脈沖推力作用下上樓梯雙足機(jī)器人行走的建模與動(dòng)力學(xué)分析

陳嘉睿，凌 琳，蔣貴榮

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 廣西 桂林 541004)

1990年，McGeer[1]首次提出“被動(dòng)動(dòng)態(tài)行走”概念。與傳統(tǒng)雙足機(jī)器人不同，被動(dòng)行走機(jī)器人能夠在沒有任何輸入情況下，以循環(huán)步態(tài)在平緩的下坡上行走。考慮機(jī)器人行走的基本特征，學(xué)者們建立機(jī)器人行走的模型，進(jìn)而研究其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為[2-4]。

與平路雙足機(jī)器人相比，上樓梯雙足機(jī)器人的研究更復(fù)雜且更具挑戰(zhàn)性，這是由于樓梯具有復(fù)雜幾何形狀，且雙足機(jī)器人在爬升樓梯過程中抬腿高度增加、能量損失增多，使得雙足機(jī)器人的行走穩(wěn)定性降低。為解決這些難題，人們設(shè)計(jì)了帶膝關(guān)節(jié)或帶伸縮腿的上樓梯雙足機(jī)器人，并給出步態(tài)規(guī)劃[13-14]。Shih等[15]設(shè)計(jì)一個(gè)具有最簡單雙足結(jié)構(gòu)的7-DOF 雙足機(jī)器人，該機(jī)器人有2條可變長度的腿，用于模擬人類行走時(shí)的膝關(guān)節(jié)；文獻(xiàn)[16]采用運(yùn)動(dòng)力控制方案結(jié)合遺傳算法(GA)，討論機(jī)器人斜坡上行走的最佳步行速度；文獻(xiàn)[17]開發(fā)了機(jī)器人步態(tài)的基于轉(zhuǎn)矩的比例積分-微分(PID)控制器。

綜上，上樓梯雙足機(jī)器人行走的步態(tài)規(guī)劃和控制算法方面取得了很多成果，但行走動(dòng)力學(xué)的理論研究有待深入。Kuo[11]和HAO等[18]認(rèn)為擺動(dòng)階段中在關(guān)節(jié)處施加力矩，可以保證系統(tǒng)極限環(huán)的存在，從而提高機(jī)器人行走的穩(wěn)定性。由于存在擺動(dòng)腿與樓梯的碰撞切換，上樓梯雙足機(jī)器人行走也是一種碰撞模型[19]，具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

本文考慮伸縮腿結(jié)構(gòu)以解決上樓梯的觸碰臺階等問題，采用幅值限制和與支撐腿角速度相關(guān)的脈沖推力作為上樓梯雙足機(jī)器人的動(dòng)力源。擺動(dòng)階段在關(guān)節(jié)處施加力矩，提高機(jī)器人行走的穩(wěn)定性。通過理論分析和數(shù)值模擬，研究上樓梯雙足機(jī)器人行走的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，比較可調(diào)節(jié)脈沖推力和固定脈沖推力的性能，驗(yàn)證可調(diào)節(jié)脈沖推力的有效性，討論脈沖參數(shù)與系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1 上樓梯雙足機(jī)器人行走模型

圖1 上樓梯雙足機(jī)器人模型示意Fig. 1 Schematic representation of the model of ascending stair biped robot

雙足機(jī)器人左右對稱、前后對稱，以支撐腿的質(zhì)點(diǎn)為原點(diǎn)O建立二維角坐標(biāo)系，A為髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)，B為擺動(dòng)腿踝關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)。機(jī)器人初始姿態(tài)為兩只腳分別落在階梯中間 (支撐腿位于擺動(dòng)腿的前方)，髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)A投影在樓梯邊緣上。在運(yùn)動(dòng)過程中，雙足機(jī)器人的支撐腿的腳部始終貼緊平面且不發(fā)生滑動(dòng)，腳踝以下部分不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。

