基于灰色主成分分析的體系效能評估指標(biāo)篩選

陳 頂，錢曉超，汪 敏，杜君南，江宜航

（上海機電工程研究所，上海 201109）

隨著裝備的信息化水平越來越高，現(xiàn)代戰(zhàn)爭中越來越多的高科技裝備投入使用，使得戰(zhàn)爭形態(tài)發(fā)生變化。未來的戰(zhàn)爭主要是現(xiàn)代技術(shù)特別是高技術(shù)條件下的局部戰(zhàn)爭，其基本作戰(zhàn)形式將是諸軍兵種聯(lián)合作戰(zhàn)。體系是由多個功能上相對獨立的系統(tǒng)構(gòu)成，通過組合，共同實現(xiàn)單個系統(tǒng)不能具備的綜合能力。聯(lián)合作戰(zhàn)體系通過實施一體化的作戰(zhàn)行動與指揮，實現(xiàn)裝備之間的互連、互通以及互操作，提高作戰(zhàn)體系的任務(wù)可靠性以及作戰(zhàn)能力。在此情況下，評判聯(lián)合作訓(xùn)體系的優(yōu)劣，就成為體系內(nèi)裝備研發(fā)、作戰(zhàn)使用及部署的重要前提。而完成這一工作的主要方法是效能評估。目前，效能評估廣泛應(yīng)用于軍事、科研和制造業(yè)，也可用來評估一些計劃、工程和其他領(lǐng)域的效能，成為系統(tǒng)能力衡量的重要方法與工具［1］。

進行效能評估，需要對作戰(zhàn)體系各方面的指標(biāo)進行篩選并加以利用。體系作戰(zhàn)效能指標(biāo)是度量體系在完成作戰(zhàn)任務(wù)過程中所能支配的資源和所具備的運用資源的手段和效果的工具，是體系作戰(zhàn)效能評估的基礎(chǔ)。然而，在指標(biāo)分析過程中，往往會遇到一些矛盾：一是指標(biāo)多，帶來計算和分析上的不便，而且浪費大量存儲空間和消耗過多機器處理時間；二是多指標(biāo)間的相關(guān)性，造成指標(biāo)提供的整體信息發(fā)生重疊，不易得出簡明的規(guī)律；三是指標(biāo)體系與效能評估之間的關(guān)聯(lián)性不易衡量，目前的度量方法難以準(zhǔn)確、全面地描述聯(lián)合作戰(zhàn)體系指標(biāo)與作戰(zhàn)效能之間非線性、不確定性的復(fù)雜關(guān)系。因此，如何利用較少的指標(biāo)來盡可能代替整個總體，如何衡量體系指標(biāo)之間的耦合性，成為聯(lián)合作戰(zhàn)體系效能評估過程的首要問題。

為了解決這方面的問題，考慮Hotelling 在1933年提出的主成分分析（PCA）方法，利用主成分分析降低原始指標(biāo)體系維度，其主要思想是把多個指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個原始指標(biāo)的線性組合（主成分），反映絕大多數(shù)原始指標(biāo)信息。如Che-Tsung 等［2］在灰色分析方法的基礎(chǔ)上利用主成分分析對大量的財務(wù)指標(biāo)進行了降維處理并進行了綜合評價。Derya Kara［3］在評價微量金屬元素濃度過程中將16種金屬元素降維為5個主成分。Yongchen Li 等［4］通過主成分分析將10 個財務(wù)指標(biāo)降維至各個新的綜合性指標(biāo)。Harun Uguz［5］結(jié)合遺傳算法利用主成分分析方法對文本特征進行了提取。Harun Uguz［6］利用主成分分析法對重要的信號特征進行了降維。Zheng Haoyao等［7］利用主成分分析方法將地震后水庫的儲層綜合評價中涉及的15 項風(fēng)險因素降維為2 個主成分。王芳等［8］利用主成分分析方法對影響營養(yǎng)元素的土壤指標(biāo)進行篩選。王冬梅等［9］將主成分分析方法與小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，構(gòu)建更精確的預(yù)測模型。虞穎等［10］利用主成分分析方法將影響空氣質(zhì)量的因素進行降維。徐清宇等［11］利用主成分分析與聚類分析方法，從27 項營養(yǎng)品質(zhì)指標(biāo)中提取6 個主成分，較好地反映水稻品種。陳龍?zhí)兜龋?2］將主成分分析與隨機森林算法結(jié)合，降低變量維度，更準(zhǔn)確地診斷數(shù)據(jù)故障。然而，主成分分析方法基于數(shù)據(jù)全體，在對全體指標(biāo)籠統(tǒng)綜合的同時忽視了指標(biāo)之間的差異問題，即是否有若干個指標(biāo)關(guān)系十分密切而同屬一類。事實上，指標(biāo)之間不僅具有相關(guān)性，也具有類別性。顯然，對同類指標(biāo)進行主成分分析相較于對全體指標(biāo)進行主成分分析更易于解釋，更具合理性和客觀性。

