滑翔導(dǎo)彈軌跡跟蹤與能量管理模型設(shè)計(jì)與仿真

尹中杰，王 磊，施振興，王韋鈺，楊建東，蔡克榮

（上海機(jī)電工程研究所，上海 201109）

隨著高超聲速技術(shù)的發(fā)展，以美國為代表的軍事大國正在大力發(fā)展臨近空間高超聲速飛行器，并在完成一系列的飛行試驗(yàn)后提出了武器化的HSSW、AHW等項(xiàng)目，其中滑翔類項(xiàng)目因具有響應(yīng)時間短、飛行速度快和機(jī)動性強(qiáng)等優(yōu)勢成為后續(xù)發(fā)展中具有潛力的方案［1］。

在制導(dǎo)模型設(shè)計(jì)方面，由于滑翔導(dǎo)彈彈道在干擾情況下會偏離標(biāo)稱，造成較大的位置、速度散布并產(chǎn)生額外的控制負(fù)擔(dān)，所以，軌跡跟蹤與能量管理建模方法引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究。

在軌跡跟蹤建模方面，李曉龍［2］將高度控制回路轉(zhuǎn)化為經(jīng)典控制理論中的二階無靜差系統(tǒng)，提出一種具備高度跟蹤的制導(dǎo)模型。在此基礎(chǔ)上，劉凱［3］應(yīng)用極點(diǎn)配置方法，給出保證閉環(huán)穩(wěn)定性的PD制導(dǎo)模型參數(shù)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，從而完成考慮氣動不確定性的軌跡糾偏，但是由于上述跟蹤模型缺少速度反饋回路，所以無法在擾動情況下保證速度的一致性，存在末速散布大的問題。

在能量管理建模方面，李瑜［4-5］通過規(guī)劃傾側(cè)角-速度剖面模型構(gòu)建H-V 再入走廊，結(jié)合航向誤差走廊模型優(yōu)化傾側(cè)反轉(zhuǎn)時機(jī)，在滿足終端高度、速度約束的同時，將航向角誤差控制在一定范圍內(nèi)。在此基礎(chǔ)上，傅瑜［6-7］基于預(yù)測制導(dǎo)模型，通過在線積分得到末端狀態(tài)并以迭代的方式實(shí)現(xiàn)控高控速的目的。但是由于上述模型全程采用基于彈道偏角誤差門限的傾側(cè)翻轉(zhuǎn)邏輯進(jìn)行橫側(cè)向通道軌跡控制，存在橫側(cè)向航跡不固定、位移偏差大的問題，并不適用于有著嚴(yán)格禁飛安全距離約束的滑翔導(dǎo)彈。

綜上所述，考慮到現(xiàn)有模型在跟蹤滑翔導(dǎo)彈航跡時，存在橫側(cè)向位移偏差大無法滿足禁飛安全距離約束和末速散布大的問題。這里首先基于任務(wù)預(yù)劃分手段以減小末端速度、位置散布為目的，將彈道預(yù)先劃分為控速段與跟蹤段。在跟蹤段利用線性二次型調(diào)節(jié)器以位移加權(quán)誤差最小為優(yōu)化指標(biāo)，完成軌跡跟蹤制導(dǎo)模型設(shè)計(jì)。在控速段在軌跡跟蹤制導(dǎo)律縱向通道附加空氣剎車攻角修正量，結(jié)合傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)邏輯完成能量管理模型設(shè)計(jì)。最后開展拉偏條件下的對比仿真和蒙特卡洛打靶，通過對照分析位置、末速散布方式，驗(yàn)證本文制導(dǎo)模型控制精度優(yōu)于傳統(tǒng)方案，從而為滑翔導(dǎo)彈軌跡跟蹤方案提供潛在的技術(shù)途徑。

1 動力學(xué)建模與問題描述

1.1 動力學(xué)建模

在彈道坐標(biāo)系中建立動力學(xué)模型，采用傾斜轉(zhuǎn)彎模式（Bank To Turn，BTT），整個再入過程均為無動力狀態(tài)，在球形大地假設(shè)下給出三維動力學(xué)模型，即