如圖2所示，雙足機(jī)器人上樓梯過程有4個(gè)階段：支撐腿伸長前擺、支撐腿伸長瞬間、支撐腿伸長后擺以及碰撞切換瞬間。本文提出的上樓梯過程描述如下：(I-II) 此階段雙足機(jī)器人雙腿等長，即Lst=Lsw=l0(l0為常數(shù))，做類似于最簡雙足機(jī)器人擺動(dòng)階段的運(yùn)動(dòng)，支撐腿繞踝關(guān)節(jié)向前擺動(dòng)直至與臺階平面垂直；(II-III)為支撐腿伸長階段，此階段發(fā)生于θst=0, 支撐腿的長度由l0伸長至L0,且該伸長過程是瞬時(shí)完成；(III-IV) 支撐腿繼續(xù)繞踝關(guān)節(jié)向前擺動(dòng)，直至擺動(dòng)腿運(yùn)動(dòng)到下一級階梯平面；(IV)為碰撞階段, 在原支撐腿踝關(guān)節(jié)處施加沿其指向髖關(guān)節(jié)方向的脈沖推力p,在p的作用下支撐腿離地，完成雙腿角色轉(zhuǎn)換。另外，為了避免新擺動(dòng)腿與樓梯發(fā)生擦碰，碰撞發(fā)生的同時(shí)，新擺動(dòng)腿由L0伸長至l0，且踝關(guān)節(jié)以下部分被收回。階段IV完成后，新擺動(dòng)腿與新支撐腿處于下一步行走的初始狀態(tài)。

圖2 上樓梯雙足機(jī)器人步態(tài)示意Fig. 2 Gait diagram of ascending stair biped robot。

雙足機(jī)器人在上樓梯過程中單腿支撐的擺動(dòng)階段分為支撐腿伸長前擺動(dòng)階段(I-II)和支撐腿伸長后擺動(dòng)階段(III-IV)，這2個(gè)階段都可以根據(jù)拉格朗日方程推出機(jī)械系統(tǒng)的擺動(dòng)階段動(dòng)力方程，機(jī)器人的動(dòng)態(tài)方程由連續(xù)微分方程表示。在支撐腿伸長階段和碰撞階段，機(jī)器人的狀態(tài)變化可以根據(jù)動(dòng)量矩守恒通過代數(shù)映射函數(shù)來表示。

1.1 支撐腿伸長前的擺動(dòng)階段

在階段I-II，機(jī)器人雙腿的長度均為l0, 支撐腿與地面無彈起和相對滑動(dòng)，擺動(dòng)腿向前擺動(dòng)。本階段采用拉格朗日方程得到雙足機(jī)器人擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)模型。以支撐腿踝關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，定義拉格朗日方程為

式中K和V分別為系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能。根據(jù)哈密頓原理，運(yùn)動(dòng)方程可以從以下拉格朗日方程得到

(1)

式中Fi為施加到質(zhì)點(diǎn)上的廣義力。分別計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能，可得拉格朗日表達(dá)式為

(2)

將式(2)代入式(1)，整理可得

(3)

1.2 支撐腿伸長階段

在階段III中，支撐腿運(yùn)動(dòng)到與臺階垂直位置的瞬間，支撐腿的伸縮裝置開始作用，該階段的條件可表示為

HS1={θ∈R2:T(θ)=θst=0}。

除重力外，雙足機(jī)器人整體只在支撐腿踝關(guān)節(jié)受到外力作用，機(jī)器人整體關(guān)于O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，如式(4)。擺動(dòng)腿僅受到髖關(guān)節(jié)A處的外力作用，擺動(dòng)腿關(guān)于髖關(guān)節(jié)A的角動(dòng)量守恒，如式(5)。

(4)

(5)

支撐腿伸長前后，雙足機(jī)器人關(guān)于支撐腿的角動(dòng)量以及擺動(dòng)腿關(guān)于髖關(guān)節(jié)的角動(dòng)量都是守恒的，即滿足

