可變脈沖控制下的多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間一致性研究

隆騰，楊莎莎，王茜竹

（1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065；2.重慶郵電大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 400065）

0 概述

近年來(lái)，多智能體系統(tǒng)（Multi-Agent Systems，MASs）的分布式控制與優(yōu)化廣泛應(yīng)用于無(wú)人機(jī)、機(jī)器人集群的協(xié)同作業(yè)［1-3］，但在已有研究中MASs 通信環(huán)境通常為理想狀態(tài)，然而在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中系統(tǒng)可能會(huì)受到環(huán)境干擾的隨機(jī)變化［4-5］，例如信息傳輸?shù)碾S機(jī)噪聲干擾、隨機(jī)故障等。而且由于外部工作環(huán)境復(fù)雜，智能體之間在傳輸過(guò)程中往往會(huì)受到外部隨機(jī)波動(dòng)等概率因素引起的隨機(jī)擾動(dòng)［6-7］，因此一致性問(wèn)題隨著研究的深入逐漸引起關(guān)注［8］。

目前，有許多控制方法可以實(shí)現(xiàn)MASs 一致性，如自適應(yīng)控制［9］、牽引控制［10］、魯棒控制［11］等。脈沖控制作為一種有效的非連續(xù)控制策略，只允許每個(gè)節(jié)點(diǎn)在脈沖瞬間傳輸信息，這大大降低了網(wǎng)絡(luò)的通信負(fù)載。文獻(xiàn)［12］提出基于固定拓?fù)?、切換拓?fù)浜屯獠扛蓴_的3 種脈沖控制協(xié)議，以實(shí)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間網(wǎng)絡(luò)的一致性。文獻(xiàn)［13］研究具有輸入飽和度的分布式脈沖一致協(xié)議，以漸近地保證動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)一致。但是，上述研究對(duì)于脈沖間隔的設(shè)定比較固定，也就是預(yù)先設(shè)定脈沖間隔。由于實(shí)際系統(tǒng)的物理約束，因此智能體之間的信息交換不能準(zhǔn)確地在預(yù)先設(shè)定好的脈沖采樣時(shí)間內(nèi)發(fā)生。為了獲得更靈活的脈沖采樣時(shí)刻，文獻(xiàn)［14］提出在脈沖時(shí)間窗內(nèi)約束脈沖輸入的可變脈沖控制策略。文獻(xiàn)［15］研究了有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲蠱ASs 具有領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者一致的可變脈沖控制策略，這種策略允許脈沖采樣時(shí)間隨機(jī)發(fā)生在脈沖時(shí)間窗內(nèi)，從而使得系統(tǒng)更加適用于現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景。

雖然上述工作研究了如何降低系統(tǒng)的通信負(fù)載并使其更加適用于現(xiàn)實(shí)情況，但是所用方法為漸近一致性，忽略了系統(tǒng)達(dá)到一致時(shí)所需要的時(shí)間。與漸近一致性相比，有限時(shí)間一致性提高了系統(tǒng)的收斂速度［16-17］。但是，有限時(shí)間一致性的時(shí)間計(jì)算需要依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。因此，有研究人員提出了固定時(shí)間一致性，使系統(tǒng)的一致性時(shí)間不再依賴于初始條件［18-19］。另外，在實(shí)際的通信環(huán)境中，由于外部干擾或鏈路故障，智能體之間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可能會(huì)改變［20-21］，因此可以引入切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。目前，關(guān)于脈沖控制與固定時(shí)間一致相結(jié)合的研究采用單階控制，然而由于MASs 應(yīng)用場(chǎng)景的復(fù)雜性和多樣化，單階控制的收斂狀態(tài)相對(duì)單一，靈活性較差。

受到上述工作的啟發(fā)，本文研究可變脈沖控制和固定時(shí)間一致性相結(jié)合的雙階控制（Two-Stage Control，TSC）策略。TSC 策略根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需求進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整收斂周期，通過(guò)增加脈沖個(gè)數(shù)來(lái)應(yīng)對(duì)通信資源稀缺的問(wèn)題，但如果系統(tǒng)需要獲得更快的收斂速度且網(wǎng)絡(luò)條件良好，則可以適當(dāng)減少脈沖數(shù)量。通過(guò)在領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者情況下的具有切換拓?fù)涞腗ASs數(shù)值仿真案例以驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)與系統(tǒng)模型

