問(wèn)題鏈視角下GeoGebra在數(shù)學(xué)公式教學(xué)中的運(yùn)用
——以“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”教學(xué)為例

楊雪藜

“數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)試圖以問(wèn)題鏈為載體，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，在問(wèn)題解決的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)再創(chuàng)造，在再創(chuàng)造過(guò)程中建構(gòu)新知識(shí)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法?！保?］指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的問(wèn)題鏈教學(xué)的關(guān)鍵在于圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)，確定高質(zhì)量的主干問(wèn)題及鋪設(shè)序列化子問(wèn)題。［2］

GeoGebra是適用于所有教育階段的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它將幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分匯集在一個(gè)易于使用的軟件包中。教師通過(guò)合理運(yùn)用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示組件，可以在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中根據(jù)學(xué)情進(jìn)行個(gè)性化設(shè)計(jì)，將技術(shù)融入教學(xué)，幫助學(xué)生在短暫的課堂上以直觀而生動(dòng)的感受快速而準(zhǔn)確地理解抽象的知識(shí)。

高中數(shù)學(xué)公式教學(xué)的知識(shí)內(nèi)容抽象程度高、思維難度大，在教學(xué)中往往存在以下三個(gè)方面的困難：第一，公式推導(dǎo)枯燥、教學(xué)方式單一；第二，學(xué)生理解艱難、接受程度不足；第三，條件結(jié)論抽象、記憶方法較差。在此背景下，問(wèn)題鏈的引入和GeoGebra軟件的合理使用能夠最大限度地將抽象的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直觀印象，幫助學(xué)生理解和記憶并進(jìn)一步完成應(yīng)用能力的提升。

一、問(wèn)題鏈視角下GeoGebra在高中數(shù)學(xué)公式教學(xué)中的運(yùn)用策略

等比數(shù)列是繼等差數(shù)列之后學(xué)生學(xué)習(xí)的重要數(shù)列。在學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本概念、遞推公式、通項(xiàng)公式與等差數(shù)列前n項(xiàng)和之后，學(xué)生能識(shí)別和處理簡(jiǎn)單的等差數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題。但是學(xué)生在學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)比較困難：等比數(shù)列不容易通過(guò)實(shí)物進(jìn)行具象化理解，在沒(méi)有極限知識(shí)的情況下學(xué)生對(duì)等比數(shù)列收斂與發(fā)散的定義較難直接掌握和記憶，無(wú)窮多項(xiàng)和等于定值與直覺(jué)相悖使得理解公式難上加難。

在高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容中，公式推導(dǎo)是教學(xué)的重要組成部分?；诘炔顢?shù)列的相關(guān)知識(shí)，通過(guò)問(wèn)題鏈的構(gòu)建，可以引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中由基礎(chǔ)任務(wù)向難度任務(wù)進(jìn)發(fā)。另外，教師適當(dāng)運(yùn)用技術(shù)手段，通過(guò)GeoGebra動(dòng)態(tài)軟件對(duì)等比數(shù)列求和進(jìn)行可視化展示，推動(dòng)問(wèn)題鏈的構(gòu)建，最終解決問(wèn)題，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從知識(shí)到技能再到應(yīng)用的能力飛躍。下面，筆者結(jié)合“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)案例，在數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈視角下，討論GeoGebra軟件輔助高中數(shù)學(xué)公式教學(xué)的策略。

1.情境化引入問(wèn)題，提升課堂教學(xué)的生動(dòng)性

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們回憶等比數(shù)列的定義，如何確定一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列呢？我們的身邊哪些實(shí)際的物品可以組成一個(gè)等比數(shù)列？

問(wèn)題2：存款和借款問(wèn)題與等比數(shù)列有關(guān)。若一個(gè)人每個(gè)月都買(mǎi)入a元銀行理財(cái)產(chǎn)品，每個(gè)月理財(cái)回報(bào)率固定為r，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算一下，如果像這樣堅(jiān)持理財(cái)n個(gè)月，一共可獲得多少錢(qián)？請(qǐng)大家把計(jì)算表達(dá)式寫(xiě)出來(lái)。

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題1關(guān)聯(lián)舊知識(shí)，在課堂伊始幫助學(xué)生回憶等比數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)之比為定值這一知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)用生活中常見(jiàn)的等比數(shù)列實(shí)例幫助學(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。問(wèn)題2從生活情境回歸抽象問(wèn)題，引出等比數(shù)列求和模型，引導(dǎo)學(xué)生列出一個(gè)求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的算式。