綜上所述，本文針對體系效能評估指標(biāo)篩選需求，對主成分分析進行改進，加入了灰色系統(tǒng)理論中的灰色關(guān)聯(lián)思想，使用灰色關(guān)聯(lián)度矩陣作為相關(guān)系數(shù)矩陣進行主成分分析，采用灰色主成分分析方法對體系效能評估指標(biāo)進行篩選，識別出關(guān)鍵指標(biāo)。

1 基于灰色主成分分析模型構(gòu)建

1.1 主成分分析算法步驟

（1）對原始數(shù)據(jù)進行標(biāo)準(zhǔn)化。

假設(shè)樣本矩陣為X=(xij)n×p，對其進行如下變換，得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣，即

（2）計算相關(guān)系數(shù)矩陣。

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣計算相關(guān)系數(shù)矩陣，即

其中，rij=

（3）計算特征值與特征向量。

求解相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量。通過下列方程求解特征值和特征向量，即

其中，λ=(λ1，λ2，…，λp)，B=(b1，b2，…，bp)，即為特征值和特征向量。

（4）計算主成分的方差貢獻率和累計方差貢獻率。第j個主成分的方差貢獻率為

前m個主成分的累計方差貢獻率為

一般通過累計方差貢獻率在75%以上的變量來確定主成分個數(shù)m。

（5）確定主成分。

主成分的求解公式為

其中，Y1稱為第一主成分，Y2稱為第二主成分，Ym稱為第m主成分。

1.2 灰色關(guān)聯(lián)度矩陣

對于m個作戰(zhàn)仿真系統(tǒng)，每個系統(tǒng)都有n個不同的評估作戰(zhàn)效能的指標(biāo)，得到序列如下：

Xi與Xj的灰色絕對關(guān)聯(lián)度為εij，計算公式如下：

其中，

計算不同序列之間的灰色關(guān)聯(lián)度，得到關(guān)聯(lián)度矩陣如下所示：

R即為灰色關(guān)聯(lián)度矩陣。

1.3 灰色主成分分析模型

將R的特征值記為λj，存在λ1＞λ2＞…＞λn，設(shè)λj對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為ugj(g=1，2，…，n)，檢驗與調(diào)整ugj的方向，使得最優(yōu)樣本主成分得分優(yōu)于最劣樣本主成分得分。記調(diào)整后的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為tugj，按累計方差貢獻率α超過設(shè)定值的準(zhǔn)則確定作戰(zhàn)樣本最終選擇的主成分個數(shù)p(p＜n)，則基于灰色主成分分析模型的作戰(zhàn)樣本中第i個對象的第h個主成分得分為