式（1）中，V是速度，θ是彈道傾角，ψ是彈道偏角，h是高度，λ是飛行器在地表投影點(diǎn)的經(jīng)度，φ是飛行器在地表投影點(diǎn)的緯度，Re為地球半徑，g是重力加速度，m是飛行器的質(zhì)量。γ是傾側(cè)角，D是阻力，L是升力，L和D的計(jì)算方法由式（2）給出，即

式（2）中，ρ表示大氣密度，可以視為高度的函數(shù)，Sref為參考面積，CL和CD分別表示升力和阻力系數(shù)為攻角α和馬赫數(shù)Ma的函數(shù)。

1.2 航跡跟蹤問題描述

軌跡跟蹤制導(dǎo)問題可以描述為，對于給定的滑翔段標(biāo)稱軌跡，即

其中，(t)為標(biāo)稱彈道狀態(tài)量，為射擊系z項(xiàng)標(biāo)稱位移和速度，(t)為控制量。

利用線性二次型控制器設(shè)計(jì)原理，設(shè)計(jì)如下的狀態(tài)反饋控制器：

其中，(t)為控制量修正值，e(t)為狀態(tài)量標(biāo)稱值與實(shí)際值之差。

狀態(tài)反饋控制器基于設(shè)定的綜合考慮制導(dǎo)控制偏差與偏差控制量積分的加權(quán)性能指標(biāo)函數(shù)，即

計(jì)算滿足J最小的狀態(tài)反饋控制器系數(shù)，使得飛行器能夠用較小的加權(quán)偏差控制量確保實(shí)際飛行狀態(tài)與跟蹤標(biāo)稱飛行軌跡中裝訂值的總的偏差加權(quán)值最小。即

則軌跡跟蹤制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為如下的狀態(tài)反饋控制器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題：

1.3 能量管理問題描述

能量管理問題可以描述為基于事先規(guī)劃的滑翔段標(biāo)稱軌跡，在軌跡跟蹤制導(dǎo)律縱向通道附加空氣剎車攻角修正量Δαc，在正拉偏（速度大于標(biāo)稱）情況下以大攻角指令形式實(shí)現(xiàn)降速，即

其中，KL為設(shè)定的空氣剎車減速增量系數(shù)。

大攻角產(chǎn)生的額外升力通過設(shè)計(jì)傾側(cè)角指令γc，以傾側(cè)的方式確保升力縱向分量等于標(biāo)稱攻角產(chǎn)生的升力，實(shí)現(xiàn)高度跟蹤。同時為避免傾側(cè)產(chǎn)生較大橫側(cè)向位移，設(shè)置傾側(cè)角反轉(zhuǎn)邏輯，即

其中，為滑翔段標(biāo)稱軌跡彈道偏角。

綜上，能量管理模型在正拉偏情況下以小范圍犧牲橫側(cè)向精度的方式，通過空氣剎車進(jìn)行減速，從而消除散布，實(shí)現(xiàn)較高的速度，高度制導(dǎo)精度。

2 任務(wù)預(yù)劃分手段

在得到離線規(guī)劃好的彈道后，需要基于任務(wù)預(yù)劃分手段預(yù)先劃分為控速段與跟蹤段，結(jié)合軌跡跟蹤與能量管理模型實(shí)現(xiàn)減小末端速度、位置散布的目的。具體流程如下：

（1）讀取標(biāo)稱彈道數(shù)據(jù)，導(dǎo)彈任務(wù)初始化為stageenergy=1，其中stageenergy=1 為控速段狀態(tài)，0 為跟蹤段狀態(tài)。

（2）針對減小末速散布的需求，為提高空氣剎車減速效率，基于動壓Qv分配導(dǎo)彈任務(wù)，即

其中，Qvmin為控速段動壓門限。

（3）在任務(wù)狀態(tài)依舊為stageenergy=1 時，為避免在減速段因?yàn)闃?biāo)稱傾側(cè)角幅值過大，彈道偏角誤差頻繁大于誤差門限導(dǎo)致震蕩，基于再次分配任務(wù)，即