1.3 支撐腿伸長后的擺動(dòng)階段

在階段IV，機(jī)器人支撐腿長度為L0,擺動(dòng)腿長度為l0，擺動(dòng)腿向前擺動(dòng)。本階段采用拉格朗日方程得到雙足機(jī)器人擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)模型。

分別計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能，可得拉格朗日表達(dá)式為

(6)

將式(6)代入式(1)，整理可得

1.4 擺動(dòng)腿與樓梯碰撞切換階段

在上述假設(shè)條件下，當(dāng)滿足以下3個(gè)條件時(shí)，即為沖擊階段。

① 擺動(dòng)腿到達(dá)下一級樓梯表面；

② 擺動(dòng)腿向下移動(dòng)；

③ 擺動(dòng)腿運(yùn)動(dòng)到支撐腿前方,且兩腳質(zhì)點(diǎn)水平相距2S。

這3種沖擊條件可以分別由以下集合HS2轉(zhuǎn)換

(7)

由假設(shè)可知，雙足機(jī)器人發(fā)生碰撞時(shí)，擺動(dòng)腿與樓梯表面的接觸是剛性的，即非彈性的。雙足機(jī)器人在行走周期結(jié)束時(shí)發(fā)生剛性碰撞，碰撞是瞬間發(fā)生的，階梯對于擺動(dòng)腿的作用力被建模為脈沖矢量，擺動(dòng)腿與行走下一級階梯瞬時(shí)碰撞會(huì)導(dǎo)致兩條腿和站姿發(fā)生轉(zhuǎn)換，擺動(dòng)腿變成站姿腿，反之亦然。在此過程中，雙足機(jī)器人的配置變量不變，但廣義速度會(huì)發(fā)生跳躍。瞬間碰撞切換模型如圖3所示(V-和V+分別為施加脈沖推力前髖關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)速度和地面沖擊后髖關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)速度)。

圖3 雙足機(jī)器人的瞬時(shí)碰撞模型Fig. 3 Instantaneous collision switching model for bipedal robots

由圖3的幾何條件，很容易求出碰撞前后的各自由度變換關(guān)系以及雙腿長度間的關(guān)系如下

(8)

(9)

(10)

由擺動(dòng)腿關(guān)于髖關(guān)節(jié)的動(dòng)量矩守恒可得如下關(guān)系：

(11)

結(jié)合式(11)，雙足機(jī)器人碰撞前后的狀態(tài)變化關(guān)系可以用代數(shù)方程描述，寫成矩陣的形式如下

1.5 上樓梯雙足機(jī)器人步態(tài)的脈沖混雜模型

帶伸縮裝置的上樓梯雙足機(jī)器人的周期步態(tài)包括4個(gè)階段：支撐腿未伸長的擺動(dòng)階段、支撐腿伸長階段、支撐腿伸長后的擺動(dòng)階段以及擺動(dòng)腿與階梯碰撞切換階段。利用拉格朗日動(dòng)力學(xué)原理和角動(dòng)量守恒原理建立上樓梯雙足機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程，其中支撐腿伸長前后的擺動(dòng)階段都可以由連續(xù)型非線性微分方程描述；支撐腿伸長過程和擺動(dòng)腿與階梯碰撞過程都可以由離散型代數(shù)切換映射描述，因此上樓梯雙足機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型可表示為由多個(gè)連續(xù)型非線性微分方程和多個(gè)離散型代數(shù)映射構(gòu)成的脈沖混雜系統(tǒng)。

(12)

式中：Ω1?R4,Ω2?R4;HS1,HS2分別定義如下：

HS1={x∈R2:T(x)=θst=0},

HS2={x∈R4:Υ1(x)=H,Υ2(x)<0,Υ3(x)=2S},

fi(x)、Δi(x)以及g(x)分別為

2 龐加萊映射

2.1 脈沖推力

(13)

