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    “一點(diǎn)”的新定義:從“數(shù)”的關(guān)聯(lián),到“形”的變構(gòu)
    ——2022年南通市中考新定義壓軸題的命制與再思考*

    2023-01-24 05:49:04強(qiáng)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:變構(gòu)命制圖象

    徐 強(qiáng)

    (江蘇省南通市海門區(qū)中小學(xué)教師研修中心 226100)

    2022年南通市中考數(shù)學(xué)試卷在保留南通市歷年中考數(shù)學(xué)命題“立足基礎(chǔ),注重能力,注重對數(shù)學(xué)的本質(zhì)和學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查”等特色的同時(shí),又按照教育部、江蘇省的評估報(bào)告提出的意見和近期頒發(fā)的教改、課改文件的新要求進(jìn)行了優(yōu)化,降低絕對難度,提高相對難度,創(chuàng)新相應(yīng)核心知識的考查方式,充分體現(xiàn)“兩考合一”的功能,嚴(yán)格落實(shí)“雙減”要求,對初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.現(xiàn)將該卷中一道“一點(diǎn)”的代數(shù)新定義壓軸題的命制過程與反思拓展整理成文,與同行分享.

    1 命制過程

    1.1 立足“原則”,確定方向

    按照“在傳承中求創(chuàng)新,在穩(wěn)定中求發(fā)展”的壓軸題命題原則,繼續(xù)構(gòu)建“一點(diǎn)”的代數(shù)新定義壓軸題,形成一道對函數(shù)單元整體考查、適度兼顧幾何知識的函數(shù)綜合題,但適當(dāng)降低“概念理解”等絕對難度,難度系數(shù)為0.35~0.45.

    (1)考查的內(nèi)容領(lǐng)域與試題背景

    全卷最后一題的內(nèi)容領(lǐng)域?yàn)榫C合與實(shí)踐,試題背景為“一點(diǎn)”新定義的數(shù)學(xué)情境,其情境表述方向?yàn)椤昂瘮?shù)圖象上點(diǎn)的特征”的描述.

    (2)考查的主干知識與能力維度

    考查的主干知識為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì),能力維度為理解概念、問題解決.

    (3)考查的思想方法與核心素養(yǎng)

    著重考查分類討論思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想,突出考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

    1.2 研透“傳承”,分析遷移

    (1)分析特點(diǎn)

    命題組從2019年、2021年南通市中考第26題代數(shù)新定義出發(fā),分析其定義的特點(diǎn).

    (2019年南通中考第26題)定義:若實(shí)數(shù)x,y滿足x2=2y+t,y2=2x+t,且x≠y,則稱點(diǎn)M(x,y)為“線點(diǎn)”.例如,點(diǎn)(0,-2)和(-2,0)是“線點(diǎn)”.

    已知:在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(m,n).

    (1)P1(3,1)和P2(-3,1)兩點(diǎn)中,點(diǎn)是“線點(diǎn)”;

    (2)若點(diǎn)P是“線點(diǎn)”,用含t的代數(shù)式表示mn,并求t的取值范圍;

    (3)若點(diǎn)Q(n,m)是“線點(diǎn)”,直線PQ分別交x軸、y軸于點(diǎn)A,B,當(dāng)|∠POQ-∠AOB|=30°時(shí),直接寫出t的值.

    試題解讀 這道“一點(diǎn)”的代數(shù)新定義題聚焦一點(diǎn)中橫、縱坐標(biāo)“數(shù)”的關(guān)聯(lián),強(qiáng)化了代數(shù)推理變形的水平,從命題的角度來說是一種創(chuàng)新,從“新定義”的提出到“問題的設(shè)置”的命制過程凝聚了命題組全體成員的集體智慧,清晰呈現(xiàn)了“閱讀—理解—轉(zhuǎn)化”的模式,充分體現(xiàn)了“式”中思法、“圖”中求道的味道,是一道很好的考查“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的創(chuàng)新試題[1].

