淺析對“通法”與“巧解”的幾點認(rèn)識

［摘? 要］ 在新課改的背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)越來越關(guān)注學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本思想方法的理解與應(yīng)用，這就要求在解題教學(xué)中應(yīng)重視通法的強化訓(xùn)練，以此培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣. 當(dāng)然，巧解也有其無法替代的價值，在教學(xué)中應(yīng)協(xié)調(diào)好兩者的關(guān)系，使其相互促進，助力解題能力全面提升.

［關(guān)鍵詞］ 通法；巧解；解題能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分學(xué)生片面地認(rèn)為“巧解”是提高解題效率的唯一有效途徑，為此在日常學(xué)習(xí)中常常沉迷于解題技巧，忽視了對通法的探究，最終影響了解題效果. 要知道，通法更具普適性，更能凸顯問題的本質(zhì)特征，因此在解題教學(xué)中應(yīng)重視通法，淡化特殊技巧，從而達(dá)到“會一題、通一類”的效果. 不過，通法與巧解相比，其解題步驟和運算過程可能更為煩瑣，操作也比較機械，因此教學(xué)時要處理好通法與巧解的關(guān)系，以便學(xué)生能找到最優(yōu)解決方案，以此提高解題效率.

筆者結(jié)合具體案例談幾點對通法和巧解的認(rèn)識，以期在日常教學(xué)中師生能夠處理好兩者的關(guān)系，相互促進，協(xié)同發(fā)展.

認(rèn)識巧解與通法的差異

1. 巧解靈活但存在局限

巧解因其有助于簡化解題過程，提高解題效率而受到了廣大師生的愛戴，不過并不是所有的問題都能巧解，其具有一定的局限性，若在學(xué)習(xí)過程中過度地追求巧解，容易陷入誤區(qū)，最終影響解題效果.

例1 設(shè)f（x）=x（ex+ae-x）（x∈R）是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為________.

對于例1，其大致有兩種普遍的解題方法：解法1為定義法，即利用偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x），通過等式變形求實數(shù)a的值；解法2為特值法，如利用f（-1）=f（1）直接通過解方程求實數(shù)a的值. 相信解題時大多數(shù)學(xué)生會選擇解法2，教師也提倡學(xué)生應(yīng)用解法2解題，甚至有的教師講授例1時僅僅給出特值法，從而讓學(xué)生認(rèn)為特值法是解決此類問題唯一的有效途徑. 對于本題利用特值法真的高效嗎？要知道，f（-1）=f（1）并不能確保函數(shù)f（x）一定是偶函數(shù)，那么學(xué)生解得a值后需要代入驗證，看看其是否滿足f（-x）=f（x），這樣加入驗證的過程與解法1的運算過程幾乎是相同的，可見，巧解并沒有真正地簡化解題過程. 另外，應(yīng)用特值法時，部分學(xué)生常常忽視代入驗證的過程，盲目地認(rèn)為f（-1）=f（1）是判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù)的充要條件，這樣就增加了錯解的風(fēng)險. 可見，巧解并不一定是最優(yōu)解題方案.

例2 已知等差數(shù)列｛a｝中，a+a=16，a=1，求a的值.

本題的解法比較靈活，但是大多數(shù)學(xué)生都由a+a=16先算出a=8，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得到a，a，a為等差數(shù)列，這樣直接求出a的值是15. 根據(jù)“a，a，a為等差數(shù)列”這一條件求解，屬于巧解. 那么如果改變題目中的任意下標(biāo)，此題是否還可以應(yīng)用以上方法求解呢？答案是否定的. 巧解具有一定的局限性，在教學(xué)中僅強調(diào)巧解是不夠的，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的一般方法，這樣學(xué)生才能擁有以不變應(yīng)萬變的能力.

2. 通法機械但應(yīng)用廣泛

縱觀歷屆高考題目，其所考查的都是通法，因此教學(xué)中應(yīng)淡化解題技巧，強化通法. 通法是一種易學(xué)的，且具有普適性的方法，雖然解題步驟和運算過程會有一些煩瑣，但是在通法的指導(dǎo)下學(xué)生可以快速地形成解法思路，以此提高解題效率.

對于例2，其實解決等差（或等比）數(shù)列問題時，已知兩個條件，那么就可以設(shè)公差（或公比），根據(jù)已知中的兩個條件列出方程組，求出首項、公差（或公比）. 如求解例2可以設(shè)等差數(shù)列｛a｝的首項為a，公差為d，所以a+a=a+6d+a+8d=2a+14d=16①，a=a+3d=1②，將①②聯(lián)立成方程組即可求得首項a=-，公差d=. 這樣無論下標(biāo)如何變化，通法都適用，因為通法更具普適性，思維也更加嚴(yán)謹(jǐn).

例3 如圖1所示，△ABC是邊長為1的正三角形卡紙，DE∥BC，現(xiàn)沿DE將卡紙剪成兩塊，記S=，則S的最小值是________.

解：設(shè)DE的長為x，則梯形的周長=x+1+2（1-x）=3-x，梯形的面積=（x+1）·

（1-x）=（1-x2），則S=·（0

0，

時，S′（x）<0，S（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈

，1

時，S′（x）>0，S（x）單調(diào)遞增. 故當(dāng)x=時，S的最小值是.

從以上解題過程可以看出，本題求解的關(guān)鍵在于對·的處理，這個就可以用通法來解決，即利用求導(dǎo)的思路求函數(shù)的最值. 通法能為解題提供重要的思維導(dǎo)向，有助于提高解題效率.