其中，為控速段傾側(cè)角門限。

（4）在任務(wù)狀態(tài)依舊為stageenergy=1時，為避免在繞飛時產(chǎn)生較大橫側(cè)向位移偏差，導(dǎo)致無法滿足禁飛安全距離約束，基于導(dǎo)彈與禁飛區(qū)航程ΔR再次分配任務(wù)，即

其中，ΔRmax為禁飛區(qū)航程約束門限。

在依次完成步驟（1）～（4）的判斷后，導(dǎo)彈基于當(dāng)前狀態(tài)分別選擇相應(yīng)模型進(jìn)行制導(dǎo)指令解算，如圖1所示。

圖1 任務(wù)預(yù)劃分手段流程圖Fig.1 Flow chart of task pre-division means

3 軌跡跟蹤模型

將高度h、射擊系Z項(xiàng)位移影響作為關(guān)注狀態(tài)量，引入位移微分項(xiàng)對狀態(tài)方程擴(kuò)維，沿飛行軌跡線性化可得

描述為狀態(tài)空間形式為

考慮飛行過程中與標(biāo)稱軌跡的偏差，沿著e(t)=0，(t)=0進(jìn)行線性化可以得到

針對線性化后的時變系統(tǒng)，這里需要設(shè)計(jì)一個狀態(tài)反饋控制器，即

通過線性二次型調(diào)節(jié)器配置反饋矩陣K，找到一組控制量u(t)。假設(shè)存在一個常量矩陣P使得

代入J后

令K=R-1BTP，則

在此基礎(chǔ)上，通過求解黎卡提方程得到矩陣P與控制參數(shù)K，軌跡跟蹤模型可以表示為

4 能量管理模型

在導(dǎo)彈處于控速階段，在軌跡跟蹤制導(dǎo)律縱向通道附加空氣剎車攻角修正量Δαc，以設(shè)定的大攻角指令αc實(shí)現(xiàn)降速，即

其中，αv為確保導(dǎo)彈在縱向通道穩(wěn)定跟蹤的指令攻角，Δhv為設(shè)置的高度小量，ΔDrv為設(shè)置的航程小量。

大攻角產(chǎn)生的額外升力通過設(shè)計(jì)傾側(cè)角指令γc，以傾側(cè)的方式確保升力縱向分量等于標(biāo)稱攻角產(chǎn)生的升力，實(shí)現(xiàn)高度跟蹤。在無法在線使用氣動庫的情況下，需要提前擬合升力系數(shù)，從而完成傾側(cè)角指令設(shè)計(jì)。

由式（2）可知，在已知馬赫數(shù)的情況下，升力系數(shù)與攻角相關(guān)，可基于最小二乘法將不同馬赫數(shù)下的升力系數(shù)擬合成以攻角為自變量的函數(shù)，即

其中，ΔMa為氣動庫中馬赫數(shù)各節(jié)點(diǎn)之間的步長。

在此基礎(chǔ)上，再次利用最小二乘法將各個節(jié)點(diǎn)的參數(shù)擬合為以馬赫數(shù)為自變量的函數(shù)，則線性回歸模型為

寫成矩陣形式為

采用最小二乘法對未知參數(shù)估計(jì)，即求解k的估計(jì)值

完成對升力系數(shù)的擬合，即

基于升力系數(shù)擬合函數(shù)，保證升力縱向分量等于標(biāo)稱攻角所產(chǎn)生的升力傾側(cè)角指令，可以為以下形式：

當(dāng)傾側(cè)角指令超出范圍（γc≥γcmax）后指令限幅，為避免限幅后升力縱向分量大于標(biāo)稱攻角所產(chǎn)生的升力，從而無法進(jìn)行高度跟蹤。這里需要減小空氣剎車攻角，則

在此基礎(chǔ)上，為避免傾側(cè)產(chǎn)生較大橫側(cè)向位移，需要設(shè)置傾側(cè)角反轉(zhuǎn)邏輯。當(dāng)彈道偏角誤差大于誤差門限Δψfz時，改變傾側(cè)角符號，當(dāng)彈道偏角誤差小于門限時，保持傾側(cè)角符號不變。

