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    一種基于切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間一致性協(xié)議

    2020-06-12 07:09:20杜宇凡
    電子技術(shù)與軟件工程 2020年3期
    關(guān)鍵詞:狀態(tài)值演化過程連通性

    杜宇凡

    (廣東工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 廣東省廣州市 510006)

    近年來(lái),多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制方面的研究取得了突破性的進(jìn)展。一致性協(xié)議是多智能體理論中的一個(gè)核心問題。設(shè)計(jì)一致性協(xié)議旨在使得智能體狀態(tài)在協(xié)議控制下最終能達(dá)到一致性。

    Krause等人[1]提出了一種基于切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間一致性協(xié)議,即經(jīng)典的Hegselmann—Krause模型,各智能體取其通信范圍內(nèi)的鄰居智能體的狀態(tài)平均值作為下一次迭代狀態(tài)。在該協(xié)議下,多智能體系統(tǒng)通常不能始終保持連通,系統(tǒng)最終會(huì)演化成多個(gè)小群體,每個(gè)小群體之間的距離超過通信范圍,不再相互通信。

    Zheng等人[2]提出了一種基于切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間一致性協(xié)議,各智能體取其自身狀態(tài)與通信范圍內(nèi)的鄰居智能體的組合狀態(tài)作為下一次迭代狀態(tài)。Zheng[2]等人證明了,在該協(xié)議下,如果多智能體系統(tǒng)能始終保持連通,且調(diào)整因子滿足小于時(shí),系統(tǒng)最終能收斂到全局的狀態(tài)平均值。

    Xie等人[3]提出了一種基于切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間一致性協(xié)議,各智能體取其自身狀態(tài)與通信范圍內(nèi)的最近鄰居智能體的組合狀態(tài)作為下一次迭代狀態(tài)。該方法只需考慮兩側(cè)的最近鄰居智能體的狀態(tài)信息,大大減少了計(jì)算量。Xie等人[3]證明了,在該協(xié)議下,如果多智能體系統(tǒng)能始終保持連通,且調(diào)整因子滿足小于時(shí),系統(tǒng)最終能收斂到全局的狀態(tài)平均值。調(diào)整因子的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大,這樣有助于加快系統(tǒng)的收斂速度。

    然而,怎樣才能保證多智能體系統(tǒng)始終保持連通?上述一致性協(xié)議都沒有涉及到這個(gè)關(guān)鍵問題。一旦系統(tǒng)在演化過程中喪失了連通性,智能體的狀態(tài)值就不能達(dá)成一致。本文從保持連通性的角度出發(fā),設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的Hegselmann-Krause一致性協(xié)議,使得多智能體系統(tǒng)可以始終保持連通,并最終一定能達(dá)成一致。

    本文的章節(jié)安排如下:II章節(jié)主要介紹一些閱讀本文所必需的基礎(chǔ)知識(shí),包括圖論與矩陣論,離散一致性協(xié)議等等,并在末尾對(duì)本文研究的主要問題做了簡(jiǎn)單的闡述。III章節(jié)陳述了本文的主要結(jié)果,提出了一種基于切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間一致性協(xié)議。IV章節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該協(xié)議的有效性。最后,V章節(jié)給出了本文的結(jié)論和未來(lái)的研究展望。

    1 預(yù)備知識(shí)及問題描述

    1.1 圖論與矩陣論

    我們把一個(gè)具有n個(gè)智能體的多智能體系統(tǒng)描述為一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的無(wú)向圖其中V是圖G的頂點(diǎn)集,滿足是頂點(diǎn)的順序標(biāo)號(hào)。E是圖G的邊集,滿足圖G的一條邊表示一對(duì)頂點(diǎn)i和j互為鄰居,鄰居之間可以彼此接收到對(duì)方發(fā)送出的信息。頂點(diǎn)i的鄰居集可表示為是圖G的鄰接矩陣,其元素與邊相關(guān):。

    引理 圖G的拉普拉斯矩陣L具有以下性質(zhì):

    (1)0是矩陣L的一個(gè)特征值,1是其對(duì)應(yīng)的特征向量,滿足L1=0;

    (2)如果圖G是連通無(wú)向圖,那么0是矩陣L的單一特征值;

    (3)如果圖G是連通無(wú)向圖,那么矩陣L是對(duì)稱正半定矩陣且有n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)特征值,可按升序排列為其中被稱為圖G的代數(shù)連通度。

