概念的生成。

（2）學(xué)習(xí)認(rèn)知水平。學(xué)生對(duì)二次函數(shù)f(x)=-x2圖像特征的認(rèn)識(shí)存在很大的偏差，只有32.47%的學(xué)生正確回答該函數(shù)圖像是開口朝下先升后降的拋物線，錯(cuò)誤率高達(dá)67.53%。對(duì)于函數(shù)在比較f(-2)與f(-3)的大小關(guān)系時(shí)，只有40.26%的學(xué)生能正確比較大小。

數(shù)據(jù)表明，中職學(xué)校學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖像及其特征缺乏清晰的認(rèn)識(shí)，數(shù)量關(guān)系比較能力有待加強(qiáng)。

2.課標(biāo)分析

《中職學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）對(duì)函數(shù)的單調(diào)性給出的內(nèi)容要求為“理解函數(shù)的單調(diào)性”，教學(xué)提示為“通過熟悉的函數(shù)圖像，幫助學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)性”。

從課標(biāo)要求可以看到，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)需要結(jié)合學(xué)生身邊熟悉的實(shí)例，從“形”出發(fā)，經(jīng)歷從具體的直觀描述到符號(hào)語言“數(shù)”的結(jié)構(gòu)化表達(dá)。

3.確定目標(biāo)

基于以學(xué)習(xí)者特征與課標(biāo)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)要求，教師將課標(biāo)中的“理解函數(shù)的單調(diào)性”拆解為“描述曲線幾何特征”“抽象出函數(shù)模型”“結(jié)構(gòu)化表達(dá)函數(shù)變化規(guī)律”三部分，以確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)。

①借助COVID-19曲線走勢(shì)直觀描述其幾何特征，培養(yǎng)直觀想象能力與洞察能力（教學(xué)目標(biāo)）。

②通過幾何畫板軌跡追蹤功能抽象出函數(shù)模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力與模型意識(shí)（重點(diǎn)）。

③通過幾何畫板數(shù)據(jù)制表功能探索函數(shù)的變化規(guī)律，用符號(hào)語言對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)化表達(dá)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)（難點(diǎn)）。

● 教學(xué)實(shí)施

1.課前

①通過問卷星做學(xué)情前測(cè)；②教師通過公眾號(hào)發(fā)布推文《解讀COVID-19圖表曲線，培養(yǎng)學(xué)生理性精神》[4]，為學(xué)生進(jìn)入本課學(xué)習(xí)預(yù)熱；③學(xué)生根據(jù)每天發(fā)布的新冠疫情信息收集數(shù)據(jù)資源，制作數(shù)字化視頻，為情境化教學(xué)提供準(zhǔn)備。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生是本課的學(xué)習(xí)者，也是信息化資源的創(chuàng)建者，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)者為中心的教學(xué)理念。

2.課中

（1）創(chuàng)設(shè)情境（5min）

在初中階段，學(xué)生已經(jīng)初步了解一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的圖像具有單調(diào)性的特征。高中階段可以創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，從直觀認(rèn)識(shí)出發(fā)，提出問題，通過任務(wù)驅(qū)動(dòng)，經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性的抽象過程。

問題1：2020年2—11月，觀察海外新冠病例確診趨勢(shì)曲線圖，請(qǐng)根據(jù)曲線走勢(shì)，說出新冠病例確診數(shù)與時(shí)間的變化關(guān)系。

問題2：2020年2—11月，觀察我國(guó)新冠病例確診趨勢(shì)曲線圖，請(qǐng)根據(jù)曲線走勢(shì)，說出新冠病例確診數(shù)與時(shí)間的變化關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：熟悉的情境容易產(chǎn)生代入感；從幾何直觀出發(fā)，發(fā)現(xiàn)曲線特征，為抽象函數(shù)模型做好鋪墊。

（2）抽象模型（8min）

用幾何畫板模擬曲線，指導(dǎo)學(xué)生多次更換f(x)=ax的底部參數(shù)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=1.66x（如圖1）與f(x)=0.2x（如下頁圖2）與疫情曲線最為契合，從而抽象出函數(shù)模型。

