依美構造數(shù)列，提升運算素養(yǎng)

俞文銳

(福建省福清華僑中學 350300)

求數(shù)列通項的方法有直接利用等差、等比公式求通項，用累加法、累乘法、待定系數(shù)法求通項，構造等差、等比數(shù)列求通項，還有利用遞推公式求通項.面對如此多的題型和方法，學生顯得無所適從.美無處不在，那么我們能否運用數(shù)學美將復雜數(shù)列進行變形，從而構造出特殊數(shù)列予以求解呢？下面以近年高考試題為例，設計數(shù)學美問題情境，以期提升學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng).

1 明晰運算對象，確定運算起點

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).[1]7數(shù)學運算核心素養(yǎng)的水平一指出：能夠在熟悉的數(shù)學情境中了解運算對象，提出運算問題.[1]105由此可知明晰運算對象是展開數(shù)學運算的先決條件，教師要引導學生在熟悉的問題情境中，從不同角度進行觀察，選擇不同的運算對象，確定運算起點.

例1(2022年高考全國乙卷數(shù)學文科第13題)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3=3S2+6,則公差d=.

分析本題可以利用基本量方法進行求解，即將已知條件轉化為d的方程.由2S3=3S2+6,得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,解得d=2.

教學不應該停留于解題本身，要充分挖掘高考試題的教學價值，為此可做如下設計：

問題1 能否從題設Sn的表達式中提取出其他的信息？

問題2 能否根據(jù)統(tǒng)一美構造出與Sn有關的新數(shù)列？

問題3 能否利用新數(shù)列的信息求d？

通過問題1，引領學生從數(shù)量關系中抽象出運算對象，即關注Sn，發(fā)現(xiàn)S3與S2的系數(shù)分別為2和3，下標與系數(shù)對換，給人一種不統(tǒng)一的感覺.

在上述的活動中，學生經(jīng)歷了從數(shù)量關系中抽象出運算對象、從數(shù)學美的角度構造運算對象、根據(jù)運算對象確定運算起點的認知過程，從中使得數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)獲得提升.

2 探索運算思路，把握知識本質(zhì)

數(shù)學運算核心素養(yǎng)水平一要求：能夠在熟悉的數(shù)學情境中，根據(jù)問題的特征形成合適的運算思路，解決問題.[1]105數(shù)學運算不是盲目的，往往需要學生觀察數(shù)與式的結構特征，展開豐富的聯(lián)想，通過合理的構造，進行嚴謹?shù)倪壿嬐评?，獲得合適的運算思路.

分析本題已知條件中Sn與an糾纏，要研究an必須消去一個變量，為此可做如下設計：

問題1 能否根據(jù)簡潔美對已知條件進行化簡并獲得Sn的表達式？

問題2 能否根據(jù)對稱美對化簡的結果進行變形？

問題3 能否構造出新數(shù)列，并利用新數(shù)列對原問題進行求解？

3 選擇運算方法，完善學生認知

數(shù)學運算的核心是思維，解題中應強化對運算思路和方法的分析，使學生逐步理解運算是一種邏輯推理，在面對與學過的知識有關聯(lián)的數(shù)學命題時，能夠通過對其條件與結論的分析，探索運算的思路，選擇合適的運算方法，體會程序思想的意義和作用.

本題的問題情境對學生而言不熟悉，基于高考考查目標要求，結合必備知識和關鍵能力設計如下問題：

問題1 能否根據(jù)等差數(shù)列的定義獲得Sn與an的關系式？

問題2 能否將關系式中的Sn轉化為an？

問題3 能否構造出與an有關的新數(shù)列？

在上述的活動中，學生對于較復雜的數(shù)學問題，能夠通過結構與變量的和諧統(tǒng)一美，對式子進行變形構造，得到完美統(tǒng)一的關系式，從而得到常數(shù)列.該活動讓學生進一步認識到數(shù)學美的威力，促進學生將新知識同化到已有的數(shù)學認知結構中，從而使數(shù)學認知結構得到進一步的發(fā)展.

4 變換運算背景，累積活動經(jīng)驗

數(shù)學運算核心素養(yǎng)和數(shù)學思維的提升不能僅僅滿足于熟悉情境下的模仿與記憶，為了提高學生在綜合情境中把問題轉化為運算問題的能力，教師需要不斷變換運算背景，提高學生的應變能力.

例4(2021八省聯(lián)考第17題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an．

(1)證明數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列；

分析 (1)略；

(2)由(1)得an+an+1=2·3n-1，根據(jù)求通項公式的經(jīng)驗，移項得an+1=-an+2·3n-1，此時發(fā)現(xiàn)an+1，an的系數(shù)不含n，還能通過適當?shù)淖冃位蓪ΨQ統(tǒng)一的結構嗎？

在上述的活動中，學生從綜合的運算背景中，能夠通過構建過渡性的命題，探索論證的途徑，解決問題，并會用嚴謹?shù)臄?shù)學語言表達論證過程，感悟數(shù)學之美，積累依美構造數(shù)列的經(jīng)驗.

5 結語

依美理解運算對象，依美探究運算思路，依美選擇運算方法，依美求得運算結果，學生在教師設置的問題情境中，感受到數(shù)列通項求解過程中結構變量的對稱美、統(tǒng)一美，自覺地用美來解決遞推數(shù)列問題，從而實現(xiàn)數(shù)學美在遞推數(shù)列問題中的知行合一，同時累積了求解遞推數(shù)列通項公式的基本活動經(jīng)驗，學會用美的眼光看問題，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學運算核心素養(yǎng).