即pk滿足

2.2 龐加萊映射

龐加萊映射是一種研究周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性及其隨參數(shù)變化的分岔特征的幾何方法。為了建立上樓梯雙足機(jī)器人動(dòng)態(tài)行走步態(tài)對應(yīng)的龐加萊映射，選取擺動(dòng)腿與階梯碰撞后瞬間機(jī)器人的狀態(tài)所在的超平面作為龐加萊截面，記為Σ; 定義龐加萊映射為Φ:Σ→Σ，其中

在龐加萊截面上取一點(diǎn)x0∈Σ作為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，記xk為系統(tǒng)第k次返回截面∑的狀態(tài)變量，則龐加萊映射Φ:Σ→Σ可表示為

xk+1=Φ(xk)。

若存在一點(diǎn)xd∈Σ，滿足

xd=Φ(xd),

則稱xd為龐加萊映射的不動(dòng)點(diǎn)，生成的龐加萊映射的不動(dòng)點(diǎn)可用于分析行走模式和構(gòu)建模型分岔圖。

2.3 穩(wěn)定性分析

運(yùn)用龐加萊映射方法，通過分析系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性來分析行走穩(wěn)定性。

假設(shè)系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)為xd，對其施加微小擾動(dòng)Δxd，擾動(dòng)點(diǎn)經(jīng)龐加萊映射作用后為x*, 采用泰勒級數(shù)展開， 則有

x*=Φ(xd+Δxd)=Φ(xd)+JΔxd,

式中J為龐加萊映射函數(shù)相對于系統(tǒng)狀態(tài)的梯度，稱為雅可比矩陣，其表達(dá)式為

行走中的誤差通過雅可比矩陣J傳遞，J決定了不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性[9]，若J的最大特征值λm的模小于1或所有特征值均在復(fù)平面單位圓里，則誤差會(huì)逐漸消除，行走是穩(wěn)定的；反之，行走的誤差會(huì)隨著步數(shù)增加而被放大，行走不穩(wěn)定。特別地，當(dāng)J存在一個(gè)特征值λ0=-1時(shí)，則有一個(gè)超臨界的Flip分岔，此時(shí)一個(gè)周期-2解從周期-1分岔出來。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 周期步態(tài)的初始條件及參數(shù)設(shè)置

假設(shè)一周期步行時(shí)間為T，雙足機(jī)器人上樓梯的過程被分為4個(gè)階段：支撐腿伸長前擺動(dòng)階段(0～Ts)、支撐腿伸長階段(Ts)、支撐腿伸長后擺動(dòng)階段(Ts～T)以及碰撞階段(T)。

(14)

周期步態(tài)參數(shù)設(shè)置的具體流程如圖4所示。

圖4 周期步態(tài)參數(shù)設(shè)置的流程Fig. 4 Flowchart for setting parameters of the cycle gait

3.2 上樓梯雙足機(jī)器人模型的穩(wěn)定周期步態(tài)

