利用不等式ekx>kx，lnxk0）突破函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

［摘? 要］ 放縮法是探究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常用方法，使用不等式ekx>kx，lnxk0）進(jìn)行放縮，可以有效找到函數(shù)的零點(diǎn)，關(guān)鍵是要滿足在探究函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)，放縮后得到的函數(shù)和原函數(shù)有相同的變化趨勢(shì).

［關(guān)鍵詞］ 放縮法；零點(diǎn)存在定理

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題以其方法的靈活性，涉及函數(shù)與方程、數(shù)學(xué)結(jié)合等重要思想，一直以來(lái)都是高考命題的熱點(diǎn).這類問(wèn)題涉及的函數(shù)在結(jié)構(gòu)中常含有ex，lnx，使得在探究零點(diǎn)時(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程為超越方程，無(wú)法直接求解，需要使用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷. 解決此類問(wèn)題的方法有很多，高效且較常用的方法是放縮法，主要策略是通過(guò)放縮將超越方程轉(zhuǎn)化為易于求解的方程［1］. 在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生非常畏懼此類題目，學(xué)生雖然知道可以使用放縮法求解，但怎么放，沒(méi)有方向性，此外，放縮的程度也經(jīng)常把握不準(zhǔn)，容易出現(xiàn)放得過(guò)大或過(guò)小等問(wèn)題，使得解題陷入僵局，最終不得不放棄.

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)使用零點(diǎn)存在定理研究函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，尋找f（a）·f（b）<0時(shí)，其中的一個(gè)零點(diǎn)是易于找到的——可以根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)代入特值“1”“2”等找到. 此外，一般地，若函數(shù)中含有ex，則可以嘗試代入lna，若函數(shù)中含有l(wèi)nx，則可以嘗試代入ea或e-a，判斷取值正負(fù). 另一側(cè)，則可以通過(guò)靈活使用不等式ekx>kx，lnxk0）進(jìn)行放縮，實(shí)踐證明能有效找到函數(shù)的零點(diǎn).

放縮的程度是否得當(dāng)可以參考以下原則，即在需要使用零點(diǎn)存在定理探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的區(qū)間里，放縮后得到的函數(shù)和原函數(shù)有相同的變化趨勢(shì)［2］. 例如，若對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行放縮，構(gòu)造f（x）>g（x），當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，函數(shù)g（x）同樣需滿足g（x）→+∞，則放縮成功，若g（x）不趨于正無(wú)窮大，則放縮失敗.

ekx>kx（k>0）型不等式突破含ex的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

例1 已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R.

（1）若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖像相切，求實(shí)數(shù)k的值；

（2）設(shè)x>0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m>0）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析：第（2）問(wèn)中，若構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex-mx2探究零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求極值點(diǎn)時(shí)不僅需要分類討論，而且需要二次求導(dǎo)，比較煩瑣.這里對(duì)方程ex-mx2=0進(jìn)行變形，得到函數(shù)g（x）=-m，研究此函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，與原問(wèn)題等價(jià)，且該函數(shù)的極值點(diǎn)易于求解，可以有效降低探究零點(diǎn)個(gè)數(shù)的難度.

解：（1）k=e-2.

（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=-m，求導(dǎo)得g′（x）=，令g′（x）=0，得x=2，所以g（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值為g（2）=-m.

當(dāng)m<時(shí)，最小值g（2）>0，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)m=時(shí)，最小值g（2）=0，函數(shù)g（x）有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)m>時(shí)，最小值g（2）<0，此時(shí)有<2，且g

=me-m>0，所以g·g（2）<0，函數(shù)g（x）在（0，2）上連續(xù)且單調(diào)，故g（x）在（0，2）上有1個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)x>2時(shí)，因?yàn)閑kx>kx，令k=，可得ex>x3，所以g（x）>x-m. 令x-m=0，則x=27m，所以g（27m）>0，所以g（2）·g（27m）<0，所以g（x）在（2，+∞）上有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)m<時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)g（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)g（x）→+∞，此時(shí)利用不等式ekx>kx進(jìn)行放縮，令k=1，，則得到ex>x，ex>x2，放縮g（x），得到的函數(shù)為h（x）=-m或h（x）=-m，當(dāng)x>2時(shí)，此時(shí)h（x）均不趨于正無(wú)窮大，縮小得太多，解題失敗.事實(shí)上，本題只要0（kx），h（x）=kx-m→+∞，令h（x）=kx-m=0，都可以找到零點(diǎn).

