關(guān)注教學(xué)過程，促進(jìn)知識(shí)有序建構(gòu)

［摘? 要］ 新課標(biāo)引領(lǐng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，不再是機(jī)械的知識(shí)傳授過程，而是一種學(xué)生在互動(dòng)中不斷自然生成知識(shí)的過程. 文章以“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”教學(xué)為例，從問題導(dǎo)入、揭示課題、自主探究、加強(qiáng)訓(xùn)練這四個(gè)方面，具體談?wù)勗趫?zhí)教過程中該如何關(guān)注過程教育，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的有序建構(gòu).

［關(guān)鍵詞］ 教學(xué)過程；過程教育；有序建構(gòu)

格式塔理論認(rèn)為，人的認(rèn)知活動(dòng)過程并非對(duì)各種經(jīng)驗(yàn)要素的簡(jiǎn)單集合，而是對(duì)事物的各個(gè)部分與相互關(guān)系形成整體性的理解. 新課標(biāo)也明確提出新知的建構(gòu)離不開過程教育的支撐. 但是，當(dāng)前仍有不少教師只將眼光放在學(xué)生對(duì)結(jié)論的掌握程度上，而忽視了過程教育的重要性，甚至出現(xiàn)了知識(shí)建構(gòu)雜亂無章的情況.

鑒于此，筆者以“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”教學(xué)為例，具體談?wù)勗趫?zhí)教過程中，該如何關(guān)注過程教育，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的有序建構(gòu).

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 問題導(dǎo)入

俗話說：“良好的開端是成功的一半.”課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)在一節(jié)課中具有重要意義，它不僅能讓學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)方向，還能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以最好的狀態(tài)進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)［1］. 本節(jié)課所涉及的內(nèi)容比較抽象，故筆者結(jié)合問題情境，利用多媒體，提出“問題串”，在短時(shí)間內(nèi)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).

師：生活中，常會(huì)遇到一些有限資源合理分配利用的問題，遇到這種情況，我們要如何做才能達(dá)到最優(yōu)的分配效果呢？

PPT呈現(xiàn)：某單位計(jì)劃生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲類產(chǎn)品每噸需要用4噸A種原料，12噸B種原料，可獲得2萬元的利潤(rùn)；生產(chǎn)乙類產(chǎn)品每噸需要用1噸A種原料，9噸B種原料，可獲得1萬元的利潤(rùn). 目前倉庫有10噸A種原料，60噸B種原料，怎么安排生產(chǎn)能獲得最大利潤(rùn)？

引導(dǎo)性“問題串”：

（1）問題中提到的“怎么安排生產(chǎn)”是什么意思？安排生產(chǎn)誰？（變量設(shè)定）

（2）本題涉及的利潤(rùn)和甲乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量具有怎樣的關(guān)系？（目標(biāo)函數(shù)）

（3）所設(shè)變量x，y被什么條件制約？（列表，寫不等式）

（4）本題信息量大，我們可以借助什么分析數(shù)據(jù)？（PPT呈現(xiàn)表1）

解：設(shè)甲乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x，y噸，所產(chǎn)生的利潤(rùn)為P萬元，那么實(shí)數(shù)x，y滿足12x+9y≤60，

4x+y≤10，

x≥0，

y≥0①，利潤(rùn)P=2x+y②.

師：觀察此問提煉出的模型，這是一類在一定條件的限制下，與x，y相關(guān)的代數(shù)式最值問題，也是本章節(jié)重點(diǎn)研究的內(nèi)容之一.

設(shè)計(jì)說明：從系統(tǒng)化的角度展示一個(gè)完整的問題情境，讓學(xué)生從中感知待學(xué)知識(shí)的必要性與實(shí)用性，本節(jié)課的教學(xué)主題也自然而然地呈現(xiàn)在學(xué)生的視野中.

2. 揭示課題

師：觀察關(guān)于x，y的限制條件，我們將前面兩個(gè)不等式稱為什么？

生1：二元一次不等式.

師：非常好！現(xiàn)在大家觀看PPT上呈現(xiàn)的重點(diǎn)內(nèi)容. （PPT展示二元一次不等式與二元一次不等式組的概念）

師：大家能解出4x+y≤10嗎？

（學(xué)生解題，教師總結(jié)解的結(jié)構(gòu)特征）

PPT呈現(xiàn)：二元一次不等式（組）的各組解都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的x，y值，而且x，y值還能組成有序數(shù)對(duì)（x，y），所有類似于此的有序數(shù)對(duì)（x，y）所構(gòu)成的集合，我們稱為二元一次不等式（組）的解集.

師：我們一起來觀察一下，不等式4x+y≤10的解集可以用｛（x，y）

4x+y-10≤0｝來表示，顯然，能滿足不等式組①的解有無數(shù)個(gè). 我們需要將所有解都代入目標(biāo)等式②進(jìn)行運(yùn)算嗎？

生2：這是不可能完成的工作.

