與廣義Witt代數(shù)有關的非有限分次李代數(shù)的極大子代數(shù)及其性質

徐潤果, 許 瑩

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，合肥 230601)

1 引 言

Witt代數(shù)是經(jīng)典微分和積分學中的一個重要例子，它與拓撲學和幾何學有著密切聯(lián)系，同時也具有很多特殊的代數(shù)性質.Witt代數(shù)具體定義為Laurent多項式代數(shù)[t,t-1]上的單變量的復導子李代數(shù)，即[t,t-1]上線性算子D的李代數(shù)，并且該算子滿足萊布尼茨公式D(ab)=D(a)b+aD(b).許多專家學者對Witt代數(shù)展開了研究，例如文獻[1]和[2]等采取多種方式，對Witt代數(shù)進行新的構造與變形，豐富了李理論.文獻[3]由帶單位元的交換結合代數(shù)和阿貝爾導子代數(shù)對構造出Witt型李代數(shù)，與文獻[4]以及文獻[5]定義的李代數(shù)相比，該代數(shù)更為一般.文獻[6]建立了Passman構造的Witt型單李代數(shù)的同構類，并給出了廣義Witt代數(shù)W(l1,l2,l3;Γ)的定義，而本文將要討論的非有限分次李代數(shù)W正是該代數(shù)的一種特殊情況W(1,0,1;)，具體定義詳見定義1和定義2.除此之外，Schr?dinger-Virasoro代數(shù)也是-分次李代數(shù), 文獻[7]生動刻畫了其扭代數(shù)的泊松結構，而文獻[8]確定并分類了與該李代數(shù)相關的秩為3的李共形代數(shù)的結構.

2000年后，廣義Witt代數(shù)的2-上同調群[9]和李雙代數(shù)結構[10]也得到了充分的考察與構建.文獻[11]對Witt和Virasoro代數(shù)進行了推廣，文獻[12]量子化了特征為0的廣義Witt代數(shù)的李雙代數(shù)結構.文獻[13]證明了任何單變量的廣義Witt代數(shù)都是半單的、不可分解的李代數(shù)，它不包含任何維數(shù)大于1的阿貝爾李子代數(shù).從那時起，廣義Witt型代數(shù)得到了廣泛的研究.另外，在廣義Witt型代數(shù)[14]的基礎上，從結合代數(shù)的角度出發(fā)構造出了廣義Weyl型代數(shù)[15]，進而得出了其2-上同調群[16]等一系列的成果.

代數(shù)的極大子代數(shù)可以深刻的反映代數(shù)的內部特征，然而目前對Witt代數(shù)的極大子代數(shù)研究工作較少.顯然，非有限分次李代數(shù)W有很多子代數(shù)，例如上文提到的經(jīng)典Witt代數(shù)和Heisenberg-Virasoro代數(shù)[17].此外，文獻[18]研究了素特征域上Witt代數(shù)的極大子代數(shù)的2-局部導子，文獻[19]對一類廣義Witt的子代數(shù)做出研究并構造出所有的自同構類.廣義Witt代數(shù)作為較復雜的李代數(shù)，研究其極大子代數(shù)的工作顯得尤為重要.本文提出了非有限分次李代數(shù)W的3個極大子代數(shù)W1,W2,W3，利用李代數(shù)的特性研究了相關性質.并且證明了前兩個子代數(shù)是同構的，進一步豐富了廣義Witt代數(shù)的研究理論.

2 廣義Witt代數(shù)及非有限分次代數(shù)

對于任意的1≤i≤l1,1≤j≤l2,1≤k≤l3.

[u?i,v?j]=u?i(v)?j-v?j(u)?i,

對于?u,v∈A(l1,l2,l3;Γ),1≤i,j≤l1+l2+l3.

由此，就得到了廣義Witt李代數(shù)W(l1,l2,l3;Γ).現(xiàn)在令l1=1,l2=0,l3=1,Γ=,可以得到本文研究的非有限分次李代數(shù)W.確切地說，A(1,0,1;)是自由的[t±1]-模，α∈從高維向量變成了一個數(shù).對于任意的α,i∈,令Iα,i=xαti?1，Lα,i=xαti?2, 其中?1(xαti)=ixαti-1，?2(xαti)=αxαti.W的詳細定義如下:

[Lα,i,Lβ,j]=(β-α)Lα+β,i+j, [Lα,i,Iβ,j]=βIα+β,i+j-iLα+β,i+j-1, [Iα,i,Iβ,j]=(j-i)Iα+β,i+j-1,

對于任意的α,β,i,j∈.

下面闡述一些李理論的基礎定義.

定義4設g是李代數(shù),N是g的子空間.如果[g,N]?N,則N稱為g的理想.