圖1

圖2

設(shè)計(jì)意圖：通過信息技術(shù)對(duì)疫情曲線反復(fù)實(shí)驗(yàn)抽象出函數(shù)模型，將真實(shí)情境數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。

（3）揭示本質(zhì)（8min）

為了進(jìn)一步揭示函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)涵，教師利用幾何畫板的制表功能，分析如下頁圖3所示函數(shù)圖像中函數(shù)值與自變量之間的變化關(guān)系。

圖3

設(shè)計(jì)意圖：利用信息技術(shù)呈現(xiàn)函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，使函數(shù)單調(diào)性概念的生成過程可視化，有利于函數(shù)單調(diào)性概念的理解與表達(dá)。

通過自然語言建構(gòu)增函數(shù)與減函數(shù)的概念之后，引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作討論用符號(hào)語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性，這是本課的難點(diǎn)。為突破難點(diǎn)，可以通過“問題驅(qū)動(dòng)+動(dòng)畫演示”的策略為學(xué)生創(chuàng)建思維腳手架。

問題1：對(duì)于給定區(qū)間上的增函數(shù)，當(dāng)自變量越大，函數(shù)值越大，如何用符號(hào)語言描述增函數(shù)的這種特征。

問題2：對(duì)于給定區(qū)間上的減函數(shù)，當(dāng)自變量越大，函數(shù)值越小，如何用符號(hào)語言描述增函數(shù)的這種特征。

動(dòng)畫演示：通過動(dòng)畫點(diǎn)的軌跡追蹤，確定當(dāng)x1＜x2時(shí)，f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系（如圖4）。

圖4

通過問題驅(qū)動(dòng)與函數(shù)圖像上點(diǎn)的軌跡跟蹤，得出增函數(shù)與減函數(shù)的符號(hào)語言結(jié)構(gòu)化表達(dá)模型。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從用圖形語言認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性與用自然語言描述函數(shù)的單調(diào)性過渡到用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，是一個(gè)從感性認(rèn)知上升到理性認(rèn)知，思維方式不斷優(yōu)化與深入的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生獲得更為一般的數(shù)學(xué)概念模型，發(fā)展函數(shù)建模素養(yǎng)。

為了深化學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解，還需要進(jìn)一步討論單調(diào)區(qū)間上自變量x1與x2的任意性。為此，設(shè)計(jì)問題3。

問題3：對(duì)于給定區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)，若x1∈D、x2∈D，且x1＜x2時(shí)，有f(x1)＜f(x2)，那么該函數(shù)是增函數(shù)嗎？

動(dòng)畫演示：如圖5所示，如果給定區(qū)間上的自變量不滿足任意性，那么可能存在變量x2、x3，雖然滿足x3＜x2，但f(x3)＞f(x2)，不符合增函數(shù)的關(guān)鍵特征。究其原因，是自變量沒有滿足“任意性”所致。

圖5

設(shè)計(jì)意圖：利用信息技術(shù)演示不滿足函數(shù)單調(diào)性對(duì)自變量的“任意性”要求，出現(xiàn)不符合增函數(shù)特征的反例，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念嚴(yán)謹(jǐn)性的理解。

（4）問題解決（14min）

教師推送函數(shù)單調(diào)性高考真題，利用雨課堂APP的“學(xué)生視角”功能了解學(xué)生情況。學(xué)生在給定時(shí)間內(nèi)解答“雨課堂”推送的學(xué)習(xí)任務(wù)，在“雨課堂”后臺(tái)可收藏學(xué)習(xí)資源。

設(shè)計(jì)意圖：通過高考真題實(shí)戰(zhàn)演練，提高學(xué)生的問題解決能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；實(shí)時(shí)測(cè)評(píng)，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)；及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并調(diào)整教學(xué)策略。

（5）歸納總結(jié)（5min）

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)函數(shù)的單調(diào)性。學(xué)生用思維導(dǎo)圖梳理出函數(shù)單調(diào)性的脈絡(luò)。