    (1)分別判斷函數(shù)y=x+2,y=x2-x的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”?如果存在,求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo);如果不存在,說明理由.

    (3)若函數(shù)y=x2-2(x≥m)的圖象記為W1,將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W2.當(dāng)W1,W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí),直接寫出m的取值范圍.

    試題解讀 這道“一點(diǎn)”的代數(shù)新定義題仍體現(xiàn)一點(diǎn)中橫、縱坐標(biāo)“數(shù)”的關(guān)聯(lián),一方面盡管弱化了關(guān)系,使橫、縱坐標(biāo)間的“數(shù)”的關(guān)聯(lián)更為簡潔,但整合考查了三大函數(shù)圖象及性質(zhì),從命題的角度來說又是一種創(chuàng)新;另一方面盡管新定義的表述很容易理解,并不在概念的理解上“為難”學(xué)生,但問題設(shè)置有著很好的區(qū)分選拔功能,同時(shí)也承載著明確的教學(xué)導(dǎo)向,如最后一問借助數(shù)形結(jié)合分析拋物線與直線的位置關(guān)系,需要精確畫圖、臨界分析,解題教學(xué)時(shí)教師可帶領(lǐng)學(xué)生全面分析出新函數(shù)圖象上“等值點(diǎn)”的個(gè)數(shù).

    基于以上“傳承”的思考,命題組對定義內(nèi)容與方式進(jìn)行了歸納,不難發(fā)現(xiàn):兩年的側(cè)重點(diǎn)盡管有所差異,但均是“定義一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)數(shù)量關(guān)系”,即“數(shù)”的關(guān)聯(lián).

    (2)遷移構(gòu)思

    基于命題方向的要求,今年仍保持從“函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征”描述定義,為此,命題組從函數(shù)圖象上點(diǎn)的“數(shù)”的關(guān)聯(lián)出發(fā),構(gòu)思定義:函數(shù)圖象上的點(diǎn)到橫軸的距離等于1;函數(shù)圖象上的點(diǎn)到橫軸的距離不大于1;函數(shù)圖象上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離同時(shí)等于1;函數(shù)圖象上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離同時(shí)不大于1;……

    (3)形成初稿

    (ii)若一次函數(shù)y=mx-3m+2的圖象上存在唯一一個(gè)“近軸點(diǎn)”,求m的值.

    (iii)若二次函數(shù)y=-(x-n)2+3n2-6n+2的圖象上存在“近軸點(diǎn)”,結(jié)合圖象求n的取值范圍.

    分析 第1稿是在“傳承”中順勢而為,保留了2021年的定義方式,聚焦“定義”改變了設(shè)問方式.有利于考查學(xué)生對“新定義”的概念、性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律的理解、表達(dá)與應(yīng)用,注重考查學(xué)生的思維過程,避免死記硬背、機(jī)械刷題[2].并列式三小問,難度遞增,以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識函數(shù)(反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì))主題為載體,分別考查了抽象能力、推理能力、運(yùn)算能力、幾何直觀和空間觀念等,總體符合命題方向.

    1.3 尋求“創(chuàng)新”,變構(gòu)試題

    “一點(diǎn)”的新定義創(chuàng)新點(diǎn)在哪兒?

    (1)從“數(shù)”的關(guān)聯(lián),到“形”的變構(gòu)

    在對第一稿的打磨中發(fā)現(xiàn)定義中的“近軸點(diǎn)”所屬區(qū)域相對固定,即在以原點(diǎn)為中心,邊長為1,且邊平行于坐標(biāo)軸的正方形的區(qū)域內(nèi).學(xué)生只需找出函數(shù)與正方形的位置即可順利求解.作為全卷最后一題的壓軸題,應(yīng)承載著區(qū)分選拔功能.顯然,本題的難度不足以承載選拔功能,起不到把關(guān)作用,不能讓優(yōu)秀學(xué)生脫穎而出.