例2 函數(shù)f（x）=ex-2ax-a.

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：（1）略；

（2）f′（x）=ex-2a，當(dāng)a>0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=ln2a，所以f（x）在（-∞，ln2a）上單調(diào)遞減，在（ln2a，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值為f（ln2a）=a（1-2ln2a）.

當(dāng)a<時(shí)，最小值f（ln2a）>0，f（x）沒(méi)有零點(diǎn).

當(dāng)a=時(shí)，最小值f（ln2a）=0，f（x）有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a>時(shí)，最小值f（ln2a）<0，當(dāng)x

-

=e>0，當(dāng)x>ln2a，因?yàn)閑kx>kx，令k=，得ex>x2，所以f（x）>x2-2ax-a，令x2-2ax-a=0，解得x=x=4a+2，所以f（x）>0. 因?yàn)閒

·f（ln2a）<0，f（ln2a）·f（x）<0，所以f（x）在（-∞，ln2a）和（ln2a，+∞）上各有1個(gè)零點(diǎn)，共2個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)a<時(shí)，f（x）沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)a=時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)a>，x

利用lnxk0）型不等式突破含lnx的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù).

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解：（1）a>e.

（2）易證當(dāng)g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)時(shí)a≤. 求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于求函數(shù)h（x）=-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 由已知得h′（x）=，令h′（x）=0，得x=，函數(shù)h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，最大值為h（e）=-a.

當(dāng)a=時(shí)，h（x）的最大值為h（e）=0，函數(shù)h（x）有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a≤0，x>e時(shí)，h（x）>0，無(wú)零點(diǎn)；0

-1

<0，所以h（ea）·h（e）<0，函數(shù)h（x）在（0，e）上有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)0e時(shí)，因?yàn)閘nxk

e+

<0. 因?yàn)閔（1）·h（e）<0，h（e）·h

e+

<0，函數(shù)h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)h（x）在（0，e），（e，+∞）上各有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)a=或a≤0時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0

分析：當(dāng)0e，使得h（x）<0，此時(shí)可以利用lnxk0）將函數(shù)h（x）放大，得到新的函數(shù)g（x）=-a，原則是g（x）=0易于求解，且當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→-a，g（x）→-a. 若令不等式lnxk

例4 若函數(shù)f（x）=lnx-x-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：求導(dǎo)可得f′（x）=，所以函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)，最大值f（1）=-1-a. 因?yàn)閒（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以f（1）= -1-a>0，解得a<-1.

當(dāng)01時(shí)，因?yàn)閘nxk

筆者曾以上述試題為主設(shè)計(jì)過(guò)一節(jié)二輪專題復(fù)習(xí)課，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，因?yàn)椴坏仁絜kx>kx，lnxk0）非常簡(jiǎn)潔且易于證明，所以學(xué)生容易上手解題. 有了這個(gè)重要工具，放縮不等式就顯得游刃有余，即使第一次放縮不到位，學(xué)生通過(guò)調(diào)整k的取值，一般都可以使用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)零點(diǎn)的存在，從而有效解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

［1］? 李素波，姚芝英，史瑞華. 淺析放縮法在應(yīng)用零點(diǎn)存在判定定理時(shí)的作用［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2016（20）：53-57+60.

［2］? 王文英，蔣曉東. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（07）：49-53.

作者簡(jiǎn)介：李大偉（1990—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，2019年被評(píng)為常州市教壇新秀，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.