假設(shè)1在Gσ(t)中存在有向生成樹并且領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)。

假設(shè)2設(shè)φ(·)和h(·)為非線性函數(shù)并滿足以下Lipschi tz 條件：

在式（5）中：Γ和Σ為已知常數(shù)矩陣；‖ · ‖表示歐氏范數(shù)。

假設(shè)3 可變脈沖控制階段遵循如下規(guī)則：

2 理論分析與主要結(jié)果

本文設(shè)計(jì)將可變脈沖控制和固定時(shí)間一致相結(jié)合的TSC 策略，因此給出如下有效的TSC 協(xié)議：

在式（11）中：δ(t-tn)為沖激函數(shù)；bn為脈沖控制增益；脈沖序列0 ＜t0＜t1＜…＜tn＜…并且+∞；定 義并設(shè)xi(t) 為右連續(xù)；?表示固定時(shí)間階段的控制參數(shù)；?、k、p、q都為奇數(shù)并滿足?＜k和p＞q；T1表示脈沖控制階段和固定時(shí)間階段的分界時(shí)間，也表示固定時(shí)間階段的初始時(shí)間；T2表示系統(tǒng)達(dá)到一致時(shí)具體的預(yù)設(shè)時(shí)間。

如圖1 所示，系統(tǒng)收斂周期分為兩個(gè)階段，分別是可變脈沖控制階段和固定時(shí)間連續(xù)控制階段。為了進(jìn)一步提升系統(tǒng)收斂速度，并準(zhǔn)確計(jì)算出系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時(shí)間，本文在有限時(shí)間一致控制器的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)引入了固定時(shí)間一致性理論，與文獻(xiàn)［16-17］相比，本文采用的固定時(shí)間一致的預(yù)設(shè)時(shí)間與系統(tǒng)的初始條件無(wú)關(guān)，該方法能夠根據(jù)相關(guān)參數(shù)準(zhǔn)確地計(jì)算出系統(tǒng)達(dá)到一致時(shí)的時(shí)間，比有限時(shí)間一致更準(zhǔn)確。此外，本文中的固定時(shí)間一致控制協(xié)議沒(méi)有使用會(huì)引起系統(tǒng)顫振的符號(hào)函數(shù)，這對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)有較大的提升。

圖1 TSC 示意圖Fig.1 Schematic diagram of TSC

在第一個(gè)控制階段，結(jié)合控制器式（11）和系統(tǒng)式（1），可以將脈沖控制系統(tǒng)定義如下：

若上述條件滿足，則系統(tǒng)式（1）可以通過(guò)控制器式（11）達(dá)到具有領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者的固定時(shí)間一致。

證明在第一個(gè)控制階段t∈[t0,T1)，定義如下Lyapunov 函數(shù)：

在式（33）中：tω表示脈沖發(fā)生的次數(shù)；T1是固定時(shí)間階段的起始時(shí)間和在整個(gè)脈沖周期中所經(jīng)過(guò)的時(shí)間，為中的隨機(jī)值；V(T1,ε(T1))表示固定時(shí)間階段的初始狀態(tài)。本文根據(jù)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景設(shè)置ω的個(gè)數(shù)，則脈沖個(gè)數(shù)可以決定T1的大小。

不等式（26）中的特征值θn表示系統(tǒng)中的全局信息會(huì)有n次脈沖采樣。從式（27）到式（29）可以看出，當(dāng)系統(tǒng)時(shí)間達(dá)到tn時(shí)，則系統(tǒng)會(huì)得到特征值θ，也就意味著系統(tǒng)會(huì)觸發(fā)脈沖采樣；如果系統(tǒng)時(shí)間沒(méi)有超過(guò)脈沖時(shí)間窗口的脈沖控制時(shí)間，則系統(tǒng)不會(huì)觸發(fā)脈沖采樣。例如，若選擇5 個(gè)脈沖采樣，則ω=5，則通過(guò)式（33）脈沖推導(dǎo)過(guò)程可以改寫為：那么第5 個(gè)脈沖就會(huì)在第5 個(gè)脈沖時(shí)間窗的左端點(diǎn)到第6 個(gè)脈沖時(shí)間窗的左端點(diǎn)，也就是在內(nèi)發(fā)生，利用條件進(jìn)行反 推，可得該式中特征值θ有5 個(gè)，則系統(tǒng)在達(dá)到第6 個(gè)脈沖時(shí)間窗的左端點(diǎn)時(shí)發(fā)生5 個(gè)脈沖采樣。