    新定義中關(guān)鍵的是“正方形”,“形”的變構(gòu)的方向一是改變“形”的形狀,即改變“到兩坐標(biāo)軸的距離”的大小,如函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)到橫軸的距離不大于1,同時(shí)該點(diǎn)到縱軸的距離不大于2,此時(shí)“形”變?yōu)椤熬匦巍?;“形”的變?gòu)的方向二是改變“形”的大小,即改變數(shù)值“1”的大小,如“1”可以變?yōu)椤?”“3”“4”……

    基于以上思考,命題組在初稿的基礎(chǔ)上,把“到兩坐標(biāo)軸的距離同時(shí)小于或等于1”變成“到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n”,讓正方形的邊長從定量到變量,增加試題區(qū)分度和難度.第2稿如下:

    分析 此稿在初稿的基礎(chǔ)上,內(nèi)涵更為豐富,但發(fā)現(xiàn)此時(shí)命名為“近軸點(diǎn)”不太合適,基于形的變化特點(diǎn),于是將之改名為“n階方點(diǎn)”.試題第3稿如下:

    分析 定稿語言更為簡潔,“n階方點(diǎn)”與舉例更具啟發(fā)性,很好地滲透了特殊與一般的關(guān)系,也給人耳目一新之感!

    (2)從“形”的變化,到再構(gòu)試題“問題”

    以上定義中關(guān)鍵的是“正方形區(qū)域的大小”隨n(n≥0)大小的變化而變化,基于此變化,命題組再構(gòu)求解的“問題”,第(1)問通過“1階方點(diǎn)”考查反比例函數(shù);第(2)問通過“2階方點(diǎn)”考查一次函數(shù);第(3)問通過“n階方點(diǎn)”考查二次函數(shù),結(jié)果如下:

    (2)若關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax-3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè),求a的值;

    (3)若關(guān)于x的二次函數(shù)y=-(x-n)2- 2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在,請直接寫出n的取值范圍.

    2 反思拓展

    2.1 導(dǎo)向:教學(xué)無需大量機(jī)械訓(xùn)練

    作為全卷最后一題(也稱壓軸題),仍聚焦新定義的理解與問題解決,仍以三大函數(shù)圖象及性質(zhì)的內(nèi)容考查為主,適當(dāng)兼顧幾何知識,不僅很好地傳承了南通市“新定義”的命題風(fēng)格,又在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行了較好的創(chuàng)新.這種“順勢而為”的命題方法,對落實(shí)“雙減”要求有著較好的教學(xué)導(dǎo)向,不給通過大量機(jī)械訓(xùn)練或參加校外培訓(xùn)的考生提供任何答題的便利,學(xué)生只要在課內(nèi)學(xué)好學(xué)足即可.更多需要教師重視日常的解題教學(xué),要“以題理法”,強(qiáng)化“新定義”的思維方式,從“數(shù)”的關(guān)聯(lián),到“形”的變構(gòu),“以不變應(yīng)萬變”.如本題定義理解教學(xué)時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生從特殊的“數(shù)”聯(lián)想特殊的“形”,從特殊的“形”聯(lián)想特殊的“數(shù)”,從而數(shù)形結(jié)合,從特殊到一般理清“定義”的本質(zhì);問題解決教學(xué)時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生畫圖,借助數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)圖象與正方形區(qū)域的位置關(guān)系,帶領(lǐng)學(xué)生在變化中尋求不變,臨界分析出函數(shù)圖象上“n階方點(diǎn)”的個(gè)數(shù)及存在的條件.

    2.2 破解:教學(xué)要從一題到一類

    函數(shù)圖象上“一點(diǎn)”的新定義是有規(guī)律可循的,筆者以為教學(xué)時(shí)適度滲透“如何構(gòu)想的方法”,不斷強(qiáng)化多題歸一、舉一反三,培養(yǎng)思維的深刻性和靈活性,這樣才能使學(xué)生從“機(jī)械操作”走向“理性思維”,從而有效突破“一遇陌生問題就一籌莫展”的軟肋.“一點(diǎn)”的新定義,基本類型有:

    類型1 若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)的比等于n(n≥0)的點(diǎn),則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“n倍點(diǎn)”(如2021南通市中考第26題,即n=1).