其中，α=

設(shè)α(h)為基于方差貢獻率的第h個主成分的歸一化信息量權(quán)，則基于灰色主成分分析模型的第i個對象的主成分綜合得分為

其中，α(h)=

2 基于灰色主成分分析的指標(biāo)篩選步驟

（1）構(gòu)造指標(biāo)矩陣X。

設(shè)作戰(zhàn)樣本中包含m個對象，每個對象都有n個不同的評估作戰(zhàn)效能的指標(biāo)，記第i(i=1，2，…，m)個對象對應(yīng)于第j(j=1，2，…，n)個指標(biāo)的原始表現(xiàn)值為xij，指標(biāo)項重要性權(quán)重為wj(j=1，2，…，n)，滿足對其按wj加權(quán)后的指標(biāo)表現(xiàn)值為wzij=wj zij，則稱矩陣為基于重要性權(quán)重的加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)矩陣X。

（2）計算指標(biāo)矩陣的灰色關(guān)聯(lián)度矩陣。

記指標(biāo)矩陣X的灰色關(guān)聯(lián)度矩陣為R，根據(jù)上述灰色關(guān)聯(lián)度矩陣中的方法進行計算，得到，即為WZ對應(yīng)的灰色綜合關(guān)聯(lián)度矩陣。

（3）開展灰色主成分分析。

根據(jù)得到的灰色關(guān)聯(lián)度矩陣R，以及主成分分析步驟，使用R作為相關(guān)系數(shù)矩陣參與計算，得到特征值和特征向量，計算主成分的方差貢獻率和累計方差貢獻率。按累計方差貢獻率α超過85%的準(zhǔn)則確定最終選擇的主成分個數(shù)p，計算出基于灰色主成分分析模型的得分Yi(h)、Fi，據(jù)此進行指標(biāo)篩選。

3 案例分析

基于某導(dǎo)彈防御仿真系統(tǒng)，根據(jù)防御裝備體系組成要素，選取9 個性能指標(biāo)作為仿真系統(tǒng)的輸入變量，分別為警戒區(qū)域半徑（X1）、飛機攔截區(qū)域半徑（X2）、區(qū)域防空半徑（X3）、掩護幕防空區(qū)域半徑（X4）、目標(biāo)發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)（X5）、發(fā)射時間間隔（X6）、系統(tǒng)反應(yīng)時間（X7）、典型目標(biāo)RCS（X8）、典型目標(biāo)探測概率（X9）。選取仿真中的8 次仿真實驗，根據(jù)8 次實驗的9 個性能指標(biāo)值建立指標(biāo)矩陣，見表1。

根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度計算公式得到表1的灰色關(guān)聯(lián)度矩陣，見表2。利用表2的灰色關(guān)聯(lián)度矩陣，代入灰色主成分分析模型，得到主成分及方差貢獻率，見表3。

表1 指標(biāo)矩陣表Tab.1 Index matrix

表2 灰色關(guān)聯(lián)度矩陣表Tab.2 Grey correlation matrix

表3 主成分及方差貢獻率Tab.3 Principal components and variance contribution rate

基于灰色主成分分析方法對指標(biāo)進行篩選，根據(jù)上述計算分析結(jié)果，9 個指標(biāo)按重要度進行排序，結(jié)果為：{X7，X5，X1，X4，X9，X8，X6，X3，X2}。其中，系統(tǒng)反應(yīng)時間（X7）、目標(biāo)發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)（X5）、警戒區(qū)域半徑（X1）為對攔截數(shù)量影響度較高的關(guān)鍵因素。此結(jié)論與實際情況相符，驗證了基于灰色主成分分析的體系效能評估指標(biāo)篩選方法可行。

4 結(jié) 論

本文首先建立了灰色主成分分析方法模型，然后梳理了體系效能評估指標(biāo)篩選中灰色主成分分析方法的算法步驟，最后在某導(dǎo)彈攔截評估案例中應(yīng)用了該方法，篩選得到了關(guān)鍵指標(biāo)，驗證了該方法的可行性。本文提出的基于灰色主成分分析的體系效能評估指標(biāo)篩選方法，將相關(guān)度矩陣改進為灰色相似關(guān)聯(lián)度矩陣，改進了主成分分析方法，建立了灰色主成分分析模型，實現(xiàn)了體系效能評估指標(biāo)篩選。該方法操作簡單，適用于體系效能評估指標(biāo)篩選應(yīng)用。