特別地，[g,g]也是g的理想,且稱[g,g]為g的導出代數(shù)或導代數(shù).據(jù)此，可以做出g的一個理想序列：

g(0)=g,g(1)=[g,g],g(2)=[g(1),g(1)],…

顯然有

g=g(0)?g(1)?…?g(i)?g(i+1)?…,

稱上述理想列為g的導代數(shù)序列或導出列.

定義5李代數(shù)g稱為可解李代數(shù)，如果存在正整數(shù)n使得g(n)=0.

定義6若李代數(shù)g不含任何非零的可解理想, 則g稱為半單李代數(shù).

3 非有限分次李代數(shù)W及其極大子代數(shù)

在本章節(jié), 將分析非有限分次李代數(shù)W的性質，并且給出其兩個極大子代數(shù)，且對其性質分別做出闡述.

3.1 非有限分次李代數(shù)W

前文已經(jīng)得到了非有限分次李代數(shù)W，進一步地，注意到該代數(shù)的性質，這導致了W與其他代數(shù)的不同之處.

引理1W是單李代數(shù)[6].

根據(jù)上述引理，可以推斷出W的中心Z(W)={0}.事實上，這個結論也可以由W本身的構造得到，證明如下.

比較各項系數(shù)可得:cα,i(β-α)=0，dα,iα=0.又由于β的任意性，故有

cα,i=0, ?α,i∈,dα,i=0, ?α≠0,i∈,

根據(jù)任意選取的j可知d0,i=0，所以x=0，即Z(W)={0}.

3.2 極大子代數(shù)W1及其性質

定理1W1=span{Lα,i,I0,j|?α,i,j∈} 是W的極大子代數(shù).

證(i)對于任意的α,β,i,j∈，有

[Lα,i,Lβ,j]=(β-α)Lα+β,i+j, [Lα,i,I0,j]=-iLα,i+j-1, [I0,i,I0,j]=(j-i)I0,i+j-1,

則W1對于李括號的運算是封閉的，再由Lα,i,I0,j的線性結構知：W1是W的子代數(shù).

其中q是最小非零系數(shù)指標，p是最大非零系數(shù)指標.將I0,q從左端作用于y，

類似地，反復用適當?shù)腎0,k作用，最終得到下式

其中-γ是最小非零系數(shù)指標，μ是最大非零系數(shù)指標.

下面分析-γ<0<μ的情形：

將L1,0作用于z，即得

[L1,0,z]=-γc-γ,mI1-γ,m+…+c1,mI2,m+…+μcμ,mI1+μ,m；

令L1,0反復作用γ次于上式，即得

(γ+1)!c1,mIγ+2,m+…+μ…(μ+γ)cμ,mIγ+μ+1,m,

此時消去了前γ+1項；同理，反復用適當?shù)腖η,0作用，最終將只剩下一非零項Iη,m∈N(總可以進行適當?shù)氖┯?，使得η?,否則沒有意義).

對于任意的m∈，I0,1-m∈W1，[I0,1-m,Iη,m]=(2m-1)Iη,0，[Iη,0,I0,j+1]=(j+1)Iη,j, 故當j≠-1時，Iη,j∈N；[Iη,1,I0,-1]=-2Iη,-1, 故Iη,-1∈N.即?j∈,Iη,j∈N.又[Lθ-η,0,Iη,j]=ηIθ,j∈N,而η≠0，Iθ,j∈N，?θ,j∈.

γ,μ取值的其他情況同理可得.

又因W1?N，則Lθ,j∈N，對于任意的θ,j∈.綜上，N=W，即W1=span{Lα,i,I0,j|?α,i,j∈} 是W的極大子代數(shù).

性質1W′1=span{Lα,i|?α,i∈}是W1的理想:

(i)W′1是W1唯一的非平凡理想；

(ii)[W′1,W′1]=W′1.

證W′1是W1的理想這一結論可以從W1的封閉性驗證中直接得出.下證(i)和(ii)：

(a)將L0,0作用于x，

其中β是最小非零系數(shù)指標，γ是最大非零系數(shù)指標.

用Lβ,0作用于y，可得

同理，反復用適當?shù)腖η,0作用,最終將得到下式

其中-q是最小非零系數(shù)指標，p是最大非零系數(shù)指標.下面我們分析-q<0

使I0,0作用一次于z，可得

[I0,0,z]=-qcλ,-qLλ,-q-1+…+(-cλ,-1)Lλ,-2+…+pcλ,pLλ,p-1;

用I0,0作用p+1次后，即得

(-q)…(-q-p)cλ,-qLλ,-q-p-1+…+(-1)…(-p-1)cλ,-1Lλ,-p-2，

即可消去若干項.同理，反復用適當?shù)腎0,k作用，最終將只剩下一非零項Lλ,h∈W′.?ζ,m∈,Lζ-λ,m-h∈W1，[Lλ,h,Lζ-λ,m-h]=(ζ-2λ)Lζ,m, 故當ζ≠2λ時，Lζ,m∈W′；[L-1,0,L2λ+1,m]=(2λ+2)L2λ,m,故當λ≠-1時，L2λ,m∈W′.[L-3,0,L1,m]=4L-2,m∈W′,即對于任意的ζ,m∈,Lζ,m∈W′.

q與p取值的其他情況同理可得.

