SV波垂直入射下成層半空間地震動輸入模型比較

渠艷齡，朱柏潔

（1.中國地震局工程力學(xué)研究所地震工程與工程振動重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080；2.地震災(zāi)害防治應(yīng)急管理部重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080）

引言

在土－結(jié)構(gòu)動力相互作用分析中常采用人工邊界模擬幾何無限土域的動力特性。此時，遠場地震荷載由于無限土域的簡化而無法直接獲取?？紤]到地震波通過人工邊界進入近場，可根據(jù)地震波傳播規(guī)律，將遠場地震動轉(zhuǎn)化人工邊界處的等效地震力。一種轉(zhuǎn)化方法是考慮地震波從近場下臥層介質(zhì)向上傳播，到達地表后反射至下臥層，并向無窮遠處傳播。此時，等效地震力施加在近場側(cè)邊界處和底部（下臥層）。均質(zhì)介質(zhì)中的自由場運動可通過波動理論方便求解［1］。然而，對于復(fù)雜場地條件下側(cè)邊界處自由場運動往往不易求得［2］。研究表明，當(dāng)側(cè)邊界距離場地中心約為10倍場地深度時，側(cè)邊界處的地震力對自由場運動影響較?。?－4］。因此，另一個地震動輸入的方法是僅考慮近場底部地震動輸入，而忽略側(cè)邊界處的自由場運動效應(yīng)［5－6］。目前，關(guān)于地震動輸入模型的成果很多，但是側(cè)邊界處地震力對自由場運動的影響仍有待進一步研究［7］。

Li等［8］用波動法求得側(cè)向人工邊界處等效地震力，并通過數(shù)值計算研究了該地震力對土－結(jié)構(gòu)體系的影響。研究表明，僅考慮下臥層地震荷載得到的自由場運動數(shù)值結(jié)果與理論解偏差很大。Zhang等［5］和Zhao等［9－10］采用一維控制方程描述了二維自由場運動，計算結(jié)果證實當(dāng)成層介質(zhì)水平向尺寸足夠大時，側(cè)邊界處自由場允許效應(yīng)可以忽略。杜修力等［7］結(jié)合理論分析和數(shù)值模擬方法，分析了下臥剛性基巖條件下土－結(jié)構(gòu)體系地震反應(yīng)。研究指出，在通常的工程經(jīng)驗尺度內(nèi)忽略側(cè)邊界處自由場效應(yīng)影響無法得到正確的計算結(jié)果。然而，上述研究采用的人工邊界均不能完全吸收外行波，因此相應(yīng)的計算結(jié)果存在一定誤差。

比例邊界有限元法［11］結(jié)合了有限元和無限元的優(yōu)點，在模擬裂縫拓展［12］、網(wǎng)格剖分［13］以及地震波傳播［14］等方面有顯著的優(yōu)勢。比例邊界有限元法是一種半解析的計算方法，它可在有限元精度內(nèi)準(zhǔn)確模擬矢量和標(biāo)量外行波的傳播特性。文中研究了平面SV波垂直入射下自由場場地響應(yīng)，利用比例邊界有限元法準(zhǔn)確模擬了幾何無限介質(zhì)的動力特性，分別采用僅近場底部輸入和底部、側(cè)邊界同時輸入的地震動施加方式，通過理論分析和數(shù)值模擬比較了兩種輸入方式的異同，研究了側(cè)邊界處地震荷載對自由場響應(yīng)的影響，為求解成層半空間介質(zhì)地震波傳播提供理論依據(jù)和數(shù)值求解技術(shù)。

1 地震荷載輸入方式

成層半空間內(nèi)地震波的波動問題如圖1所示。二維近場的寬度為2d，深度為h。平面地震波從無限遠處以入射角為θ向右上方入射。當(dāng)平面波抵達近場的左下角（－d，－h(huán)）時設(shè)為時間起點t=0。

無阻尼自由場運動的時域控制方程為：

式中：M，K分別為近場的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；u為位移矩陣；下標(biāo)b，l，s分別表示在近場底部、側(cè)邊以及近場內(nèi)其余各點處的自由度，如圖2所示。由于地震波在傳播過程中穿過近場與遠場的交界面b和l，因此b和l邊界處均有等效地震力f。為了方便分析，本節(jié)理論在頻域內(nèi)展開。控制方程（1）的頻域表達式為：

式中：S代表頻域內(nèi)自由場動力剛度；U和F分別為頻域內(nèi)位移幅值和等效地震力幅值。式（2）考慮了近場底部b和側(cè)邊界l處的等效地震力輸入。這一輸入方式定義為模型BL。如果僅輸入側(cè)邊界b處等效地震力Fb，此時Fl=0，這一輸入方式為模型B－I。類似的，模型L表示僅在邊界l處輸入等效地震力。

