模仿、遷移、創(chuàng)新：數(shù)學(xué)建模教學(xué)的三重進(jìn)階*

張 陽

數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。數(shù)學(xué)建模并非求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，它需要用數(shù)學(xué)的眼光將生活問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)思想方法解決模型，最終用數(shù)學(xué)語言表達(dá)、解釋生活問題。

數(shù)學(xué)建模是學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)與理性精神的綜合體現(xiàn)。教師需要指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模仿、遷移到創(chuàng)新的三重進(jìn)階，最終實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的素養(yǎng)化、自覺化。

一、模仿：進(jìn)入數(shù)學(xué)建模世界

模仿是教與學(xué)的基本方法，有著極其豐富的內(nèi)涵，主要體現(xiàn)在以下三個方面：一是指人類本能的模仿，二是有明確目的的模仿，三是以創(chuàng)新為目標(biāo)的模仿。數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的模仿，主要是指導(dǎo)學(xué)生模仿教師的解題過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模思想方法，體驗數(shù)學(xué)建模過程，進(jìn)入數(shù)學(xué)建模世界。

數(shù)學(xué)建模中的模仿可以分為三個環(huán)節(jié)：一是教師示范數(shù)學(xué)建模過程，二是學(xué)生模仿數(shù)學(xué)建模，三是以學(xué)生為主提煉建模步驟，形成建模方法。

1.課例展示

【例1】測量操場上旗桿的高度：（1）成立測量小組；（2）研究測量目標(biāo)和測量方法；（3）制訂兩套測量方案（含測量精度）；（4）明確小組成員的任務(wù)分工；（5）實施現(xiàn)場測量，記錄并處理測量數(shù)據(jù)；（6）小組內(nèi)交流填寫《測量工作報告表》；（7）班級成果交流。

教師示范方案1，構(gòu)造平面三角形。隨后安排學(xué)生分組討論。學(xué)生給出方案2、方案3及方案4。（見圖1）

圖1 測量旗桿高度方案

“測量旗桿高度”本質(zhì)是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)知識抽象現(xiàn)實問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想，用到的數(shù)學(xué)學(xué)科知識有三角函數(shù)、解三角形。4種方案中，方案1構(gòu)造平面三角模型，方案2構(gòu)造等腰直角三角形模型，方案3構(gòu)造立體模型，方案4構(gòu)造平面幾何模型。方案1與方案2對測量條件要求較高，方案3與方案4可以測量處于較為復(fù)雜環(huán)境的物體的高度。

2.關(guān)于模仿的思考

從教育學(xué)的角度來說，“知行合一”是模仿的理論依據(jù)，教學(xué)所達(dá)成的能力與素養(yǎng)是隱性的，不可以直觀呈現(xiàn)。在教學(xué)中教師能夠傳授可見的定義、定理，可言述的方法、技巧，還有不可言傳的思想感悟等。學(xué)生只有在模仿中進(jìn)行體驗實踐，才有可能形成具有個性化的能力素養(yǎng)。

在開展教學(xué)活動時，教師應(yīng)注意以下四個方面。第一，模仿的提煉環(huán)節(jié)是對數(shù)學(xué)建模的升華，是由特殊到一般的內(nèi)化過程，需要通過圖表等形式輔助理解抽象意義。第二，教師示范指在教師的指導(dǎo)下學(xué)生進(jìn)行建模活動。在此過程中，教師應(yīng)保證建?；顒拥倪M(jìn)度、質(zhì)量與安全。第三，模仿活動與建模活動在形態(tài)上相似度越高，模仿活動的難度就越低，需要教師依據(jù)學(xué)情合理設(shè)計作業(yè)。第四，模仿在教學(xué)中占有的比例需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生認(rèn)知水平共同決定。

二、遷移：形成數(shù)學(xué)建模能力

遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響。現(xiàn)代遷移理論主要有三種，一是心理學(xué)角度的結(jié)構(gòu)遷移理論，探討人的內(nèi)部因素對遷移的影響；二是知識角度的建構(gòu)主義遷移理論，認(rèn)為知識結(jié)構(gòu)越完善，學(xué)習(xí)遷移的能力越強；三是教育學(xué)角度的類比遷移理論，認(rèn)為學(xué)習(xí)是利用已經(jīng)掌握的問題解決方法去解決新問題。以上理論有兩個共同觀點，一是認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平在遷移中處于核心地位，二是外部環(huán)境和主體相互作用對遷移具有重要影響。