其中u是最小非零系數(shù)指標，v是最大非零系數(shù)指標.

把I0,u作用于r, 可得[I0,u,r]=bu+1I0,2u+…+(v-u)bvI0,v+u-1；同理，反復用適當?shù)腎0,t作用，最終將只剩下一個非零項I0,l∈W′.對于任意的k∈，I0,k-l+1∈W′1，[I0,l,I0,k-l+1]=(k-2l+1)I0,k，故當k≠2l-1時，I0,k∈W′；[I0,0,I0,2l]=2lI0,2l-1,故當k≠0時，I0,2k-1∈W′；[I0,-2,I0,2]=4I0,-1, 故當k≠0時，I0,-1∈W′.

綜上所述，對于任意的k∈,I0,k∈W′.即證W′=W1，故W1除W′1外無非平凡理想.

(ii)由理想的定義，可自然發(fā)現(xiàn)[W′1,W′1]?W′1,下證反方向的包含關系：

對于任意的α,i∈,Lα,i都可以由

得到，其中

即Lα,i∈[W′1,W′1]，故[W′1,W′1]?W′1,即證[W′1,W′1]=W′1.

據(jù)此性質，利用定義5和定義6不難驗證以下兩個推論：

推論1W′1不是可解李代數(shù).

推論2W1是半單李代數(shù).

3.3 極大子代數(shù) W2及其性質

定理2W2=span{Lα,0,Iβ,j|?α,β,j∈} 是W的極大子代數(shù).

證(i)對于任意的α,β,i,j∈, 有

[Lα,0,Lβ,0]=(β-α)Lα+β,0， [Lα,0,Iβ,j]=βIα+β,j， [Iα,i,Iβ,j]=(j-i)Iα+β,i+j-1，

則W2對于李括號的運算是封閉的，再由Lα,0,Iβ,j的線性結構知：W2是W的子代數(shù).

其中-β是最小非零系數(shù)指標，γ是最大非零系數(shù)指標.

類似于性質1中(a)的證明，選取合理的Lη,0,I0,k多次作用于y，可得對于任意的ζ,m∈,Lζ,m∈N.又由于W2N，則對于任意的ζ,m∈,Iζ,m∈N.也就是說，N=W，即W2=span{Lα,0,Iβ,j|?α,β,j∈} 是W的極大子代數(shù).

發(fā)現(xiàn)W1與W2滿足如下關系：

引理2W1?W2.

證對于任意的α,i∈,定義Φ:W1→W2，Lα,iIi,α+1,I0,iLi-1,0.顯然這是一個線性映射，且是雙射.下證它是同態(tài)映射：

對于任意的α,β,i,j∈，

Φ([Lα,i,Lβ,j])=Φ((β-α)Lα+β,i+j)=(β-α)Ii+j,α+β+1,

Φ([Lα,i,I0,j])=Φ(-iLα,i+j-1)=-iIi+j-1,α+1,

Φ([I0,i,I0,j])=Φ((j-i)I0,i+j-1)=(j-i)Li+j-2,0.

另一方面

[Φ(Lα,i),Φ(Lβ,j)]=[Ii,α+1,Ij,β+1]=(β-α)Ii+j,α+β+1,

[Φ(Lα,i),Φ(I0,j)]=[Ii,α+1,Lj-1,0]=-iIi+j-1,α+1,

[Φ(I0,i),Φ(I0,j)]=[Li-1,0,Lj-1,0]=(j-i)Li+j-2,0.

從而任意的x,y∈W1，Φ([x,y])=[Φ(x),Φ(y)]；易見，變換Φ也滿足這樣的線性關系式

Φ(kx+by)=kΦ(x)+bΦ(y), ?k,b∈,x,y∈W1.

綜合以上分析，Φ是W1→W2的同構映射，即證本引理.

由于W1與W2同構，類似于W1的性質，自然地，W2也有如下性質和推論：

性質2W′2=span{Iα,i|?α,i∈}是W1的理想:

(i)W′2是W2唯一的非平凡理想；

(ii)[W′2,W′2]=W′2.

推論3W′2不是可解李代數(shù).

推論4W2是半單李代數(shù).

4 W的另一極大子代數(shù)

根據(jù)前文集中討論，兩個W的極大子代數(shù)W1,W2已經(jīng)被清晰的表示出來.下面考慮W的另一極大子代數(shù)W3，該代數(shù)的結構與前兩個代數(shù)稍有不同.