師：確實(shí)，從代數(shù)的角度出發(fā)，將每個(gè)解都代入目標(biāo)等式進(jìn)行運(yùn)算是不現(xiàn)實(shí)的，也沒有這個(gè)必要. 這就要求我們換一個(gè)角度來研究該不等式（組）. 眾所周知，二元一次不等式（組）的每組解均可構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），從這個(gè)角度來分析，我們可以看到它具有怎樣的幾何意義？

當(dāng)學(xué)生討論后，教師將總結(jié)的內(nèi)容呈現(xiàn)在PPT上：我們可以將有序?qū)崝?shù)對(duì)理解為直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)個(gè)坐標(biāo)，那么二元一次不等式（組）的解集可以理解為直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)所組成的集合.

板書：有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）?平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：通過引例中出現(xiàn)的二元一次不等式（組）介紹相關(guān)概念，既自然又高效. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過舉例感知代數(shù)法在解題中存在的障礙，從而轉(zhuǎn)化思維角度，從幾何方向去研究二元一次不等式（組），這種轉(zhuǎn)變自然、流暢，不論從學(xué)生的心理角度還是情感角度，都能有效激發(fā)學(xué)生的探究熱情，為接下來教學(xué)做鋪墊.

3. 自主探究

師：我們依然來觀察4x+y≤10這個(gè)不等式，很顯然，該不等式與“4x+y<10或4x+y=10”是等價(jià)的. 對(duì)于4x+y=10的幾何意義大家比較清楚，誰來說一說？

生3：4x+y=10即y=-4x+10，該一次函數(shù)的圖像為一條直線.

師：很好！4x+y=10的解集為｛（x，y）

4x+y-10=0｝?直線y=-4x+10上的點(diǎn)組成的集合.

預(yù)設(shè)：若學(xué)生沒有想到從一次函數(shù)的角度來分析這個(gè)問題，可讓學(xué)生先將滿足該方程的若干組解寫出來，要求學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出這些解的坐標(biāo)點(diǎn)，然后通過觀察引發(fā)猜想. 教師引導(dǎo)學(xué)生從一次函數(shù)的角度來解讀該現(xiàn)象，既可提高教學(xué)效率，又能促進(jìn)學(xué)生思維的有效生長(zhǎng)（描點(diǎn)的過程可借助幾何畫板操作）.

此處即本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，可分為以下幾個(gè)階段進(jìn)行研究.

【階段1】? 師生協(xié)作，初步感知.

問題1：思考不等式4x+y<10的解集與哪些點(diǎn)組成的集合相對(duì)應(yīng).

要求學(xué)生分組討論，而后各組將結(jié)論展示交流.

預(yù)設(shè)：（1）不等式4x+y<10的解集與直線y=-4x+10左下方的點(diǎn)組成的集合相對(duì)應(yīng).

（2）不知道.

當(dāng)學(xué)生表示“不知道”時(shí)，教師可結(jié)合學(xué)生認(rèn)知提出問題，以輔助學(xué)生思考，如能否寫出該不等式的一些解？這些解的坐標(biāo)點(diǎn)位于平面直角坐標(biāo)系的什么位置，存在怎樣的分布特征？

隨著這些啟發(fā)性問題的引導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷書寫解、描點(diǎn)、猜想等過程（描點(diǎn)可借助幾何畫板操作）. 低起點(diǎn)、小步子的引導(dǎo)過程，讓學(xué)生的思維由淺入深逐步向前，對(duì)問題產(chǎn)生直觀認(rèn)識(shí)與理解. 這種教學(xué)效果，是教師直接呈現(xiàn)結(jié)論無法比擬的.

問題2：不等式4x+y<10的解集與直線y=-4x+10左下方的點(diǎn)組成的集合相對(duì)應(yīng)的理由是什么？

取任意滿足不等式4x+y<10的點(diǎn)P（x，y），均有y<-4x+10，從單因子變量控制法出發(fā)，取直線y=-4x+10上橫坐標(biāo)亦是x的點(diǎn)P′（x，y′），因?yàn)閥′=-4x+10，所以y

問題3：是不是直線y=-4x+10的左下方所有點(diǎn)的坐標(biāo)，均滿足不等式4x+y<10？存在不滿足的點(diǎn)嗎？

探索步驟1：師生一起，借助幾何畫板在直線y=-4x+10的左下方任意取點(diǎn)，同時(shí)觀察代數(shù)式的符號(hào)情況，讓學(xué)生從直觀上形成一定的感知，然后實(shí)施論證，這種一般性的論證過程，無須過分追求嚴(yán)謹(jǐn).