    1.2 離散一致性協(xié)議

    考慮一個(gè)具有n個(gè)智能體的多智能體系統(tǒng),這些智能體的狀態(tài)值處于一個(gè)實(shí)數(shù)集R。我們用G={V,E,A}表示智能體所對(duì)應(yīng)的圖結(jié)構(gòu),每個(gè)智能體的狀態(tài)值用xi(k)表示,其中k為迭代次數(shù)。

    Krause等人[1]提出了一種基于切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間一致性協(xié)議:

    即智能體i下一次的狀態(tài)為所有鄰居智能體(包括自身)的狀態(tài)平均值。系統(tǒng)不能達(dá)成一致性,會(huì)演化成多個(gè)觀點(diǎn)值。

    Zheng等人[2]提出了一種基于切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間一致性協(xié)議:

    即智能體i下一次的狀態(tài)為其自身狀態(tài)與通信范圍內(nèi)的鄰居智能體的組合狀態(tài)。Zheng[2]等人通過李雅普諾夫函數(shù)理論證明了在該協(xié)議下,若多智能體系統(tǒng)能始終保持連通,且調(diào)整因子a滿足小于時(shí),系統(tǒng)最終能收斂到全局的狀態(tài)平均值。

    Xie等人[3]提出了一種基于切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間一致性協(xié)議:

    即智能體i下一次的狀態(tài)為其自身狀態(tài)與通信范圍內(nèi)的最近鄰居智能體的組合狀態(tài),是智能體i兩側(cè)的最近鄰居智能體的狀態(tài)。Xie等人[3]通過李雅普諾夫函數(shù)理論證明了在該協(xié)議下,若多智能體系統(tǒng)能始終保持連通,且調(diào)整因子a滿足小于時(shí),系統(tǒng)最終能收斂到全局的狀態(tài)平均值。以上兩個(gè)一致性協(xié)議(2),(3)都是假設(shè)系統(tǒng)能保持連通,但是系統(tǒng)往往不能始終保持連通。一旦系統(tǒng)連通性不能保持,一致性就不能達(dá)成。我們?cè)谙挛闹刑岢隽艘环N離散一致性協(xié)議,保證系統(tǒng)能始終保持連通,并能穩(wěn)定地達(dá)成一致性。

    1.3 問題描述

    對(duì)于任意的智能體初始狀態(tài)向量x(0),和智能體i,j=1,...,n,如果存在離散一致性協(xié)議使得各智能體狀態(tài)在有限次迭代次數(shù)內(nèi)最終趨于一致,則稱該協(xié)議解決了一致性問題。

    2 主要結(jié)果

    我們給出如下定義:

    智能體i下一次的狀態(tài)為自身狀態(tài)和兩側(cè)最遠(yuǎn)鄰居智能體狀態(tài)的平均值。若智能體i的左鄰域?yàn)榭占?,即左?cè)沒有最遠(yuǎn)鄰居,則忽略左鄰域,只考慮右側(cè)的最遠(yuǎn)鄰居;若智能體i的右鄰域?yàn)榭占?,即右?cè)沒有最遠(yuǎn)鄰居,則忽略右鄰域,只考慮左側(cè)的最遠(yuǎn)鄰居。

    以上描述用一致性協(xié)議描述如下:

    接下來(lái),我們將證明,對(duì)于初始時(shí)刻連通的初始拓?fù)?,在一致性協(xié)議(4)下系統(tǒng)一定能保持連通性,并最終一定能達(dá)成一致性。

    定理1:如果兩個(gè)智能體i,j在第k次迭代中具有相同的狀態(tài),那么這兩個(gè)智能體i,j在第k+1次迭代中具有相同的狀態(tài)。即如果

    證明:如果兩個(gè)智能體i,j在第k次迭代中具有相同的狀態(tài),它們就有著相同的兩側(cè)最遠(yuǎn)鄰居,那么在k+1次迭代中,兩個(gè)智能體i,j也會(huì)具有相同的狀態(tài)。

    特別地,如果兩個(gè)智能體i,j在第k次迭代中具有相同的狀態(tài),那么它們?cè)陔S后的迭代中就有相同的狀態(tài)。

    定理2:對(duì)于初始時(shí)刻連通的初始拓?fù)?,在第k次迭代中,邊界智能體(狀態(tài)值最大的和最小的智能體)有且僅有一個(gè)鄰居,其余智能體有且僅有兩個(gè)鄰居。狀態(tài)值最小的智能體,其左鄰域?yàn)榭占?,在右鄰域上有且僅有一個(gè)鄰居;狀態(tài)值最大的智能體,其右鄰域?yàn)榭占?,在左鄰域上有且僅有一個(gè)鄰居。

