二階線性齊次常微分方程與方程組求解的類比法

張啟峰， 徐定華， 徐映紅

(浙江理工大學 理學院 數(shù)學系, 杭州 310018)

1 引 言

常微分方程是大學本科階段理工科學生的必修內(nèi)容，對于打算進一步從事工程和科學研究起著重要的橋梁和紐帶作用.常微分方程也是數(shù)學專業(yè)核心課程如數(shù)學分析、高等代數(shù)等在微分方程這一分支方向的重要應(yīng)用，同時也是后續(xù)學習偏微分方程的基礎(chǔ)課程，因而在大學教學中有必要著重對待.

類比法是一類十分重要的認知手段和學習方法，是創(chuàng)新思維培養(yǎng)的基本方法[1-2].“它具有多種多樣的形式，如低維與高維類比、離散與連續(xù)類比、有限與無限類比、微分與積分類比”[3]等等.具體的類比法案例包括函數(shù)與函數(shù)的類比[3]、積分變量的變換公式間的類比[4]、向量組線性無關(guān)性和函數(shù)線性無關(guān)性的類比[5]、階乘函數(shù)推導(dǎo)的類比[6]、黎曼積分與勒貝格積分的類比、實數(shù)集與抽象集合的類比、歐幾里得空間與Hilbert空間的類比等等.

本文將以二階線性齊次常微分方程

(1)

和常微分方程組

(2)

為模型問題展示類比法.(1)中a為任意實數(shù)(分為a>0,a=0和a<0三種情形)，(2)中矩陣A∈n×n為對稱正定矩陣或者零矩陣或者對稱負定矩陣.設(shè)A=PTΛP，當A正定時，定義其中是以A特征根正的平方根為對角元素構(gòu)成的對角矩陣；當A為負定時，定義是以-A特征根正的平方根為對角元素構(gòu)成的對角矩陣.

二階常微分方程具有廣泛的應(yīng)用，是高階微分方程的典型代表，屬于大學本科常微分方程課程的必修內(nèi)容.本文通過二階線性齊次常微分方程的求解類比及其數(shù)學論證，展示類比法的強大活力，為大學生的數(shù)學學習素材提供了更為豐富的類比法教學案例，有助于提升其創(chuàng)新能力.

2 特征函數(shù)法與降階法的類比

2.1 特征函數(shù)法及其類比

首先利用教材中(例見文獻[7]或[8])經(jīng)典的特征函數(shù)法對(1)進行求解.令u(t)=eλt并將其代入到(1)的第一式，可得特征方程

λ2+a=0.

(3)

結(jié)合初始條件可得定解問題(1)的解為

(4)

(ii)當a=0時，方程(3)的解為λ=0(二重根).問題(1)的通解為

u=c1+c2t.

結(jié)合初始條件可得定解問題(1)的解為

u(t)=v+wt.

(5)

結(jié)合初始條件可得定解問題(1)的解為

(6)

基于類比的思想，猜測常微分方程組(2)的解分別如下：

(i)當A為對稱正定矩陣時，類比(4)，問題(2)的解為

(7)

(ii)當A為零矩陣時，類比(5)，問題(2)的解為

(8)

(iii)當A為對稱負定矩陣時，類比(6)，問題(2)的解為

(9)

2.2 降階法及其類比

降階法的基本思路是將原常微分方程(1)改寫成一階的常微分方程組，再利用一階常微分方程組的相關(guān)理論獲得其解的過程.

令U=(u(t),u′(t))T，則問題(1)等價于

其中

基于一階線性常微分方程的分離變量法可知

U(t)=exp(Bt)U(0).

利用類比的思想，試猜測常微分方程組(2)的解為

(10)

其中

I為單位矩陣.

上述兩組形式解：解(7)-(9)與解(10)是否一致，下節(jié)將論證之.

3 類比法中解的等價

由第2節(jié)分別獲得了常微分方程(1)的兩種不同形式的解.并用類比的思想給出了常微分方程組(2)的兩種形式的解.容易驗證(7)-(9)與(10)均為(2)的解.下面直接證明形式解(7)-(9)與(10)的等價性.

為簡潔起見，本文僅給出當矩陣A為正定矩陣時，(2)的解(7)等價于(10).感興趣的讀者可以嘗試當矩陣A為零矩陣,(8)與(10)等價；當矩陣A為負定矩陣，(9)與(10)等價.

為說明(7)與(10)的等價性，首先給出矩陣的歐拉公式.

引理1設(shè)A為正定矩陣，則有

定理1當矩陣A為正定矩陣時，(7)等價于(10).

證利用指數(shù)函數(shù)的泰勒公式，(10)可轉(zhuǎn)化為

(i)當n為偶數(shù)時，即n=2k時，

(ii)當n為奇數(shù)時，即n=2k+1時，

因而

另一方面，由(7)可知

上式結(jié)合解(7)可得

接下來，將確認上式中的各個分量aij(i,j=1,2)和矩陣(11)中的右端分量是一致的.易知a22=a11，因而僅需驗證a11，a12，a21和(11)右端矩陣的分量對應(yīng)相同.利用引理 1可得

結(jié)合論證，可知(7)與(10)等價.

4 結(jié) 論

大學中教學創(chuàng)新[9]有多種多樣，包括教學模式創(chuàng)新、教學方法創(chuàng)新、教學內(nèi)容創(chuàng)新、學習方法創(chuàng)新等等.本文屬于教學內(nèi)容與教學方法創(chuàng)新，對常微分方程和方程組利用兩種方法求解，對解的形式進行大膽猜測，數(shù)學上給出嚴格驗證，實現(xiàn)了學習方法和內(nèi)容剖析的統(tǒng)一.

本文是類比法在二階線性齊次常微分方程求解中的一個成功案例.在大學數(shù)學中還有很多數(shù)學思想與方法都值得研究，如歸納法、反證法、常數(shù)變易法、可視化教學法[10]等等.本文的研究有助于培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.感謝浙江理工大學程秀俊博士有益的討論.