探究步驟2：在直線y=-4x+10的左下方任意取點(diǎn)P（x，y），直線y=-4x+10上一直有一個(gè)橫坐標(biāo)相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，-4x+10），由于點(diǎn)P的位置在直線y=-4x+10的左下方，所以y<-4x+10，即4x+y<10. 由此可確定直線y=-4x+10的左下方的任意點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）一定滿足不等式4x+y<10.

此時(shí)，教師再次將不等式4x+y<10的解集板書于黑板上，并著重強(qiáng)調(diào)不等式解集與相應(yīng)的平面區(qū)域的等價(jià)關(guān)系存在哪兩層意義，以加深學(xué)生的印象，讓學(xué)生更加深刻地理解這部分內(nèi)容.

【階段2】? 深化理解，完整建構(gòu).

問題4：4x+y-10>0是指哪些點(diǎn)所組成的區(qū)域？

預(yù)設(shè)：（1）從問題本身的角度進(jìn)行判斷.

（2）從補(bǔ)集的角度進(jìn)行分析，4x+y-10>0是由直線y=-4x+10右上方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域.

教師通過幾何畫板演示，拖動(dòng)平面內(nèi)的點(diǎn)，讓學(xué)生在直觀圖像的變化中，感知4x+y-10的符號(hào)（大于0，小于0，等于0）會(huì)發(fā)生怎樣的變化.

從補(bǔ)集的角度分析并板書如下：

U=｛（x，y）

x∈R，y∈R｝?坐標(biāo)平面；A=｛（x，y）

4x+y-10=0｝?直線4x+y-10=0；B=｛（x，y）

4x+y-10<0｝?直線4x+y-10=0的左下方區(qū)域；C（A∪B）=｛（x，y）

4x+y-10>0｝?直線4x+y-10=0的右上方區(qū)域.

小結(jié)：（1）4x+y-10>0與4x+y-10<0表示的是直線4x+y-10=0不含邊界線的一側(cè)區(qū)域；

（2）換表達(dá)方式，即直線4x+y-10=0不含邊界的某一側(cè)區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)，必然滿足4x+y-10>0或4x+y-10<0（必滿足其一）. 因此，把直線4x+y-10=0一側(cè)（不含邊界線）的所有點(diǎn)的坐標(biāo)都代入4x+y-10，獲得的結(jié)果要么均大于0，要么均小于0，也就是符號(hào)必定相同；而把不同側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入式子，獲得的結(jié)果的符號(hào)必定是相異的.

板書：在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出直線4x+y-10=0的不同區(qū)域（左下或右上），可體現(xiàn)出直線、方程、不等式、平面區(qū)域的對(duì)應(yīng)關(guān)系. （借助幾何畫板展示圖像）

【階段3】? 實(shí)際應(yīng)用，深化理解.

問題5：在草稿紙上畫出x+y≥0所表示的平面區(qū)域.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固以上探究活動(dòng)的成果，引導(dǎo)學(xué)生在自主操作中尋找探究規(guī)律與方法，為提煉從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想做鋪墊.

（學(xué)生自主探究）

師：從以上探究過程來看，大家基本得到了以下結(jié)論.

（1）Ax+By+C>0（<0）代表直線Ax+By+C=0的某一側(cè)區(qū)域；

（2）具體判斷該區(qū)域位于哪一側(cè)，可結(jié)合以上兩個(gè)問題（問題4、問題5）的結(jié)論進(jìn)行判斷：①代點(diǎn)檢驗(yàn)，這種方法的檢驗(yàn)依據(jù)是“同側(cè)同號(hào)、異側(cè)異號(hào)”；②將問題轉(zhuǎn)化成y>ax+b或y

設(shè)計(jì)意圖：逐層深入的三個(gè)探究階段的應(yīng)用，能讓學(xué)生明晰探究過程與思路. 從直線與一次函數(shù)相對(duì)應(yīng)的關(guān)系著手分析，學(xué)生更容易接受，這為順利展開探究互動(dòng)奠定了基礎(chǔ). 遇到教學(xué)難點(diǎn)時(shí)，教師并沒有應(yīng)用“注入式”教學(xué)方法，而是結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，順學(xué)而導(dǎo). 主要表現(xiàn)在平面區(qū)域分割關(guān)系和集合互補(bǔ)關(guān)系對(duì)應(yīng)處，有效地增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

關(guān)于不等式所表示的區(qū)域位于平面內(nèi)直線的哪個(gè)位置的問題，教師并沒有直接將其拋給學(xué)生，而是鼓勵(lì)學(xué)生自主探究實(shí)踐后得以感知、體會(huì)并感悟，這種教學(xué)設(shè)計(jì)不僅遵循了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“以生為本”“學(xué)生是教學(xué)的主體”等理念，還與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律相吻合，更利于學(xué)生接納與吸收.

4. 加強(qiáng)訓(xùn)練

練習(xí)：（1）嘗試畫出以下不等式（組）所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域.