    證明:基于初始時(shí)刻連通的初始拓?fù)?,?duì)于除了邊界智能體以外的智能體,它們?cè)谧笥亦徲蛏弦欢芩阉鞯街悄荏w作為它的鄰居,所以它們一定會(huì)有兩個(gè)鄰居。而狀態(tài)值最小的智能體在左鄰域上搜索不到鄰居,只有在右鄰域上能搜索到鄰居;狀態(tài)值最大的智能體在右鄰域上搜索不到鄰居,只有在左鄰域上搜索到鄰居。

    定理3:對(duì)于初始時(shí)刻連通的初始拓?fù)?,假設(shè)有兩個(gè)非邊界智能體i,j,滿足那么智能體i,j在其左右鄰域的最遠(yuǎn)鄰居滿足:

    定理4:對(duì)于初始時(shí)刻連通的初始拓?fù)?,在一致性協(xié)議(4)下系統(tǒng)一定能保持連通性。即如果系統(tǒng)在第k次迭代中是連通的,系統(tǒng)在第k+1次迭代中就一定是連通的。

    證明:假設(shè)在第k次迭代中系統(tǒng)n個(gè)智能體的狀態(tài)值為

    由于系統(tǒng)在第k次迭代中是連通的,因此依次有序的兩智能體的狀態(tài)值的差值均小于r,即

    則根據(jù)定理2,智能體i和j均有兩個(gè)鄰居,那么有

    然后我們討論邊界智能體xn(k)在k+1次迭代中可能會(huì)發(fā)生的情況。

    于是我們可知,如果系統(tǒng)在第k次迭代中是連通的,系統(tǒng)在第k+1次迭代中就一定是連通的。證畢。

    定理5:對(duì)于初始時(shí)刻連通的初始拓?fù)?,在一致性協(xié)議(4)下系統(tǒng)一定能達(dá)成一致性。

    證明:我們首先證明,在每一次的系統(tǒng)迭代中,系統(tǒng)的最大狀態(tài)值單調(diào)遞減,系統(tǒng)的最小狀態(tài)值單調(diào)遞增。

    于是我們又在每一次的系統(tǒng)迭代中,系統(tǒng)的最大狀態(tài)值單調(diào)遞減,類似地,系統(tǒng)的最小狀態(tài)值單調(diào)遞增。系統(tǒng)的區(qū)間長(zhǎng)度在不斷減小。

    而根據(jù)定理4,系統(tǒng)在迭代過程中又能一直保持連通,那么在有限次的迭代次數(shù)中,必定存在一個(gè)迭代次數(shù)t,使得系統(tǒng)的區(qū)間長(zhǎng)度小于r。

    當(dāng)?shù)竭_(dá)這個(gè)迭代次數(shù)t時(shí),狀態(tài)值最大的智能體在左鄰域上選擇的鄰居就是狀態(tài)值最小的智能體,狀態(tài)值最小的智能體在右鄰域上選擇的鄰居就是狀態(tài)值最大的智能體。于是,在t+1次迭代中,這兩個(gè)智能體的狀態(tài)發(fā)生了重合,它們的狀態(tài)值等于在t次迭代中這兩個(gè)智能體的狀態(tài)平均值。

    在后續(xù)的迭代次數(shù)中,系統(tǒng)的區(qū)間長(zhǎng)度仍在不斷減小。但是系統(tǒng)中智能體的狀態(tài)值至少會(huì)兩兩重合一次。那么經(jīng)過有限次的迭代次數(shù)后,系統(tǒng)中的所有智能體的狀態(tài)值會(huì)完全相同,即系統(tǒng)一定能達(dá)成一致性。

    于是我們可知,對(duì)于初始時(shí)刻連通的初始拓?fù)?,在一致性協(xié)議(4)下系統(tǒng)一定能達(dá)成一致性。證畢。

    3 仿真實(shí)驗(yàn)

    本文的仿真實(shí)驗(yàn)是基于Matlab數(shù)學(xué)軟件來(lái)進(jìn)行的。在仿真實(shí)驗(yàn)中,以智能體的位置信息作為狀態(tài)值,以智能體進(jìn)行匯聚為例,考慮初始時(shí)刻系統(tǒng)的初始拓?fù)涫沁B通的。我們以Xie等人在[3]中提出的基于切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間一致性協(xié)議作為對(duì)比對(duì)象,主要討論本文提出的一致性協(xié)議和該協(xié)議在性能上的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