例4 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛a｝的前n項和為S，已知2a=a+a，數(shù)列｛｝是公差為d的等差數(shù)列. 求數(shù)列｛a｝的通項公式（用n，d表示）.

解：由題設(shè)知=+（n-1）d=+（n-1）d，當(dāng)n≥2時，a=S-S=（-）（+）=2d-3d2+2d2n. 由2a=a+a，得2（2d+d2）=a+2d+3d2，解得=d. 故當(dāng)n≥2時，a=2nd2-d2. 又a=d2，所以數(shù)列｛a｝的通項公式為a=（2n-1）d2.

對于例4，解題的關(guān)鍵就是數(shù)列的和與項的轉(zhuǎn)化，即a=S-S，這步轉(zhuǎn)化即為通法，是解決所有S與a關(guān)系的通法. 利用通法解決問題可使思維更加有序，讓學(xué)生快速找到解題的突破口，高效解決問題.

其實，無論是平時的練習(xí)題還是高考題，它們都有通法的影子，因此在日常教學(xué)中切勿盲目地追求解題技巧，應(yīng)從這些通法上下功夫，以此提高學(xué)生的基本能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

處理好巧解和通法

在日常教學(xué)中，部分教師為了提高教學(xué)效率，展示自己的才能，常常會刻意提出一些巧解，讓學(xué)生感嘆巧解之妙，羨慕教師之能. 這樣久而久之學(xué)生會對通法的機械、煩瑣產(chǎn)生厭煩情緒，這樣容易出現(xiàn)“重巧解，輕通法”的現(xiàn)象. 但并不是所有的題目都是有巧解的，一旦學(xué)生想不到巧解，就會感覺無所適從，很難順利解決問題，因此在日常教學(xué)中應(yīng)重視通法的訓(xùn)練. 那么強調(diào)通法是不是就要完全摒棄巧解呢？答案自然是否定的. 巧解在提高解題技能、提升思維品質(zhì)、優(yōu)化解題思路、簡化運算過程等方面有著突出的作用，在學(xué)生理解和掌握通法的前提下，也應(yīng)滲透一些巧解.

其實巧解有時候本身就是一種通法，而通法中也會有巧解的過程，所以不能將兩者完全割裂開來，應(yīng)處理好兩者的關(guān)系. 在日常教學(xué)中，應(yīng)先從基本思路出發(fā)，重視學(xué)生“四基”的培養(yǎng)，在學(xué)生已經(jīng)熟練掌握基本思想方法的基礎(chǔ)上適當(dāng)?shù)亟榻B一些巧妙的解題方法，以此拓寬學(xué)生的思維，開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣. 在具體教學(xué)中應(yīng)做到以下幾點：

1. 對“教”而言，應(yīng)加強通法的訓(xùn)練

通法是對數(shù)學(xué)知識的高層次抽象和概括，是對問題本質(zhì)的理解和感悟，是高考所考查的核心. 對于教師而言，在日常教學(xué)中不僅要重視滲透這些思想方法，而且要有針對性地進行強化訓(xùn)練，切實地讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)，只有這樣才能讓學(xué)生擁有“以不變應(yīng)萬變”的能力，才能幫助學(xué)生跳出茫?！邦}?！? 不過，在日常教學(xué)中，為了“趕進度，擴容量，提效率”，大多數(shù)教師更側(cè)重巧解，常常會運用一些啟發(fā)性的問題將學(xué)生引入自己提前預(yù)設(shè)的巧解上來，那么若沒有教師的啟發(fā)和引導(dǎo)，學(xué)生是否能夠自己發(fā)現(xiàn)呢？要知道，教師與學(xué)生的認(rèn)知水平、知識儲備有著明顯的差異，教師眼中的巧解不一定是學(xué)生能夠理解和接受的. 因此，在日常教學(xué)中，教師要將重心放在通法的掌握和鞏固上，巧妙地應(yīng)用一些變式問題引導(dǎo)學(xué)生理解問題的本質(zhì)，抽象出通法，切實提高解題能力. 值得注意的是，通法并不是簡單地模仿和套用，其更能考查思維的靈活性和變通性，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的推理性和嚴(yán)密性，因此教師應(yīng)多帶領(lǐng)學(xué)生體驗通法的妙用，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)品質(zhì).

2. 對“學(xué)”而言，應(yīng)先通法后巧解

對于學(xué)生而言，解題時不要盲目地追求巧解，應(yīng)先嘗試用通法求解，從而通過對通法的鞏固和強化提高“用數(shù)學(xué)”的能力. 要知道，許多問題都能通過通法解決，但并不是所有題目都能找到巧解，因此在日常教學(xué)中應(yīng)遵循“先通法后巧解”的原則，讓學(xué)生先將基礎(chǔ)知識和基本思想方法掌握扎實，這樣才能不斷優(yōu)化解題方案，提升解題效率.

3. 對“練”而言，應(yīng)讓巧解與通法同行

在平時的選擇題和填空題的練習(xí)上，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生嘗試應(yīng)用通法去解題. 周知，填空題和選擇題或多或少都帶有一些技巧性，有些還帶有一些運氣，那么此類問題是否也可以用通法來解決呢？在日常教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生多思考、多嘗試、多探索，鼓勵學(xué)生應(yīng)用不同的方法去解決問題，以此拓寬學(xué)生的思維，提高學(xué)生的綜合能力.

總之，在日常教學(xué)中，切勿貪多求快，應(yīng)注重學(xué)生“四基”的培養(yǎng)，重視通法的理解與強化，以此讓學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)和思維能力得到持續(xù)的優(yōu)化和提升.

作者簡介：詹前兵（1987—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲宜賓市普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量“二等獎”.