如圖5(a)所示，將不動(dòng)點(diǎn)xd作為初始狀態(tài)，上樓梯雙足機(jī)器人的狀態(tài)在相空間中形成一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，其中點(diǎn)R1(K1)對應(yīng)支撐腿(擺動(dòng)腿)運(yùn)動(dòng)的初始點(diǎn)；點(diǎn)R2(K2)對應(yīng)支撐腿(擺動(dòng)腿)在圖2中(I-II)和(II-III)狀態(tài)之間的切換點(diǎn)；點(diǎn)R3(K3)對應(yīng)支撐腿(擺動(dòng)腿)在圖2中(II-III)和(III-IV)狀態(tài)之間的切換點(diǎn)；點(diǎn)R4(K4)對應(yīng)支撐腿(擺動(dòng)腿)在擺動(dòng)足發(fā)生瞬間的碰撞切換點(diǎn)。點(diǎn)Ri和點(diǎn)Ki(i=1, 2, 3, 4)分別表示支撐腿和擺動(dòng)腿在一個(gè)周期步態(tài)內(nèi)4個(gè)階段的切換點(diǎn)。圖5(b)為雙足機(jī)器人穩(wěn)定的周期-1步態(tài)下雙腿的角度和角位移的時(shí)間序列，可以看出在周期-1步態(tài)中支撐腿的角位移由正值逐漸減小到零后變?yōu)樨?fù)值再逐漸增大，擺動(dòng)腿角位移則是由負(fù)值向正方向運(yùn)動(dòng)直至最大角位移處，隨后擺動(dòng)腿做“回?cái)[”運(yùn)動(dòng)，此時(shí)擺動(dòng)角位移逐漸減小。圖6所表示的是擾動(dòng)解的相圖與時(shí)間序列，由圖6(a)可知，系統(tǒng)從出發(fā)的軌線趨向于對應(yīng)不動(dòng)點(diǎn)的周期-1解。圖6(b)表示以擾動(dòng)點(diǎn)為初始點(diǎn)的雙足機(jī)器人雙腿的角度和角位移隨時(shí)間變化逐漸穩(wěn)定。圖7為雙足機(jī)器人上樓梯的棍棒示意。結(jié)合圖5～7可以看出該雙足機(jī)器人在這組參數(shù)下具有穩(wěn)定的周期步態(tài)。

圖5 系統(tǒng)(12)在b=3.12,d=3.12,c=2.9 時(shí)的周期-1解Fig. 5 Period -1 gait for system (12) with b=3.12,d=3.12,c=2.9

圖6 系統(tǒng)(12)在b=3.12,d=3.12,c=2.9，初始點(diǎn)為[0.694 5,-0.627 6,-0.840 0,-0.170 0]T時(shí)的擾動(dòng)解Fig. 6 For system(12) with b=3.12,d=3.12,c=2.9, a gait of perturbation solutions starting from the point [0.694 5,-0.627 6,-0.840 ,-0.170 0]T

圖7 以[0.694 5,-0.627 6,-0.904 0,-0.185 0]T為初始點(diǎn),b=3.12,d=3.12,c=2.9 的雙足機(jī)器人上樓梯的棍棒圖Fig. 7 Stick diagram of ascending stair biped robot with b=3.12,d=3.12,c=2.9,and the initial point [0.694 5,-0.627 6,-0.904 0,-0.185 0]T

3.3 可調(diào)節(jié)脈沖力和固定脈沖力的性能比較

依然選取xd=[0.694 5,-0.627 6,-0.904 0,-0.185 0]T為初始狀態(tài)向量，其他初始參數(shù)不變，比較輸入不同種類的脈沖力對系統(tǒng)的影響。

圖8 系統(tǒng)(12) 分別在可調(diào)節(jié)脈沖(b=3.12,d=3.12,c=2.9)和固定脈沖pd=7.251作用下的效果Fig. 8 Effects of system (12) under the action of adjustable impluse (b=3.12,d=3.12,c=2.9) and fixed impluse pd=7.251, respectively

圖9 系統(tǒng)(12)分別在可調(diào)節(jié)脈沖(b=3.12,d=3.12,c=2.9)和固定脈沖pd=7.251作用下碰撞后支撐腿的角速度變化Fig. 9 Variation diagram of angular velocity of the standing leg just after the collision for system (12) under the action of adjustable impluse (b=3.12,d=3.12,c=2.9) and fixed impluse pd=7.251, respectively

3.4 周期步態(tài)的分岔

在環(huán)境參數(shù)或自身結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生改變的情況下，當(dāng)參數(shù)變化到一個(gè)臨界值時(shí)，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定，雙足機(jī)器人動(dòng)態(tài)行走呈現(xiàn)倍周期步態(tài)或混沌步態(tài)。

