帶電微粒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中兩類臨界問(wèn)題討論
——從2020年全國(guó)I卷第18題說(shuō)起

胡冬梅 ，黃小春

1.重慶市第一中學(xué)，重慶 400030

2.重慶市禮嘉中學(xué)校，重慶 401122

帶電微粒在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題是高中物理學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)也是物理高考的一個(gè)熱點(diǎn)。本文以2020年全國(guó)I卷第18題為例，對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行探討和歸納。

1 例題呈現(xiàn)

試題[2020年物理高考（全國(guó)I卷）第18題]一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖1中虛線所示，為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為( )

圖1 原題附圖

由此可知，帶電微粒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與入射速度無(wú)關(guān)，微粒運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡所對(duì)的圓心角越大，在磁場(chǎng)中完成運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間越長(zhǎng)?？梢圆捎梅趴s圓思維解決該問(wèn)題。

（1）當(dāng)半徑滿足r≤0.5R和r≥1.5R時(shí)，微粒分別從ca、bd所在的直線范圍中射出，R為半圓的半徑，如圖2，微粒在邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)半圓，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間則等于半個(gè)周期。

圖2 帶電微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡分析圖

圖3 放縮圓示意圖

2 方法歸納

筆者歸納了學(xué)生解答此題遇到的主要問(wèn)題：（1）審題時(shí)，不清楚“微粒具有各種速率”和“在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的微粒”的物理含義；（2）分析微粒在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的各種情況時(shí)，不能理解題目中“在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子”的物理含義，更不會(huì)挖掘其隱含的臨界條件。該類問(wèn)題在高中物理各類習(xí)題中，多次出現(xiàn)例如“剛好”“最大”“至少”“范圍”等特定的詞語(yǔ)，這些特定的詞語(yǔ)其實(shí)就是在暗示該問(wèn)題為臨界問(wèn)題。因此，學(xué)生在分析題意時(shí)，必須要重點(diǎn)關(guān)注這些特殊語(yǔ)言。下面我們根據(jù)兩類模型來(lái)分析微粒在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)常見的兩類型的臨界問(wèn)題，并總結(jié)其方法。

2.1 微粒的速度方向不變，大小改變

由于速度v方向不變，當(dāng)速度大小逐漸增加時(shí)，其臨界狀態(tài)為運(yùn)動(dòng)軌跡與有界磁場(chǎng)相切。解題思路為根據(jù)已知微粒的入射位置及出射方向，找到微粒在有界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡，再用數(shù)學(xué)的幾何關(guān)系分析和計(jì)算微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑。

例1如圖4所示，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)從矩形區(qū)域ad邊的中點(diǎn)O處垂直磁場(chǎng)射入一速度方向跟ad邊夾角為37°、大小為v0的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為m，電量為+q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，重力影響忽略不計(jì)。試求粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0的大小范圍？

圖4 例1題圖

例1中，微粒從同一位置方向相同但速度大小不同進(jìn)入磁場(chǎng)，通過(guò)縮放圖容易得到，臨界態(tài)為微粒將會(huì)剛好與邊界ab相切，同理微粒也會(huì)與邊界dc相切（圖5）。然后分析其臨界態(tài)的物理含義：微粒出射速度方向與邊界相切。找到出射速度的方向和入射速度的方向即可以得到微粒在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑。

圖5 帶電微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡分析圖

綜合所述：要使微粒能從ab邊直線范圍上射出磁場(chǎng)，則入射速度v0的大小應(yīng)該為：

2.2 微粒的速度大小不變，方向改變

當(dāng)微粒速度大小不變，朝不同方向發(fā)射，求它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)的時(shí)間時(shí)，臨界狀態(tài)為微粒在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡具有最大圓心角。根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)知道微粒在有界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，再由幾何長(zhǎng)度關(guān)系求解微粒勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑大小。

圖6 例2題圖

審題時(shí)著重分析微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間的物理含義。帶電微粒以相同的速率從空間一點(diǎn)沿不同的方向射入磁場(chǎng)，它們的運(yùn)動(dòng)半徑相同，所以微粒運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心將構(gòu)成以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓，微粒可以到達(dá)有界磁場(chǎng)任意地方，易知要使時(shí)間最長(zhǎng)，則微粒在磁場(chǎng)中軌跡圓的弦最長(zhǎng)。

解析對(duì)微粒在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，則

要使微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，則微粒從B點(diǎn)射出，故圓心為O1（圖7）。由幾何關(guān)系可得：Rsinα=r，即 α=30°

圖7 帶電微粒運(yùn)動(dòng)軌跡分析圖

3 總結(jié)

帶電微粒在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，是歷年物理高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的內(nèi)容，而帶電微粒在各種有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題和狀態(tài)的分析，又是高中學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)物理情景（或物理表象）向另一個(gè)物理情景（或物理表象）轉(zhuǎn)變時(shí)，存在一個(gè)分界幾何點(diǎn)，我們把這個(gè)幾何點(diǎn)叫臨界點(diǎn)，也把物體在這種情景下所出現(xiàn)的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)，與該狀態(tài)相關(guān)的物理參量則被稱為臨界參量，涉及此類問(wèn)題就是臨界問(wèn)題。本文分析討論了兩類微粒在磁場(chǎng)中臨界問(wèn)題的解法：（1）微粒的速度v方向不變，大小改變；（2）微粒的速度v大小不變，方向改變。

在解決帶電微粒在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)，可以通過(guò)以下幾個(gè)步驟來(lái)分析：

（1）發(fā)現(xiàn)臨界問(wèn)題。通常臨界狀態(tài)的存在具有相當(dāng)?shù)碾[蔽性，審題時(shí)應(yīng)注意題目的描述，力求準(zhǔn)確地分析和尋找題目所出現(xiàn)臨界點(diǎn)的物理參量，并逐漸展開分析帶電微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡。有時(shí)可以用極限法暴露出粒子運(yùn)動(dòng)的情況，從而發(fā)現(xiàn)臨界問(wèn)題。

（2）確定臨界位置。確定了臨界問(wèn)題后，學(xué)生理清帶電微粒在磁場(chǎng)中的受力情況，并且依據(jù)題干給出的約束條件以及運(yùn)動(dòng)特征確定臨界位置（入射位置或出射位置）。

（3）解決問(wèn)題。確定臨界位置后，根據(jù)臨界狀態(tài)的特征（比如，最長(zhǎng)弦或者速度方向與邊界相切），分析微粒在磁場(chǎng)邊界的出射方向或出射點(diǎn)，找到微粒運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心和半徑，從而求解所需的問(wèn)題。

因臨界問(wèn)題的隱蔽性特點(diǎn)且變化較大，故教師要有意引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)準(zhǔn)確分析所蘊(yùn)含的物理含義，準(zhǔn)確區(qū)分、歸納和總結(jié)經(jīng)典的物理題型，為今后的物理學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。