另一種地震動輸入方式是只考慮地震波在下臥半無限空間內(nèi)的傳播，忽略側(cè)邊界處自由場運動效應(yīng)。因此等效地震力僅施加在底部b，而忽略側(cè)邊界處的地震荷載Fl。這一模型可由方程（3）描述：

式中各符號的含義與式（2）相同。這一模型在文中稱作模型B－II。

式（2）和式（3）中的等效地震力可通過子結(jié)構(gòu)法或直接法求解［15］。子結(jié)構(gòu)法考慮了無限介質(zhì)的動力特性，因此較直接法可得到更合理的等效地震力。文中故采用子結(jié)構(gòu)法求解近場－遠場交界面處的等效地震力。注意，雖然式（2）和式（3）中均在近場底部施加地震荷載，但是，模型B－I假設(shè)地震波在整個自由場中傳播。在成層場地中考慮各介質(zhì)間動力相互耦合，此時場地底部等效地震力Fb為：

式中：自由場運動U可根據(jù)地震波實際傳播路徑求解；?為近場和遠場交界面的底部；σ為?處位移對應(yīng)的應(yīng)力；為變形矩陣。而模型B－II假設(shè)地震波僅在下臥層中傳播，此時忽略了成層介質(zhì)與下臥層的動力耦合對等效地震力的貢獻。因此，模型B－II中等效地震力F*b通過下述方程求解：

2 人工邊界和等效地震力

文中采用比例邊界有限元法［11］模擬近場與遠場的動力特性。比例邊界有限元法結(jié)合了有限元和邊界元的優(yōu)點。它僅需離散單元的邊界，因此使得計算維度降低一維。比例邊界有限元法詳細推導(dǎo)過程參見文獻［11，16］。相對于比例中心（ξ=0）等比例縮放單元邊界，可獲得比例邊界單元，如圖2所示。具體地，比例邊界有限單元的幾何特性可描述為：

圖2 比例邊界有限元法模擬近場與遠場Fig.2 Modelling of near field and far field in the scaled boundary finite element method

式中：ξ和η分別是比例邊界坐標(biāo)系中徑向和環(huán)向坐標(biāo)；x和y是笛卡爾坐標(biāo)系下單元邊界點的坐標(biāo)；而x(ξ,η)和y(ξ,η)是比例邊界有限坐標(biāo)下的節(jié)點坐標(biāo)；N為形函數(shù)。近場中比例邊界有限單元滿足ξ≤1，而無限域中單元徑向尺寸滿足ξ∈[1,∞]。比例邊界有限單元徑向解連續(xù)且精確，環(huán)向解在有限元的意義上準(zhǔn)確［11］。坐標(biāo)轉(zhuǎn)化對應(yīng)的Jacobi矩陣Jb(η)為：

在比例邊界有限元法中動力剛度S滿足下述方程：

式（8）中上部符號對應(yīng)近場剛度滿足的方程，下部符號則對應(yīng)遠場剛度的情況。由于篇幅有限，這2個動力剛度的時域表達式參見文獻［16－17］。采用比例邊界有限元框架時等效地震力的表達式見文獻［1，14］。

3 數(shù)值算例

第1節(jié)介紹了2種不同的地震動輸入方式，即僅從底部輸入，以及從底部和側(cè)邊界同時輸入。下文分別探究這2種輸入模型對自由場動力響應(yīng)的影響。首先，驗證比例邊界有限元法模擬遠場的準(zhǔn)確性。然后，根據(jù)地震波在整個半無限介質(zhì)中的傳播規(guī)律，采用模型B－I求得等效地震力，并計算相應(yīng)的自由場運動。通過對比模型BL的結(jié)果分析側(cè)邊界處地震力Fl對自由場運動的影響。最后，假設(shè)地震波僅在下臥半空間介質(zhì)中傳播，根據(jù)模型B－II實現(xiàn)地震動輸入，通過比較模型B－I、模型B－II以及解析解，探尋2種地震動輸入模型之間的關(guān)系。

3.1 半空間介質(zhì)表面受壓計算

文中首先考慮了各向同性彈性半空間介質(zhì)表面受壓問題，旨在驗證比例邊界有限法模擬遠場的準(zhǔn)確性。分別采用比例邊界有限元法和粘彈性邊界模擬遠場的動力剛度。設(shè)近場寬度2d和深度h=d，如圖1所示。假設(shè)該介質(zhì)楊氏模量E=2.5，泊松比ν=0.25，質(zhì)量密度ρ=1，因此SV波波速cs=1。在介質(zhì)表面（－d，d）之間施加豎向荷載，該荷載時程曲線g(t)呈Ricker波形狀，即