    對(duì)于兩種一致性協(xié)議而言,每一個(gè)智能體在進(jìn)行狀態(tài)演化的過程中,都只需要存儲(chǔ)和計(jì)算自身和兩個(gè)鄰居智能體的狀態(tài)信息([3]中的協(xié)議(3)是選擇兩個(gè)與自身狀態(tài)差值最近的智能體,而本文是選擇兩個(gè)與自身狀態(tài)差值最遠(yuǎn)的智能體),因此在每一步的迭代過程的計(jì)算量都只需要兩次,兩種協(xié)議在系統(tǒng)演化所需要的計(jì)算資源上是相同的。

    但是,當(dāng)系統(tǒng)的初始拓?fù)涫请S機(jī)分布的情形時(shí),[3]中的協(xié)議不一定能保證系統(tǒng)拓?fù)湓谥悄荏w的狀態(tài)演化過程中始終保持連通,系統(tǒng)拓?fù)淇赡懿粫?huì)收斂到一致性。而本文提出的一致性協(xié)議(4),經(jīng)過了嚴(yán)格的證明分析,無(wú)論系統(tǒng)的初始拓?fù)涫呛畏N情形,系統(tǒng)拓?fù)湓谥悄荏w的狀態(tài)演化過程中一定能保持連通,并能收斂到一致性。而且,本文的鄰域選取策略是選擇兩個(gè)與自身狀態(tài)差值最遠(yuǎn)(而非最近)的鄰居智能體,因此一致性協(xié)議(4)的收斂速度上比[3]中的協(xié)議(3)有較明顯的加快。

    接下來(lái),我們通過對(duì)[3]中的一致性協(xié)議(3)和本文提出的一致性協(xié)議(4)進(jìn)行四組仿真實(shí)驗(yàn),作出對(duì)比分析。每一組仿真實(shí)驗(yàn)中智能體的初始狀態(tài)信息是相同的,即1)和2),3)和4),5)和6),7)和8)中的多智能體系統(tǒng)具有相同的初始拓?fù)洹?/p>

    1.一致性協(xié)議(3):11個(gè)智能體的狀態(tài)值均勻分布在[0,5]的區(qū)間內(nèi),通信半徑r=1,調(diào)整因子。在智能體的狀態(tài)演化過程中系統(tǒng)拓?fù)涫冀K保持連通,經(jīng)過約100次迭代后,11個(gè)智能體的狀態(tài)值達(dá)成一致,匯聚在一個(gè)點(diǎn)2.5上,具體情況如圖1所示。

    2.一致性協(xié)議(4):11個(gè)智能體的狀態(tài)值均勻分布在[0,5]的區(qū)間內(nèi),通信半徑r=1。在智能體的狀態(tài)演化過程中系統(tǒng)拓?fù)涫冀K保持連通,經(jīng)過約15次迭代后,11個(gè)智能體的狀態(tài)值達(dá)成一致,匯聚在一個(gè)點(diǎn)2.5上,具體情況如圖2所示。

    3.一致性協(xié)議(3):20個(gè)智能體的狀態(tài)值均勻分布在[0,10]的區(qū)間內(nèi),通信半徑r=1,調(diào)整因子。在智能體的狀態(tài)演化過程中系統(tǒng)拓?fù)涫冀K保持連通,經(jīng)過約300次迭代后,20個(gè)智能體的狀態(tài)值達(dá)成一致,匯聚在一個(gè)點(diǎn)5上,具體情況如圖3所示。

    圖1:協(xié)議(3)下初始拓?fù)渚鶆蚍植荚趨^(qū)間[0,5]的演化過程

    圖2:協(xié)議(4)下初始拓?fù)渚鶆蚍植荚趨^(qū)間[0,5]的演化過程

    圖3:協(xié)議(3)下初始拓?fù)渚鶆蚍植荚趨^(qū)間[0,10]的演化過程

    圖4:協(xié)議(4)下初始拓?fù)渚鶆蚍植荚趨^(qū)間[0,10]的演化過程

    4.一致性協(xié)議(4):20個(gè)智能體的狀態(tài)值均勻分布在[0,10]的區(qū)間內(nèi),通信半徑r=1。在智能體的狀態(tài)演化過程中系統(tǒng)拓?fù)涫冀K保持連通,經(jīng)過約50次迭代后,20個(gè)智能體的狀態(tài)值達(dá)成一致,匯聚在一個(gè)點(diǎn)5上,具體情況如圖4所示。