式（31）中，k- 1表示上一拍。

5 仿真分析

5.1 仿真輸入

假設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)經(jīng)緯度為（0.0°，0.0°），計(jì)劃繞過經(jīng)緯度為（-8.5°，1.4°）、（-6.5°，0.9°）的兩個40 km半徑禁飛區(qū)，并到達(dá)距離經(jīng)緯度為（11.6°，1.8°）的目標(biāo)點(diǎn)。這里導(dǎo)彈初始彈道傾角為85.0°，彈道偏角為0.0°，以末速最大為指標(biāo)，優(yōu)化得到圖2中的攻角、傾側(cè)角剖面，并積分得到圖3中滿足禁飛約束的離線規(guī)劃標(biāo)稱彈道。

圖2 標(biāo)稱攻角、傾側(cè)角-航程曲線Fig.2 Curves of nominal attack angle VS range and pitch angle VS range

圖3 導(dǎo)彈軌跡圖Fig.3 Trajectory graph of missile

在此基礎(chǔ)上，結(jié)合圖2的攻角、傾側(cè)角剖面，這里兼顧禁飛區(qū)繞飛階段的橫側(cè)向制導(dǎo)精度需求與控速需求，基于任務(wù)預(yù)劃分手段以航程為自變量，將彈道滑翔段提前分為三段，分別是50~250 km 的軌跡跟蹤段、250~600 km的能量管理控速段和600~1100 km的軌跡跟蹤段，實(shí)現(xiàn)分段航跡糾偏與控速。

5.2 軌跡跟蹤與能量管理仿真分析

本小節(jié)考慮氣動、推力不確定性的軌跡跟蹤仿真分析，通過與傳統(tǒng)算法對比末速散布ΔVf與最大、終端位置偏差(ΔHmaxΔZmax)、(ΔHfΔZf)的方式，驗(yàn)證建立的模型是否具有穩(wěn)定跟蹤標(biāo)稱彈道并減小末速散布的能力。

圖4為標(biāo)稱狀態(tài)與拉偏狀態(tài)下進(jìn)行能量管理的攻角、傾側(cè)角對照曲線。其中，軌跡跟蹤與能量管理模型在航程為50~250 km、600~1100 km 的跟蹤段，基于當(dāng)前時刻的位置、速度偏差解算修正指令，通過在標(biāo)稱值上附加攻角與傾側(cè)角的方式確保跟蹤誤差不發(fā)散；在250~600 km 的控速段，通過縱向通道附加空氣剎車攻角修正量并多次反轉(zhuǎn)傾側(cè)角的方式，在小范圍犧牲橫側(cè)向精度的情況下實(shí)現(xiàn)控高控速的目的。

圖4 攻角、傾側(cè)角-航程曲線Fig.4 Curves of attack angle VS range and pitch angle VS range

圖5-7 為基于表1拉偏條件，分析能量正向拉偏彈道仿真的速度和位置誤差-時間曲線。圖5中分別為標(biāo)稱狀態(tài)、采用軌跡跟蹤與能量管理模型和傳統(tǒng)P/D 跟蹤模型的速度-時間曲線。在標(biāo)稱狀態(tài)末速Vf為668 m/s 的情況下，軌跡跟蹤與能量管理模型在保證跟蹤誤差不發(fā)散的同時，通過空氣剎車的方式有效降低了散布。最大末速偏差由P/D 制導(dǎo)的328 m/s 降為180 m/s，速度一致性得到大幅提升。