本文主要是利用TSC 策略對(duì)收斂周期進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，脈沖數(shù)量減少的觸發(fā)條件可以依據(jù)式（26）～式（33）的推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行判定，主要是對(duì)ω的大小進(jìn)行設(shè)定。此外，本文主要根據(jù)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用要求進(jìn)行選擇脈沖采樣數(shù)量以應(yīng)對(duì)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)條件：若網(wǎng)絡(luò)通信資源比較豐富，則可以減少脈沖數(shù)量以更快地提升系統(tǒng)的收斂速度；若通信資源較稀缺，則可以適當(dāng)增加脈沖數(shù)量以減少通信量。因此，本文研究?jī)?nèi)容主要為減少系統(tǒng)通信成本的同時(shí)提升一致性速度提供一種新思路。

在固定時(shí)間控制階段的系統(tǒng)誤差可以表示如下：

根據(jù)定理1 和式（23）得到式（37）。進(jìn)一步地，根據(jù)（37）可以得到式（38）。根據(jù)引理1～引理5 可得式（39）。

因此，根據(jù)引理1，可以得到系統(tǒng)式（1）的一致時(shí)間：

在式（43）中：T2是脈沖控制階段和固定時(shí)間階段的整個(gè)收斂時(shí)間。當(dāng)t≥T2時(shí)，可以得到EV(t,ε(t)) ≡0。因此，具有隨機(jī)擾動(dòng)的MASs 能夠達(dá)到全局固定時(shí)間穩(wěn)定。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)給出一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者的仿真案例，證明了控制協(xié)議式（11）的有效性和可靠性。

考慮具有5 個(gè)智能體的MASs 參數(shù)設(shè)置如下：

從上述公式中可以得出Γ=diag{0.5,0.5,0.8}以及Σ=diag{0.2,0.4,0.6}。設(shè)伯努利分布的隨機(jī)變量α(t)和β(t)滿足α=β=0.5。設(shè)?=2，那么通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得到λmax(Φ)=23.415 9，λmax(Ψ)=31.740 2。

系統(tǒng)的通信拓?fù)鋱D如圖2 所示，其中，0 節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者，其他節(jié)點(diǎn)為跟隨者。

圖2 通信拓?fù)鋱DFig.2 Communication topology

根據(jù)定理1 以及已知參數(shù)，設(shè)bn=-0.4，ζ=1.01。通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得到θn=0.866 5，則脈沖時(shí)間窗上限為簡(jiǎn)單起見，選用=0.005 5。如圖3 所示，脈沖采樣時(shí)刻在脈沖時(shí)間窗內(nèi)隨機(jī)發(fā)生，并分別設(shè)定6 個(gè)和9 個(gè)脈沖采樣時(shí)刻，即ω=6 和ω=9。設(shè)切換信號(hào)為σ(t)=(nmod 4),t∈[tn,tn+1)。

圖3 脈沖時(shí)間窗與脈沖數(shù)量的關(guān)系Fig.3 Relationship of the impulsive time window and the number of impulsive