定理3W3=span{βIβ,j-jLβ,j-1|?β,j∈} 是W的極大子代數(shù).

證(i)?α,β,i,j∈, 總有

[αIα,j-jLα,j-1,βIβ,i-iLβ,i-1]=(αi-βj)((α+β)Iα+β,i+j-1-(i+j-1)Lα+β,i+j-2),

則W3對于李括號的運算是封閉的.根據(jù)元素βIβ,j-jLβ,j-1的線性得：W3是W的子代數(shù).

顯而易見，W3包含這樣的元素{L0,i,Iα,0|?α,i∈}.

(ii)由前面已知，W3?W.由于該子代數(shù)的特殊構造，下證W3≠W，即存在

比較各項系數(shù)后，可得以下結論：

觀察上式兩端所有的I1,i系數(shù)，有c1,1=-1;c1,i=0,若i≠1.據(jù)此分析有L1,0=-I1,1+L1,0，這顯然是矛盾的.因此，L1,0?W3，即有W3≠W.

(iii)設N也是W的子代數(shù)且有W3N?W.

其中x*∈W3,dγ,m∶fγ,m≠γ∶m，這可以由W中元素的線性性質推導出.事實上，對于任意的γ,m∈，

Iγ,m∈W,Iγ,m=(γIγ,m-mLγ,m-1)-((γ-1)Iγ,m-mLγ,m-1)；

Lγ,m∈W,Lγ,m=(γIγ,m+1-(m+1)Lγ,m)+(-γIγ,m+1+(m+2)Lγ,m).

令y=x-x*，特別注意的一點是，y的求和項不包含這樣的項L0,i,Iα,0，則γ,m≠0.

(b)用L0,1作用于y，

上式加上一些W3中的項

同樣，該式不包含這樣的項L0,i.

(c)若上述求和項只包含一項，則直接進入下一步；否則使用數(shù)學歸納法：項數(shù)為1時，顯然成立；假定項數(shù)≤n時，通過適當?shù)睦罾ㄌ栂椏色@得一項，下證項數(shù)為n+1 時可獲得一項.對于項數(shù)為n+1的和式

此排序是先后按第一、二指標的從小到大排列.把L0,-q，I0,0先后作用于上式左端

[I0,0,[L0,-q,gλ,qLλ,q+…+gλ,pLλ,p+…+gη,uLη,u+…+gη,vLη,v]]

=[I0,0,gλ,qλLλ,0+gλ,q+1λLλ,1+…+gλ,pλLλ,p-q+…+gη,uηLη,u-q+…+gη,vηLη,v-q]

=gλ,q+1λLλ,0+…+gλ,pλ(p-q)Lλ,p-q-1+…+gη,uη(u-q)Lη,u-q-1+…+gη,vη(v-q)Lη,v-q-1.

(d)對于x1：對于任意的β,j∈，

[x1,L0,j-i]=[Lα,i,L0,j-i]=-αLα,j,

[Lα,j,Iβ-α,0]=(β-α)Iβ,j-jLβ,j-1,

(βIβ,j-jLβ,j-1)-((β-α)Iβ,j-jLβ,j-1)=αIβ,j,

由于α≠0及以上分析易知Iβ,j∈W3+{x1}；

βIβ,j+1-(βIβ,j+1-(j+1)Lβ,j)=(j+1)Lβ,j,

說明當j≠-1時，Lβ,j∈W3+{x1}；[Lβ,0,L0,-1]=-βLβ,-1,由此說明當β≠0時，Lβ,-1∈W3+{x1}，又L0,-1∈W3.

綜上所述，對于任意的β,j∈，Lβ,j,Iβ,j∈W3+{x1}?N.這也驗證了N=W，即有子代數(shù)W3=span{βIβ,j-jLβ,j-1|?β,j∈} 的極大性.

5 結 論

非有限分次李代數(shù)W結構稍顯復雜，為了方便研究其結構和表示理論，本文通過李括號運算的方法構造出3個極大子代數(shù)(見定理1、定理2、定理3).在李理論的支持下，得出了極大子代數(shù)的生成元及相關性質，且有W1?W2(見引理2).值得一提的是，本文討論的課題是廣義Witt代數(shù)中重要的一部分，本論文中給出的方法具有普遍的適用性，可以解決廣義Witt代數(shù)的子代數(shù)的相關研究問題.除此之外，非有限分次李代數(shù)W還有很多有趣的研究課題[20-21]，希望本文中提出的方法和結論能對該代數(shù)的結構和表示理論等方面的探索有積極作用.

致謝作者非常感謝相關文獻的啟發(fā)以及相關審稿專家對本文提出的指導意見.