表1 拉偏信息表Tab.1 Pull deviation information table

圖5 速度-時間曲線Fig.5 Curve of speed VS time

圖6-7 中分別為使用軌跡跟蹤與能量管理模型和傳統(tǒng)P/D 跟蹤模型的高度、橫向位移誤差-時間曲線。結(jié)合表3可知，由于本文方法在控速段以小范圍犧牲橫側(cè)向精度的方式進(jìn)行空氣剎車減速，所以在控速段產(chǎn)生了一定的橫側(cè)向位移，導(dǎo)致誤差最大值（1030 m）大于傳統(tǒng)P/D 控制（284 m）。但是如圖8所示，控速模型設(shè)置了最大彈道偏角偏差，當(dāng)控速段實(shí)際彈道偏角誤差大于誤差門限時改變傾側(cè)角符號，從而通過翻轉(zhuǎn)避免產(chǎn)生較大橫側(cè)向位移并導(dǎo)致誤差發(fā)散。

圖6 高度誤差-時間曲線Fig.6 Curve of height error VS time

圖7 Z項(xiàng)位置誤差-時間曲線Fig.7 Curve of position error of Z axis VS time

圖8 彈道偏角-時間曲線Fig.8 Curve of deflection angle VS time

表2 拉偏數(shù)據(jù)對比表Tab.2 Comparisons of simulation results

表3 位置偏差對比表（最大值）Tab.3 Comparison of the maximum position error

結(jié)合表4，通過與P/D 控制對比終端位置偏差可知，兩者控制誤差不明顯。因?yàn)楸疚姆椒ㄔ?00~1100 km 的跟蹤段重新引入軌跡糾偏模型，所以能夠在控速段引入了較大的位置偏差后快速進(jìn)行軌跡糾偏，使得跟蹤誤差收斂。

表4 位置偏差對比表（終端）Tab.4 Comparison of terminal position error

5.3 蒙特卡洛仿真分析

本小節(jié)開展氣動、推力偏差和大風(fēng)組合干擾情況下的蒙特卡洛打靶仿真，以概率分析的方式對比軌跡跟蹤與能量管理模型與P/D 模型的末速散布及位置偏差，如圖9-11，驗(yàn)證本文模型制導(dǎo)控制精度是否優(yōu)于傳統(tǒng)方案。

圖9 ΔVf蒙特卡洛打靶Fig.9 Monte Carlo shooting of ΔVf

由圖9可知，在20次的蒙特卡洛打靶仿真中，軌跡跟蹤與能量管理模型ΔVf全部小于200 m/s，60%概率ΔVf小于100 m/s；而P/D 模型只有35%概率ΔVf在200 m/s以內(nèi)。

由圖10-11 可知，2 種模型ΔHmax、ΔZmax全部在2 km 以內(nèi)，軌跡跟蹤+能量管理模型有95%概率在1 km，而P/D 模型為100%；ΔHf、ΔZf在1 km 以內(nèi)概率均為100%。

圖10 ΔZmax-ΔHmax蒙特卡洛打靶Fig.10 Monte Carlo shooting of ΔZmax VS ΔHmax

圖11 ΔZf-ΔHf蒙特卡洛打靶Fig.11 Monte Carlo shooting of ΔZf VS ΔHf

綜合6.2和6.3小節(jié)拉偏情況下的數(shù)學(xué)仿真可知，2 種模型的終端位置偏差相似，但軌跡跟蹤+能量管理模型具有更小的末速散布，從而避免產(chǎn)生額外的控制負(fù)擔(dān)。

6 結(jié) 論

本文針對干擾情況下彈道偏離標(biāo)稱，造成較大的位置、速度散布并產(chǎn)生額外的控制負(fù)擔(dān)的問題。首先基于任務(wù)預(yù)劃分手段以減小末端速度、位置散布為目的，將彈道預(yù)先劃分為控速段與跟蹤段。在此基礎(chǔ)上，各段分別建立軌跡跟蹤模型和空氣剎車+傾側(cè)角反轉(zhuǎn)邏輯模型，實(shí)現(xiàn)考慮不確定條件的分段在線糾偏與控速。最后開展蒙特卡洛打靶對比仿真，通過對照分析最大、終端位置偏差和末速散布的方式，驗(yàn)證了本文模型制導(dǎo)控制精度優(yōu)于傳統(tǒng)方案，從而為滑翔導(dǎo)彈軌跡跟蹤方案提供潛在的技術(shù)途徑。