2.參與式聚焦問(wèn)題，強(qiáng)化概念理解的主動(dòng)性

（1）發(fā)現(xiàn)特征，掌握計(jì)算方法

問(wèn)題3：觀察等比數(shù)列的求和算式Sn=a1+a1r+a1r2+…+a1rn-1，有什么特點(diǎn)？

問(wèn)題4：回顧等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程。如何讓等比數(shù)列求和表達(dá)式中這么多項(xiàng)變?yōu)橛邢薜摹⑷菀子?jì)算的幾項(xiàng)？

【設(shè)計(jì)意圖】針對(duì)問(wèn)題3，學(xué)生可能會(huì)從求和算式的項(xiàng)數(shù)、相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系、任意一項(xiàng)公比的次數(shù)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系等多方面作答。在此基礎(chǔ)上，教師幫助學(xué)生類(lèi)比等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在等式左右兩邊同乘公比r，消掉中間項(xiàng)，為接下來(lái)講授“錯(cuò)位相減”法作鋪墊。

（2）應(yīng)用公式，鞏固新知

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題5和問(wèn)題6安排學(xué)生獨(dú)立或小組合作完成，目的是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題的要點(diǎn)是確定數(shù)列的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)和公比，從而根據(jù)公式列出含有未知數(shù)的方程，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)等比數(shù)列求和公式的記憶和靈活應(yīng)用，進(jìn)一步強(qiáng)化方程思維在解題中的運(yùn)用。

3.實(shí)踐中延伸問(wèn)題，深化公式應(yīng)用的可視性

（1）分類(lèi)討論，實(shí)驗(yàn)探索

問(wèn)題7：現(xiàn)在我們已經(jīng)掌握了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，請(qǐng)問(wèn)各位同學(xué)思考，銀行理財(cái)在賺錢(qián)和虧錢(qián)時(shí)，公比r有什么不同？能否把等比數(shù)列按公比的取值進(jìn)行分類(lèi)？下面，讓我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)探究等比數(shù)列的增減性與公比之間的關(guān)系。

【實(shí)驗(yàn)一】實(shí)驗(yàn)過(guò)程：學(xué)生通過(guò)平板或電腦上的GeoGebra軟件，打開(kāi)提前設(shè)置好的GeoGebra動(dòng)態(tài)演示文件，其中橫坐標(biāo)為項(xiàng)數(shù)、縱坐標(biāo)為數(shù)列中的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的數(shù)值，公比設(shè)置為滑動(dòng)條、首項(xiàng)為20，取等比數(shù)列前10項(xiàng)的點(diǎn)標(biāo)在該坐標(biāo)系中。學(xué)生觀察等比數(shù)列中前10項(xiàng)值的趨勢(shì)，然后拖動(dòng)滑動(dòng)條、改變公比的值，繼續(xù)觀察數(shù)列中前10項(xiàng)值的變化。（見(jiàn)圖1）

圖1 等比數(shù)列增減性的實(shí)驗(yàn)

結(jié)論：當(dāng)公比|r|＞1時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)的絕對(duì)值隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)|r|＜1時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)的絕對(duì)值隨項(xiàng)數(shù)的增大而減小，且越來(lái)越接近0。

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題7是對(duì)問(wèn)題1的延伸和擴(kuò)展，學(xué)生雖不需要學(xué)習(xí)數(shù)列增減性的準(zhǔn)確定義，但也能夠通過(guò)觀察，判斷圖中各點(diǎn)的變化趨勢(shì)。小組討論時(shí)學(xué)生之間互相幫助，實(shí)驗(yàn)結(jié)束后總結(jié)出公比的大小決定了等比數(shù)列的變化趨勢(shì)。教師在學(xué)生代表發(fā)言之后進(jìn)行簡(jiǎn)單總結(jié)和分類(lèi)，即可得到結(jié)論。

（2）形成概念，實(shí)驗(yàn)求證

問(wèn)題8：對(duì)于等比數(shù)列而言，當(dāng)公比滿(mǎn)足|r|＜1且r≠0時(shí)，稱(chēng)該數(shù)列是收斂的；反之，稱(chēng)數(shù)列是發(fā)散的。請(qǐng)同學(xué)們思考，收斂數(shù)列的項(xiàng)有什么特點(diǎn)？當(dāng)項(xiàng)數(shù)比較大時(shí)，一個(gè)收斂數(shù)列的第n項(xiàng)與第（n+1）項(xiàng)的大小關(guān)系是什么？

猜想：根據(jù)實(shí)驗(yàn)一的結(jié)果，隨項(xiàng)數(shù)的增大，收斂數(shù)列中項(xiàng)的絕對(duì)值不斷減小。當(dāng)項(xiàng)數(shù)比較大時(shí)，收斂數(shù)列中第（n+1）項(xiàng)和第n項(xiàng)都很小，小到非常接近0。