3.4.1 特征值分布

基于2.3節(jié)中的理論，采用數(shù)值方法求解J的特征值，并分析其在復(fù)平面空間的分布情況。

圖10和圖11分別為穩(wěn)定周期-1解和Flip分岔的特征值在復(fù)平面的空間分布圖。如圖10 所示，對3.2節(jié)中的不動(dòng)點(diǎn)xd=[0.694 5,-0.627 6,-0.904 0,-0.185 0]T施加微小擾動(dòng)，其雅可比矩陣J的所有特征值均在復(fù)平面單位圓內(nèi)，即最大特征值的模小于1，所以不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的，機(jī)器人具有穩(wěn)定周期-1步態(tài)。圖11反映了Flip分岔現(xiàn)象的特征值分布，采用相同初始狀態(tài)施加微小擾動(dòng)，其他參數(shù)固定不變，輸入脈沖參數(shù)為d=-3,c=5,b=- 0.99時(shí)系統(tǒng)達(dá)到臨界值。由圖11(b)可知，當(dāng)b=-0.99 時(shí)，雅可比矩陣存在一個(gè)λ*≈-1，當(dāng)b=-1時(shí)，有λ*<-1,此時(shí)，一個(gè)周期-2解從周期-1分岔出來。

圖10 系統(tǒng)(12)在b=3.12,d=3.12,c=2.9時(shí)周期軌道的所有特征值分布Fig. 10 Distribution diagram of all eigenvalues of the periodic orbit for system (12) with b=3.12,d=3.12,c=2.9

圖11 系統(tǒng)(12)在d=-3,c=5，b分別取-0.99和-1時(shí)的特征值分布Fig. 11 Eigenvalue distribution for system (12) with d=3.12,c=2.9, and b is taken as -0.99 and -1, respectively

3.4.2 脈沖參數(shù)分析

圖12 系統(tǒng)(12)在d=-3,c=5時(shí)的周期解的分岔Fig. 12 Bifurcation diagram of system (12) with d=-3,c=5

圖13 系統(tǒng)(12)在b=-1,c=5時(shí)周期解的分岔Fig. 13 Bifurcation diagram of system (12) with b=-1,c=5

3.4.3 髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)參數(shù)分析

影響雙足機(jī)器人穩(wěn)定步態(tài)的因素還有自身結(jié)構(gòu)參數(shù)，接下來分析髖關(guān)節(jié)質(zhì)點(diǎn)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。將髖關(guān)節(jié)質(zhì)量mH視為變量，固定其他參數(shù)(b=5，d=-7,c=5,m=0.5), 如圖14所示，隨著mH由10.8減小至約為10.02時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)分岔。

圖14 系統(tǒng)(12)在b=5，d=-7,c=5,m=0.5時(shí)的周期解分岔，mH∈(9.6,10.8)Fig. 14 Bifurcation diagram of system (12) with b=5，d=-7,c=5,m=0.5, mH∈(9.6,10.8)

4 結(jié)語

本文研究脈沖推力作用下帶伸縮腿上樓梯雙足機(jī)器人行走的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)。引入一種與支撐腿角速度相關(guān)且存在幅值限制的脈沖推力，運(yùn)用拉格朗日方程和角動(dòng)量守恒定律建立上樓梯雙足機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型。利用龐加萊映射分析帶伸縮腿上樓梯雙足機(jī)器人行走的穩(wěn)定性,討論脈沖參數(shù)b和d以及自身結(jié)構(gòu)參數(shù)mH對周期-1步態(tài)存在、穩(wěn)定以及分岔的影響。

理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)論表明：當(dāng)選擇合適的參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)存在穩(wěn)定的周期-1步態(tài)，即雙足機(jī)器人能穩(wěn)定地上樓梯；與支撐腿角速度相關(guān)且存在幅值限制的脈沖推力優(yōu)于固定的常值脈沖推力，能讓上樓梯雙足機(jī)器人快速進(jìn)入穩(wěn)定的行走狀態(tài)。這些結(jié)論為上樓梯雙足機(jī)器人實(shí)際行走的穩(wěn)定與控制提供了理論依據(jù)。