式中：A是幅值；特征頻率fp=cs/3h；時間常數(shù)t0=4h/cs；時域分析中時間步長Δt=0.1h/cs。這一信號的時程曲線與對應(yīng)的傅立葉變換結(jié)果見圖3。

圖3 SV波的位移時程曲線和傅立葉變換Fig.3 Displacement time history and Fourier transform of vertically incident SV waves

近場由200個0.1h×0.1h的4節(jié)點單元構(gòu)成。在比例邊界有限元法中，遠場的動力特性由40個2節(jié)點比例邊界單元描述，如圖4所示。在另一個模型中采用粘彈性邊界模擬遠場動力特性，該人工邊界相關(guān)參數(shù)的選取參見文獻［18］。

圖4 均質(zhì)各向同性半無限介質(zhì)的網(wǎng)格剖分Fig.4 Mesh of a homogeneous isotropic half plane

圖5顯示了采用比例邊界有限元法和粘彈性邊界時觀察點C（見圖1）的位移響應(yīng)。兩者結(jié)果均與各向同性彈性半空間介質(zhì)中地震波波動解析解uexact相對比。定義相對誤差R（%）為：

圖5 受壓半空間介質(zhì)中C點位移時程Fig.5 Displacement time history at point C in a half plane subjected to a surface pressure

式中符號∣∣∣∣表示歐式范數(shù)。結(jié)果表明，采用比例邊界有限元法引起的相對誤差R=1.2%。減小時間步長Δt或增加截斷時間T可有效提高比例邊界有限元模擬無限域的精度［17，19］。相比之下，粘彈性邊界對應(yīng)的相對誤差R=13.2%。這說明比例邊界有限元法可較準(zhǔn)確地模擬無限域的動力特性，且模擬的準(zhǔn)確程度遠高于粘彈性邊界。

3.2 側(cè)向地震力對自由場動力響應(yīng)的影響

為了研究側(cè)向地震力對自由場動力響應(yīng)的影響，下文考慮SV波垂直入射（θ=0°）時半空間介質(zhì)波動問題。假設(shè)入射SV波為平面波，其位移呈Ricker波形狀，如圖3所示。場地條件與算例3.1相同。分別采用模型B－I，模型L和模型BL計算中心線CD（見圖1）上各點的位移時程，如圖6所示。各向同性彈性半空間介質(zhì)中地震波波動解析解uexact也包含在圖6中，以作對比。理論上，模型B－I與模型L計算結(jié)果之和應(yīng)與模型BL的相同。對比發(fā)現(xiàn)，前者對應(yīng)的相對誤差R最大值約為后者的2倍?？紤]到模型B－I、模型L和模型BL中僅等效地震力的大小不同，這說明數(shù)值分析系統(tǒng)誤差存在，且大小約為1%。由算例1可知誤差主要來源于遠場模擬。

圖6 比較采用模型BL和模型B－I時自由場反應(yīng)Fig.6 Comparison of free field motion using model BL and model B－I

由圖6可知，模型BL求得的計算結(jié)果與理論解的相對誤差R小于1%，而模型B－I對應(yīng)的結(jié)果與理論解差別R高達99.48%。這說明單獨考慮底邊地震輸入是遠遠不夠的。雖然側(cè)邊界處地震荷載始終存在，但其對CD線上各點的影響隨著近場寬度d的增加而減小。鑒于此，文中分別選取d/h=1，5，10和18，考察不同寬度下側(cè)邊界處等效地震力對自由場動力響應(yīng)的影響。圖7展現(xiàn)了不同寬度d下C點處位移響應(yīng)ub，以及CD線上各點位移與理論解相對誤差R的箱線圖。

圖7 模型B－I與模型BL中位移響應(yīng)比較Fig.7 Comparison of the displacement obtained from model B－I and model BL

研究表明，采用模型BL的計算結(jié)果與理論值的差別始終保持在1%以內(nèi)，且該誤差與近場寬度d無關(guān)。采用模型B－I時，隨著場地寬度d的增加，底邊地震荷載引起的位移ub快速收斂于理論解。這是因為側(cè)邊界處地震荷載引起的位移ul隨場地寬度d的增加而呈現(xiàn)指數(shù)衰減，如圖8所示。當(dāng)d增大到18h時模型B－I對應(yīng)的相對誤差R小于2.7%。然而，該誤差R仍高于模型BL對應(yīng)的結(jié)果0.9%。這說明側(cè)邊界處地震荷載fl始終存在，且當(dāng)場地寬度d較小時,fl不可忽略。當(dāng)d足夠大時，fl在一定的計算時間內(nèi)無法對研究點處自由場運動產(chǎn)生影響，此時側(cè)邊界處地震力對自由場運動的影響可忽略不計，即模型B－I與模型BL等價。