1.課例展示

【例2】防止水管凍裂，需用保溫帶纏繞在管道外部。若管道的直徑為3cm，保溫帶寬度為3cm，為節(jié)省材料,如何進(jìn)行包扎才能使保溫帶全部包住管道且不重疊。

（圖2）

將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)模型，需要數(shù)據(jù)收集與處理、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng)。

2.關(guān)于遷移的思考

數(shù)學(xué)模型選擇是遷移質(zhì)量的關(guān)鍵。一個好的數(shù)學(xué)模型需要有三個條件，一是有較強的實際背景，有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察身邊的生活模型；二是數(shù)學(xué)模型結(jié)果與實際問題結(jié)果相近，具有可實踐性；三是數(shù)學(xué)模型需要經(jīng)歷多次修改、不斷完善。例2中還有許多地方值得商榷改進(jìn)，如保溫帶有一定的彈性，這種彈性很難控制。

對于數(shù)學(xué)建模能力的遷移評價可以從四個維度進(jìn)行：一是敏感程度，即學(xué)生對生活中的現(xiàn)象能否主動用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行觀察；二是知識維度，即學(xué)生對于生活問題的抽象過程能否自覺聯(lián)結(jié)到相關(guān)數(shù)學(xué)知識；三是技能維度，即學(xué)生在建模過程中能否選擇最優(yōu)方案；四是反思維度，即學(xué)生能否對建模過程進(jìn)行反思、改進(jìn)，探尋建模中的不足。

三、創(chuàng)新：實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模自覺

數(shù)學(xué)建模自覺是學(xué)習(xí)發(fā)展到一定程度后的必然結(jié)果，它的養(yǎng)成需要學(xué)生具有系統(tǒng)的學(xué)科知識儲備、理性精神、批判性思維和良好的隱性知識。自覺數(shù)學(xué)建模的直接表現(xiàn)是理性思維，是在對照已有知識的基礎(chǔ)上，提出新的概念、觀點、方法，是對原有知識的一種增值活動。創(chuàng)新環(huán)節(jié)可以分為三個階段：研究問題、提出新穎觀點、分析論證。

【例3】請同學(xué)們閱讀這樣一條短信。“尊敬的客戶：您的戶號12053900000于2022年4月產(chǎn)生水費80.25元，用量25噸。請盡快繳納。如逾期未繳，我司將于2022年5月20日開始按日收取水費違約金。

師：這段文字是吳江水務(wù)公司發(fā)給用戶的短信，請同學(xué)們提取短信中涉及的數(shù)學(xué)問題。

生：水費與用水量之間是什么關(guān)系？繳納時間與繳納費用間的數(shù)學(xué)關(guān)系如何表達(dá)？

師：非常好，現(xiàn)在我們選取問題“水費與用水量之間的關(guān)系”作為研究對象，探究吳江地區(qū)水費與用水量間的函數(shù)關(guān)系式。從例3中的文字信息提煉出的數(shù)學(xué)信息無法形成完整的函數(shù)關(guān)系，我們上網(wǎng)查詢蘇州市居民用水價格表如下。

居民生活用水階梯第一階梯第二階梯第三階梯戶均年用水量0m3～216m3（含）216m3～300m3（含）大于300m3價格3.41元/m3 4.34元/m3 7.13元/m3

2.關(guān)于創(chuàng)新的思考

依據(jù)創(chuàng)新的概念與特征，數(shù)學(xué)建模需要在現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型中的問題，最后解釋問題。創(chuàng)新需要良好的學(xué)科素養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)有兩個層次，一是在學(xué)科問題的背景下，應(yīng)用知識解決學(xué)科問題，如常見的數(shù)學(xué)應(yīng)用題；二是現(xiàn)實問題的解決中，自覺應(yīng)用學(xué)科知識解決問題，如例3的水費問題。

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成是一個漸進(jìn)過程，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)同樣遵循這一規(guī)律，需要經(jīng)歷模仿、遷移、創(chuàng)新三重進(jìn)階，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以依據(jù)學(xué)情與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，選取對應(yīng)策略組織教學(xué)，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模能力，實現(xiàn)素養(yǎng)培育。