①2x-y+3<0；

②x≥0；

③3x+y≤10，

12x+8y≤60，

x≥0，

y≥0；

④（3x+y）x≥0.

（2）寫出圖1、圖2所示的平面區(qū)域（陰影部分，包含邊界）對(duì)應(yīng)的不等式（組）.

（3）已知點(diǎn)（1，2），（3，-1）均位于直線x+y-m=0的同一側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（4）經(jīng)過本節(jié)課的探索，獲得不等式組12x+9y≤60，

4x+y≤10，

x≥0，

y≥0的解集與相應(yīng)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)為對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)我們獲得相應(yīng)的平面區(qū)域后，該如何求出最大的利潤(rùn)呢？

設(shè)計(jì)意圖：從問題的正反兩面進(jìn)行分析，不僅緊扣主題，還揭示了本節(jié)課所涉及的數(shù)形結(jié)合思想. 一個(gè)個(gè)問題的突破，不僅鞏固了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還讓學(xué)生的思維隨著問題的深入而發(fā)展，為后繼教學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ).

完成以上教學(xué)環(huán)節(jié)后，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧、梳理、總結(jié)知識(shí)內(nèi)容，并結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平設(shè)計(jì)分層作業(yè)，讓每個(gè)水平層次的學(xué)生都能在相應(yīng)的作業(yè)中提升能力（具體過程略）.

教學(xué)分析

1. 新知引入，自然流暢

課堂導(dǎo)入從知識(shí)的系統(tǒng)性出發(fā)，站在章節(jié)的角度應(yīng)用一個(gè)畫圖方便、內(nèi)容真實(shí)的問題吸引學(xué)生的注意力，成功將生活與知識(shí)銜接起來，讓學(xué)生從心理與情感上自然而然地對(duì)本節(jié)課教學(xué)產(chǎn)生親近感. 這種導(dǎo)入方式有效激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，將學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性充分調(diào)動(dòng)了起來.

2. 過程推進(jìn)，清晰明朗

想要讓學(xué)生接納新知，僅讓學(xué)生知道問題的結(jié)論是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的. 學(xué)生只有做到知其然且知其所以然，才能從真正意義上內(nèi)化并建構(gòu)新知. 帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)知識(shí)的形成與發(fā)展過程，一環(huán)接一環(huán)的問題設(shè)置等，是促進(jìn)知識(shí)自然生成的必經(jīng)之路［2］.

本節(jié)課，教師以數(shù)形結(jié)合思想為主，逐步推進(jìn)學(xué)生建立二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，整個(gè)過程目標(biāo)明確、層次分明、思路清晰，學(xué)生的思維由淺入深地發(fā)展. 在解決問題的引導(dǎo)上，教師從學(xué)情出發(fā)，預(yù)設(shè)多種方案，從真正意義上實(shí)現(xiàn)了因勢(shì)利導(dǎo)的教學(xué)模式. 貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的一個(gè)個(gè)問題，讓整個(gè)課堂如行云流水般自然、流暢，有效地提高了課堂教學(xué)效率.

3. 關(guān)注難點(diǎn)，過程體驗(yàn)

針對(duì)教學(xué)難點(diǎn)，本節(jié)課并沒有應(yīng)用傳統(tǒng)的說教、重復(fù)、灌輸?shù)确绞?，而是將教學(xué)難點(diǎn)分解成三個(gè)具有一定梯度的層次進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生在每個(gè)階段中體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程，同時(shí)在實(shí)踐操作中自發(fā)感悟知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律，深刻理解操作規(guī)則與方法.

4. 達(dá)成目標(biāo)，深化應(yīng)用

一般數(shù)學(xué)原理、規(guī)則等的應(yīng)用，遵循正向、逆向、變式等原則. 本節(jié)課中，教師基本完成教學(xué)任務(wù)后，也是從這幾點(diǎn)原則進(jìn)行應(yīng)用設(shè)計(jì)的. 這種設(shè)計(jì)模式不僅讓全體學(xué)生都獲得了不同程度的發(fā)展，還闡明了看待問題的視角，有效培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識(shí).

總之，教無定法. 對(duì)于每個(gè)教師來說，不論面對(duì)怎樣的學(xué)生群體，授課內(nèi)容是什么，都應(yīng)從“為什么學(xué)”“怎么學(xué)”“怎么用”的角度出發(fā)，積極思索，讓每個(gè)學(xué)生都能在學(xué)習(xí)過程中建構(gòu)新知，獲得各項(xiàng)能力的提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］? 史寧中. 試論數(shù)學(xué)推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（04）：1-16+46.

［2］? 弗賴登塔爾. 數(shù)學(xué)教育再探——在中國的講學(xué)［M］. 劉意竹，楊剛，譯. 上海：上海教育出版社，1999.

作者簡(jiǎn)介：楊世剛（1983—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.