問(wèn)題9：收斂數(shù)列無(wú)窮多項(xiàng)和的大小是否變化？

圖2 收斂等比數(shù)列無(wú)窮多項(xiàng)和公式的可視化證明

結(jié)論：當(dāng)數(shù)列收斂時(shí)，圖中小直角三角形的底邊長(zhǎng)即為數(shù)列中每一項(xiàng)的值，大三角形底邊長(zhǎng)則是無(wú)數(shù)個(gè)小三角形底邊長(zhǎng)的和。也就是說(shuō)，等比數(shù)列無(wú)窮多項(xiàng)的和等于大三角形的底邊長(zhǎng)。因此，收斂等比數(shù)列的無(wú)窮多項(xiàng)和是常數(shù)。

問(wèn)題10：你能根據(jù)圖形嘗試推導(dǎo)這個(gè)和的表達(dá)式嗎？收斂等比數(shù)列無(wú)窮多項(xiàng)和的大小與什么有關(guān)？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)極限的概念，如果直接從等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式出發(fā)，在|r|＜1的條件下，用rn→0來(lái)解釋無(wú)窮項(xiàng)和公式與前n項(xiàng)和公式的差別，符號(hào)的陌生感會(huì)進(jìn)一步擠壓學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思考空間。通過(guò)直觀圖形的展示，學(xué)生既能找到相似三角形比的關(guān)系，又能觀察到底邊長(zhǎng)與數(shù)列中前幾項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣能在規(guī)避無(wú)窮與極限概念的同時(shí)，直接展示無(wú)窮項(xiàng)的幾何意義、給出收斂數(shù)列無(wú)窮項(xiàng)和的直觀解釋?zhuān)桓匾氖牵瑢W(xué)生可以通過(guò)小組合作的方式自行推導(dǎo)無(wú)窮項(xiàng)和公式，其中的獲得感和成就感非常有利于學(xué)生對(duì)公式的理解和記憶。

二、總結(jié)和討論

問(wèn)題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)數(shù)學(xué)核心觀念設(shè)置與之關(guān)聯(lián)的高質(zhì)量主干問(wèn)題，圍繞主干問(wèn)題鋪設(shè)利于學(xué)生思考與探究的序列化子問(wèn)題。公式教學(xué)可以依托問(wèn)題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)，從問(wèn)題情境出發(fā)，讓學(xué)生在探究與合作中感知公式、在公式變形中應(yīng)用公式。

在本文的教學(xué)案例中，學(xué)生從實(shí)際生活情境出發(fā)，在問(wèn)題鏈教學(xué)的引導(dǎo)下，從等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的“錯(cuò)位相減”代數(shù)推導(dǎo)學(xué)習(xí)任務(wù)推進(jìn)到收斂數(shù)列無(wú)窮項(xiàng)和公式幾何證明的挑戰(zhàn)任務(wù)上。通過(guò)GeoGebra的輔助教學(xué)手段，學(xué)生能在自主操作的情境下進(jìn)入問(wèn)題鏈，并與小組同伴進(jìn)行實(shí)時(shí)溝通、分析和展示，既能實(shí)現(xiàn)公式的可視化、具象化，又能在分析與解決問(wèn)題的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)公式的深度理解。

GeoGebra動(dòng)態(tài)演示軟件本身的“動(dòng)態(tài)”特性能將具有一定跨度的主干問(wèn)題串聯(lián)起來(lái)，在問(wèn)題鏈教學(xué)中驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、交流和思考，同時(shí)又通過(guò)圖形在變化過(guò)程中展示出的邏輯關(guān)聯(lián)給學(xué)生提供一定的提示與啟發(fā)，幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在架構(gòu)，達(dá)到對(duì)核心觀念的理解與運(yùn)用。教師也可以通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)變量、幾何代替代數(shù)等方法，對(duì)抽象的公式和概念進(jìn)行可視化表達(dá)，增強(qiáng)學(xué)生的理解能力和接受程度。

需要特別指出的是，GeoGebra軟件雖然比較容易上手操作，但是要想完成一個(gè)符合教學(xué)邏輯和操作步驟的動(dòng)態(tài)演示文件，仍需要大量嘗試、學(xué)習(xí)、思考和實(shí)踐。但軟件本身帶來(lái)的廣闊創(chuàng)意空間，在目前常見(jiàn)的所有數(shù)學(xué)軟件中是較具優(yōu)勢(shì)的。