圖8 采用模型L時位移響應(yīng)Fig.8 Displacement response obtained by using model L

3.3 成層半空間介質(zhì)地震波傳播

第1節(jié)中介紹了僅底部輸入時有2種可行的方案：一種是考慮地震波在整個半無限介質(zhì)內(nèi)的傳播，即模型B－I；另一種則假設(shè)地震荷載僅與下臥層相關(guān)，即模型B－II。下文討論成層介質(zhì)中地震波傳播路徑對等效地震力計算結(jié)果的影響。比例邊界有限元法已用于模擬多層介質(zhì)中地震波傳播問題［19］，這里僅考慮兩層介質(zhì)的情況，如圖9所示。下臥層近場尺寸取為2d×h1，且有h1/h=1/3。假設(shè)成層介質(zhì)和下臥半空間介質(zhì)的材料特性相同。其他條件與算例3.2相同。

根據(jù)地震波在半空間介質(zhì)中的傳播規(guī)律［20］，SV波垂直入射時下臥層內(nèi)D點（見圖9）的應(yīng)力理論解為：

圖9 底部輸入等效地震力模型Fig.9 Models of equivalent seismic input applied at the bottom of the near field

考慮到SV波垂直時該介質(zhì)水平方向上應(yīng)力均勻分布，且單元網(wǎng)格尺寸均為0.1h，因此D點水平向地震力的理論解為：

為驗證數(shù)值方法的正確性，圖10（a）對比了等效地震力的數(shù)值解和理論解。結(jié)果表明，在場地底部中點D處，2種地震動輸入方法得到的數(shù)值解與理論解吻合很好。

圖11顯示了采用模型B－I和模型B－II時CD線（見圖9）上各節(jié)點的位移時程與相對誤差R。結(jié)果表明，這2種底部輸入模型均與理論解存在顯著差別。這說明在場地尺寸較小時，側(cè)邊界處地震力不可忽略。另外，采用下臥層剛度的模型B－I引起的相對誤差較模型B－II的大，前者約為后者的1.5倍。為進一步解釋原因，圖10（b）給出了采用不同模型時場地角點E處的等效地震力。由圖可知，模型B－II對應(yīng)的等效地震力約為模型B－I的1.47倍。這兩者等效地震力之差是由成層介質(zhì)和下臥層的動力耦合造成的（見式（4）和式（5））。因此，相對于地震波在整個自由場的傳播，考慮地震波在下臥層的傳播減少了由于場地介質(zhì)動力耦合產(chǎn)生的額外地震力，從而減小了對自由場運動計算結(jié)果的影響。

圖10 比較模型B－I與模型B－II等效地震力Fig.10 Comparison of equivalent seismic forces obtained from model B－I and model B－II

圖11 比較模型B－I與模型B－II中CD線上各點位移響應(yīng)Fig.11 Comparison of displacement response along CD in model B－I and model B－II

4 結(jié)論

文中采用理論分析和數(shù)值模擬的方法研究了2種不同的地震動輸入方式：一種是僅從近場底部輸入，另一種是同時從近場的底部和側(cè)邊界處輸入。研究以平面SV波垂直入射自由場為例，首先利用比例邊界有限元法嚴(yán)格模擬了幾何無限介質(zhì)的動力特性；基于此，結(jié)合理論分析和數(shù)值模擬方法，計算了2種模型對應(yīng)的自由場運動以及等效地震力。結(jié)果表明：

（1）側(cè)邊界處等效地震力對自由場運動的影響不可忽略，該影響隨著近場寬度的增加而呈指數(shù)降低趨勢；

（2）在本研究中，當(dāng)均質(zhì)彈性近場的寬深比（2d/h）大于36時，采用底部輸入模型得到的自由場運動數(shù)值解與理論解的誤差在5%之內(nèi)。當(dāng)在底部、側(cè)邊界同時輸入等效地震力時，求得的計算結(jié)果與理論解的誤差與場地尺寸無關(guān)。

（3）在底部輸入地震動模型中，相比于考慮地震波在整個自由場的傳播，假設(shè)地震波在下臥層傳播減小了由場地各介質(zhì)耦合產(chǎn)生的附加地震力，從而減小了自由場運動的求解誤差。