    類型2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若一個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)P(x,y)滿足x=ky+m,y=kx+m,且k≠0,x≠y,則稱點(diǎn)P為這個(gè)函數(shù)圖象的“線點(diǎn)”(如2019南通中考第26題).

    (1)下列三個(gè)函數(shù)中,圖象的“1段點(diǎn)”存在的有.(填序號)

    (2)若關(guān)于x的一次函數(shù)y=mx+3m+3圖象的“2段點(diǎn)”有且只有一個(gè),求m的值.

    (3)若關(guān)于x的二次函數(shù)y=-(x-a+1)2-2a+2圖象的“a段點(diǎn)”一定存在,請直接寫出a的取值范圍.

    顯然,函數(shù)圖象上“一點(diǎn)”的新定義盡管類型有所不同,但其命題的手法一般都是構(gòu)建橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,“形”的變構(gòu)是關(guān)鍵,如點(diǎn)M(x,y)—定義x,y之間的數(shù)量關(guān)系—定“形”.其考查的核心知識為數(shù)式變形,函數(shù)與方程及特殊的三角形、四邊形的性質(zhì).其注重考查的核心素養(yǎng)是代數(shù)推理素養(yǎng)——先思后變,運(yùn)算推理,把握規(guī)律,關(guān)注數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,考查函數(shù)眼光;幾何直觀素養(yǎng)——先畫后算,數(shù)形結(jié)合,生成方法,關(guān)注學(xué)生思維的層次與遷移,考查建模能力[1].

    2.3 拓展:再構(gòu)可從“靜態(tài)”到“動(dòng)態(tài)”

    “一點(diǎn)”新定義的再構(gòu)可以從“靜態(tài)”一個(gè)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)存在關(guān)聯(lián)定義,走向“動(dòng)態(tài)”關(guān)于一點(diǎn)的變換的定義.

    拓展1:平面直角坐標(biāo)系xOy中,若一個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)P(x,y)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)Q恰好也落在該函數(shù)圖象上,則稱點(diǎn)P(x,y)為該函數(shù)圖象的“內(nèi)旋點(diǎn)”.

    (1)下列函數(shù)中,存在“自對映點(diǎn)”的函數(shù)是.(填寫序號)

    (2)函數(shù)y=2x2+3x-6的圖象上是否存在“自對映點(diǎn)”,若存在,求“自對映點(diǎn)”坐標(biāo);若不存在,說明理由.

    變式1 將上題橫線處改為“關(guān)于(1,1)對稱的點(diǎn)”;

    變式2 將上題橫線處改為“關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)”.

    通過“拓展”可見,命題并不神秘,關(guān)鍵還是要在研究中抓住變中不變的構(gòu)題要素,如拓展的本質(zhì)是“函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱、關(guān)于(1,1)對稱、關(guān)于y=x對稱的兩個(gè)點(diǎn)”,基于此可以歸于一類“函數(shù)圖象上關(guān)于某某對稱的兩個(gè)點(diǎn)”,如此,對試題命制角度的再思考,在重構(gòu)中呈現(xiàn)“結(jié)構(gòu)化”思維,在遷移運(yùn)用中讓學(xué)生不斷增進(jìn)思維的靈活性,教學(xué)也就從簡單的“模仿”走向了本質(zhì)的“思考”,必將提高教學(xué)的針對性和效益.

    3 結(jié)束語

    “雙減”政策下用好試題資源,解讀試題“來路、思路與去路”的命制過程,研究試題命制的“有章有法”“有形有路”是“減負(fù)增效”的路徑之一,也是提高作業(yè)質(zhì)效管理的需要.這不僅可以加速提升教師解題、研題、命題、教題的水平與能力,優(yōu)化解題教學(xué),而且可以大大增強(qiáng)日常教學(xué)教考銜接度,提高選題的精準(zhǔn)性、作業(yè)的針對性,助推教學(xué)達(dá)成的效果.

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