    5.一致性協(xié)議(3):11個(gè)智能體的狀態(tài)值隨機(jī)分布在[0,5]的區(qū)間內(nèi),通信半徑r=1,調(diào)整因子。在智能體的狀態(tài)演化過程中系統(tǒng)拓?fù)洳荒苁冀K保持連通,經(jīng)過約50次迭代后,11個(gè)智能體的狀態(tài)值分裂成兩個(gè)集群,分別是點(diǎn)0.9和點(diǎn)3.4,具體情況如圖5所示。

    6.一致性協(xié)議(4):11個(gè)智能體的狀態(tài)值隨機(jī)分布在[0,5]的區(qū)間內(nèi),通信半徑r=1。在智能體的狀態(tài)演化過程中系統(tǒng)拓?fù)涫冀K保持連通,經(jīng)過約15次迭代后,11個(gè)智能體的狀態(tài)值達(dá)成一致,匯聚在一個(gè)點(diǎn)2.5上,具體情況如圖6所示。

    7.一致性協(xié)議(3):20個(gè)智能體的狀態(tài)值隨機(jī)分布在[0,10]的區(qū)間內(nèi),通信半徑r=11,調(diào)整因子。在智能體的狀態(tài)演化過程中系統(tǒng)拓?fù)洳荒苁冀K保持連通,經(jīng)過約80次迭代后,20個(gè)智能體的狀態(tài)值分裂成四個(gè)集群,分別是點(diǎn)1.3,點(diǎn)3.2,點(diǎn)5.8和點(diǎn)8,具體情況如圖7所示。

    8.一致性協(xié)議(4):20個(gè)智能體的狀態(tài)值隨機(jī)分布在[0,10]的區(qū)間內(nèi),通信半徑r=1。在智能體的狀態(tài)演化過程中系統(tǒng)拓?fù)涫冀K保持連通,經(jīng)過約50次迭代后,20個(gè)智能體的狀態(tài)值達(dá)成一致,匯聚在一個(gè)點(diǎn)4.8上,具體情況如圖8所示。

    通過以上仿真,可以觀察到,當(dāng)系統(tǒng)的初始拓?fù)涫请S機(jī)分布時(shí),系統(tǒng)拓?fù)淇赡懿荒苁冀K保持連通性,因而會(huì)分裂成多個(gè)集群。而在本文提出的一致性協(xié)議(4)下,無(wú)論系統(tǒng)的初始拓?fù)涫蔷鶆蚍植歼€是隨機(jī)分布,系統(tǒng)拓?fù)湓谥悄荏w的狀態(tài)演化過程中一定能保持連通,并且各智能體的狀態(tài)值一定能漸近收斂到初始時(shí)刻的全局幾何中心,即達(dá)成一致性。而且,由于智能體的鄰域選取策略是選擇兩個(gè)與自身狀態(tài)差值最遠(yuǎn)(而非最近)的鄰居智能體,系統(tǒng)的收斂速度明顯加快。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    在本文中,我們針對(duì)通信范圍有限的多智能體系統(tǒng),提出了一種離散時(shí)間一致性協(xié)議。在一維情形下,對(duì)于任意初始時(shí)刻連通的初始拓?fù)?,基于該協(xié)議,智能體都能保持連通性,并一定能漸近收斂到它們的初始狀態(tài)平均值。

    我們未來(lái)的工作是設(shè)計(jì)一個(gè)更好的切換拓?fù)湎碌碾x散時(shí)間一致性協(xié)議。有三點(diǎn)值得進(jìn)一步研究:

    (1)尋找更好的方法來(lái)保持切換拓?fù)涞倪B通性;

    (2)設(shè)計(jì)更簡(jiǎn)潔合理的一致性協(xié)議;

    (3)更快的收斂速度。

    圖5:協(xié)議(3)下初始拓?fù)潆S機(jī)分布在區(qū)間[0,5]的演化過程

    圖6:協(xié)議(4)下初始拓?fù)潆S機(jī)分布在區(qū)間[0,5]的演化過程

    圖7:協(xié)議(3)下初始拓?fù)潆S機(jī)分布在區(qū)間[0,10]的演化過程

    圖8:協(xié)議(4)下初始拓?fù)潆S機(jī)分布在區(qū)間[0,10]的演化過程

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