設(shè)定所有智能體的初始狀態(tài)值x0=[0.1,0.2,-0.3]T、x1=[5.5,3,4.6]T、x2=[-3.9,-2.8,4.3]T、x3=[ -5.7,3.5,-6.2]T、x4=[4.9,-3.2,-2.4]T。TSC 收斂過(guò)程如圖4、圖5 所示（彩色效果見《計(jì)算機(jī)工程》官網(wǎng)HTML 版），可以看出t6=T1=0.034 4，t9=T1=0.050 8。在固定時(shí)間控制階段，設(shè)?=35、κ1=2、κ2=2.5、?=1、k=3、p=5、q=3。根據(jù)式（43）可以計(jì)算出系統(tǒng)的一致時(shí)間為T2=2.354 1，從圖4 和圖5 的結(jié)果可以看出，系統(tǒng)的收斂時(shí)間要遠(yuǎn)小于T2，并且可以根據(jù)脈沖個(gè)數(shù)對(duì)收斂周期進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。當(dāng)設(shè)定的脈沖采樣數(shù)量較多時(shí)，系統(tǒng)的收斂時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)，但是減少的通信量更多，通信資源的消耗更少；當(dāng)設(shè)定的脈沖采樣數(shù)量較少時(shí)，則收斂周期會(huì)更快地進(jìn)入第二階段，隨之收斂時(shí)間也會(huì)更短。這也進(jìn)一步驗(yàn)證了雙階控制對(duì)于動(dòng)態(tài)調(diào)整系統(tǒng)收斂周期的有效性和準(zhǔn)確性，因此，具有隨機(jī)擾動(dòng)的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨者M(jìn)ASs 可以在控制協(xié)議式（11）下達(dá)到固定時(shí)間一致。

單階控制、可變脈沖控制和固定時(shí)間連續(xù)控制下得到的三維狀態(tài)值以及狀態(tài)誤差如圖6～圖8 所示（彩色效果見《計(jì)算機(jī)工程》官網(wǎng)HTML 版）。由圖6 可以看出，單階控制收斂速度要稍快，但單階控制的收斂狀態(tài)比較單一，無(wú)法改變脈沖采樣個(gè)數(shù)。由圖7 可以看出，單一的脈沖控制可以減少通信成本，但是漸近一致性使得該方案不適用于現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景，而TSC 策略的收斂時(shí)間相比于單一可變脈沖控制減少了0.07 s。由圖8 可以看出，單一固定時(shí)間連續(xù)控制有較快的收斂速度，但是連續(xù)不斷的通信交互使得通信資源的消耗也不斷增加，而TSC 策略的通信次數(shù)相比于單一固定時(shí)間連續(xù)控制分別減少了6～9。

因此，通過(guò)與圖4 和圖5 的雙階控制以及圖6～圖8的單階和單一控0 制的對(duì)比可以看出，本文提出的TSC策略是有效的，符合實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景。

圖4 6 個(gè)脈沖控制下得到的三維狀態(tài)值以及狀態(tài)誤差Fig.4 3D state value and state error obtained via the six impulsive controls

圖5 9 個(gè)脈沖控制下得到的三維狀態(tài)值以及狀態(tài)誤差Fig.5 3D state value and state error obtained via the nine impulsive controls

圖6 單階控制下得到的三維狀態(tài)值以及狀態(tài)誤差Fig.6 3D state value and state error obtained via single-stage control

圖7 可變脈沖控制下得到的三維狀態(tài)值以及狀態(tài)誤差Fig.7 3D state value and state error obtained via variable impulsive control

圖8 固定時(shí)間連續(xù)控制下得到的三維狀態(tài)值以及狀態(tài)誤差Fig.8 3D state value and state error obtained via fixed-time continuous control

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)分析并研究具有隨機(jī)擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問(wèn)題提出TSC 策略，將整個(gè)控制周期分為可變脈沖控制階段和固定時(shí)間一致控制階段。通過(guò)數(shù)值仿真案例驗(yàn)證了TSC 策略的有效性，并表明其為不同通信網(wǎng)絡(luò)條件下的應(yīng)用場(chǎng)景提供了一個(gè)新的研究視角。由于本文引入可變脈沖控制，這對(duì)脈沖采樣的靈活性有較大提升，但是脈沖觸發(fā)時(shí)間主要是在脈沖時(shí)間窗范圍內(nèi)隨機(jī)發(fā)生，可變脈沖控制難以估計(jì)脈沖采樣時(shí)間，對(duì)于最終結(jié)果的可控程度會(huì)產(chǎn)生一定的影響，因此后續(xù)將進(jìn)一步探索可控性更高的脈沖控制策略以及二階多智能體系統(tǒng)。