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    “球槽模型”的壓力極值位置分析

    2023-01-16 03:16:10李旭斌
    物理教師 2022年12期
    關(guān)鍵詞:半圓形最低點凹槽

    李旭斌

    (中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校,北京 100028)

    球槽模型是高中物理的一類經(jīng)典模型.在動量與能量綜合的習(xí)題課教學(xué)中,教師經(jīng)常以此模型為抓手,讓學(xué)生推導(dǎo)鋼球運動到最低點時的速度,以鞏固動量守恒及機械能守恒的應(yīng)用.筆者在執(zhí)教過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在“鋼球運動至最低點時對凹槽產(chǎn)生的壓力最大”的前概念,為一探究竟,筆者查閱文獻[1],發(fā)現(xiàn)將鋼球視為質(zhì)點模型,可以通過數(shù)理解析得出只有當槽質(zhì)量為鋼球質(zhì)量2.73倍以上時,鋼球在最低點才有最大速度.為考慮更一般的情形,筆者嘗試不將鋼球視為質(zhì)點,并結(jié)合了剛體純滾動、柯尼希定理、伽利略變換等方面的競賽知識做了深入思考.

    1 問題的提出

    如圖1,半圓形凹槽靜止放置在光滑水平地面上,鋼球從半圓形凹槽的左側(cè)邊緣由靜止釋放,凹槽質(zhì)量為M,鋼球質(zhì)量為m、半徑為R,凹槽圓心到鋼球球心的距離為r,重力加速度為g.

    圖1 半圓形凹槽板塊模型

    如果凹槽固定在地面上,鋼球運動過程等價于“球繩模型”,鋼球運動到最低處對凹槽產(chǎn)生的壓力最大,但是當凹槽與地面不再固定,鋼球仍然是在最低處對凹槽產(chǎn)生的壓力最大嗎?由于鋼球向下純滾動過程中,凹槽向左運動,兩者相互擠壓,壓力最大位置有可能出現(xiàn)在最低點附近嗎?

    2 定量分析

    如圖2,鋼球上行過程中,鋼球相對于凹槽的質(zhì)心速度vC′平行于凹槽切線方向斜向右上方,根據(jù)幾何關(guān)系vC′與水平方向夾角為θ,此時凹槽獲得水平向左的速度v.凹槽對鋼球的支持力為N,鋼球所受重力為G,鋼球所受靜摩擦力為f.

    圖2 鋼球沿凹槽上行

    根據(jù)伽利略變換可得此時鋼球?qū)Φ厮较蛴业乃俣葹関C′cosθ+v,根據(jù)水平方向動量守恒有

    忽略滾動摩擦所產(chǎn)生的機械能損耗,以鋼球在最低處球心所在平面為零勢能面,從開始到圖2狀態(tài),根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒有

    根據(jù)“柯尼希定理”鋼球?qū)Φ氐目倓幽躎為質(zhì)心對地平動動能和鋼球相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能之和,有

    鋼球上行過程中相對凹槽做純滾動,有

    球心相對O點做圓周運動,法線方向由牛頓第二定律可得

    聯(lián)立(1)-(5)式得到

    筆者嘗試同樣運用數(shù)理解析,將(6)式對cosθ進行求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)為0以求得鋼球?qū)Π疾蹓毫Φ臉O值,以及壓力極值出現(xiàn)的位置,但是過程繁瑣且最終的方程為一元五次,難以求解,因此筆者決定采用計算機數(shù)值模擬的方法取代(6)式的數(shù)理解析求法進行分析.

    2.1 情形1:M>m,判斷N max出現(xiàn)的最大位置

    取M=2 kg,m=1 kg,R=0.1 m,r=1 m,g=10 m/s2.采用 Mathematica軟件繪制的圖像如圖3所示.

    圖3 M>m情形下的壓力大小隨夾角θ的變化

    通過圖像可以發(fā)現(xiàn),鋼球?qū)Π疾蹓毫ψ畲蟮奈恢迷谧畹吞帲藭r槽質(zhì)量是鋼球質(zhì)量的2倍,在文獻[1]中描述的槽質(zhì)量是鋼球質(zhì)量的2.73倍以下,此時仍然得到鋼球?qū)Π疾蹓毫O值出現(xiàn)在最低處,可見考慮鋼球大小和外形的必要性.

    2.2 情形2:M=m,判斷N max出現(xiàn)的最大位置

    取M=1 kg,m=1 kg,R=0.1 m,r=1 m,g=10 m/s2.采用 Mathematica軟件繪制的圖像如圖4所示.

    圖4 M=m情形下的壓力大小隨夾角θ的變化

    通過圖像可以發(fā)現(xiàn),鋼球?qū)Π疾蹓毫ψ畲蟮奈恢迷冢?.3 rad到0.3 rad之間,由此發(fā)現(xiàn)槽質(zhì)量等于鋼球質(zhì)量是壓力極值偏離最低點的臨界條件.

    2.3 情形2:M<m,判斷N max出現(xiàn)的最大位置

    取M=1 kg,m=2 kg,R=0.1 m,r=1 m,g=10 m/s2.采用 Mathematica軟件繪制的圖像如圖5所示.

    圖5 M<m情形下的壓力大小隨夾角θ的變化

    通過圖像可以發(fā)現(xiàn),鋼球?qū)Π疾蹓毫ψ畲蟮奈恢迷冢?.6 rad和0.6 rad處,此時最大壓力出現(xiàn)的位置不再是最低處,而是在最低處附近的兩個對稱的位置上.

    3 小結(jié)

    考慮鋼球的大小和外形,通過計算機數(shù)值分析發(fā)現(xiàn),槽質(zhì)量等于鋼球質(zhì)量是壓力極值偏離最低位置的臨界條件,當半圓形凹槽質(zhì)量大于鋼球質(zhì)量時,鋼球?qū)Π疾鄣淖畲髩毫Τ霈F(xiàn)在最低處;當半圓形凹槽質(zhì)量小于鋼球質(zhì)量時,鋼球?qū)Π疾鄣淖畲髩毫Τ霈F(xiàn)在最低處附近的兩個對稱的位置上.該結(jié)論與將鋼球視為質(zhì)點情形下的分析結(jié)果有所不同,并且考慮鋼球的外形及鋼球的滾動效應(yīng)是必要的.

    教師在面向物理資優(yōu)生的教學(xué)中要注意將學(xué)生“鋼球在最低點對凹槽壓力最大”的前概念轉(zhuǎn)化為“鋼球質(zhì)量小于凹槽質(zhì)量時,鋼球在最低點對凹槽壓力最大”.可見,物理結(jié)論的成立存在一定的適用條件,當給定的條件、原有模型發(fā)生變化時,原有的物理結(jié)論也將發(fā)生變化,教師在日常教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注物理結(jié)論成立的背景及條件,防止思維定式的產(chǎn)生.這也有利于前概念的轉(zhuǎn)化.

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