設(shè)計(jì)意圖：用“幕布”做思維導(dǎo)圖，形成學(xué)習(xí)管理習(xí)慣。

3.課后

教師通過雨課堂APP收集學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，針對(duì)性地推送函數(shù)單調(diào)性作業(yè)。

● 教學(xué)反思

1.關(guān)于教學(xué)策略

通過信息技術(shù)創(chuàng)建基于真實(shí)問題的學(xué)習(xí)情境，創(chuàng)新數(shù)學(xué)概念教學(xué)方式，可避免知識(shí)的刻板復(fù)制。充分利用信息技術(shù)重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化知識(shí)的呈現(xiàn)形式，將抽象概念形象化、靜態(tài)概念動(dòng)態(tài)化，有利于深化數(shù)學(xué)概念的理解，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。本課例創(chuàng)設(shè)的情境來自學(xué)生熟悉的生活事實(shí)，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，而且有利于學(xué)生形成面對(duì)全球公共危機(jī)，更加需要構(gòu)建人類命運(yùn)共同體的價(jià)值觀念。

此外，信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境要考慮三個(gè)要素：

①師生共建。學(xué)生不僅是資源的消費(fèi)者，還是資源的創(chuàng)建者。充分利用學(xué)生的數(shù)字化意識(shí)與信息技術(shù)能力，師生共建學(xué)習(xí)資源，在資源建設(shè)中體驗(yàn)概念產(chǎn)生的背景與過程。

②問題導(dǎo)向。利用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，要以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，通過問題驅(qū)動(dòng)激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生做中學(xué)、創(chuàng)中學(xué)、用中學(xué)，在協(xié)作與對(duì)話中，尋求問題解決方案。

③注重本質(zhì)。信息化教學(xué)資源力求體現(xiàn)情境的鮮活性與時(shí)代特點(diǎn)，更重要的是在資源建設(shè)過程中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的相關(guān)性，注重通過信息技術(shù)揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

2.關(guān)于學(xué)習(xí)主體

將信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，使學(xué)生成為函數(shù)單調(diào)性概念“再造”的積極建構(gòu)者；基于信息化創(chuàng)建學(xué)習(xí)資源與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)情境的數(shù)學(xué)化過程，從幾何直觀到數(shù)學(xué)抽象，從數(shù)學(xué)模型到符號(hào)語言的結(jié)構(gòu)化表達(dá)，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，體驗(yàn)成功，獲得有意義的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)者為中心的教學(xué)理念。

3.關(guān)于學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

根據(jù)布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)原理，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該圍繞“目標(biāo)、教學(xué)、評(píng)價(jià)”三個(gè)維度展開，形成“學(xué)教評(píng)一致性”的教學(xué)設(shè)計(jì)原則。本課例教學(xué)實(shí)施的每一個(gè)環(huán)節(jié)都圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)展開，力求目標(biāo)、教學(xué)、評(píng)價(jià)兩兩匹配。

對(duì)比課前測(cè)與課后測(cè)的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成度較好。課前，只有32.47%的學(xué)生正確回答函數(shù)f(x)=-x2的幾何特征，課后，60.83%的學(xué)生能正確解答更復(fù)雜的函數(shù)f(x)=x2-2x+3的函數(shù)單調(diào)區(qū)間，學(xué)生的認(rèn)知增量達(dá)到將近50%；課前，對(duì)給出的函數(shù)在比較f(-2)與f(-3)的大小關(guān)系時(shí)，只有40.26%的學(xué)生通過計(jì)算正確比較大小，課后，45.83%的學(xué)生能根據(jù)函數(shù)單調(diào)性概念規(guī)范表達(dá)該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。學(xué)生答題的正確率不高，可見關(guān)于反比例函數(shù)問題，是學(xué)生的薄弱點(diǎn)，需要在后續(xù)教學(xué)中進(jìn)一步強(qiáng)化。雖然前后增量只有5%，但是后者的難度更大。前后比對(duì)發(fā)現(xiàn)，本課題的信息技術(shù)教學(xué)策略，對(duì)實(shí)現(xiàn)“學(xué)教評(píng)一致性”具有借鑒意義。