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    實(shí)數(shù)集到時(shí)標(biāo)上的概念推廣的若干原則

    2023-01-14 07:14:56趙莉莉
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2022年6期
    關(guān)鍵詞:時(shí)標(biāo)集上實(shí)數(shù)

    趙莉莉

    (云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 昆明 650091)

    1 引 言

    微分方程與差分方程在理論與實(shí)際應(yīng)用上具有相同的研究價(jià)值,探究微分方程與差分方程解的存在性與唯一性一直是研究熱點(diǎn),取得了不少的研究成果[1-3], 但是分別研究這兩類方程又會(huì)在無形之中加大工作量,時(shí)標(biāo)理論很好地解決了這一問題,它能將兩者有機(jī)地統(tǒng)一起來,只需將實(shí)數(shù)集上的概念推廣到時(shí)標(biāo)上,建立時(shí)標(biāo)上相應(yīng)的理論,當(dāng)時(shí)標(biāo)退化為實(shí)數(shù)集和整數(shù)集時(shí),所得到的理論就分別是微分方程和差分方程中的理論.因此,將實(shí)數(shù)集上的概念推廣到時(shí)標(biāo)上是有意義的.

    2 遵循的原則

    如果將定義在實(shí)數(shù)集上的某類函數(shù)推廣到了時(shí)標(biāo)上,但在時(shí)標(biāo)上卻找不到這種函數(shù)的例子,那該定義的推廣就是毫無意義的,所以,從實(shí)數(shù)集到時(shí)標(biāo)上的概念推廣,第一個(gè)應(yīng)該遵循的原則是—推廣后的概念是良定義.

    2.1 良定義

    在筆者的以前的論文中[4]已經(jīng)將加權(quán)偽概周期函數(shù)的概念推廣到了時(shí)標(biāo)上,并在時(shí)標(biāo)上討論了這類函數(shù)的一系列性質(zhì),得到了時(shí)標(biāo)上一階動(dòng)力方程的加權(quán)偽概周期解的存在性定理,使得在時(shí)標(biāo)上探討動(dòng)力系統(tǒng)的加權(quán)偽概周期解的存在性成為了可能,為了佐證所推廣的定義是合理的,本文將給出時(shí)標(biāo)上加權(quán)偽概周期函數(shù)的例子.

    定義1[5]實(shí)數(shù)集的任意一個(gè)非空閉子集稱為一個(gè)時(shí)標(biāo).稱時(shí)標(biāo)T是一個(gè)概周期時(shí)標(biāo),是指Π∶={r∈∶t±r∈T,?t∈T}≠{0}.

    注1 容易看出0∈Π,即Π并非空集,故由定義1可得:稱時(shí)標(biāo)T是一個(gè)概周期時(shí)標(biāo),是指?r≠0,使得對于每一個(gè)t∈T,都有t±r∈T成立.

    定義2[4]稱u∶T→[0,+∞)是一個(gè)權(quán)函數(shù),是指u在T上局部可積,且?guī)缀跆幪帪檎?用U表示時(shí)標(biāo)上全體權(quán)函數(shù)構(gòu)成的集合.

    定義3[4]設(shè)u∈U∞.稱一個(gè)連續(xù)函數(shù)f∶T→n是加權(quán)偽概周期函數(shù),是指:f可以表示為f=φ+ψ,其中φ∈AP(T,n)是一個(gè)概周期函數(shù),而ψ∈PAP0(T,n,u).定義函數(shù)空間PAP0(T,n,u)如下:

    從T映射到n的全體加權(quán)偽概周期函數(shù)構(gòu)成的集合用PAP(T,n,u)表示.定義3將加權(quán)偽概周期函數(shù)的概念從實(shí)數(shù)集上推廣到了時(shí)標(biāo)上.

    令h(t)=sin(πt)e-|t|,則h(t)∈BC(T,).由

    可得

    從而

    即h(t)=sin(πt)e-|t|∈PAP0(T,,u),再考慮到g(t)=cos(πt)是該時(shí)標(biāo)上的概周期函數(shù),所以

    f(t)=cos(πt)+sin(πt)e-|t|∈PAP(T,,u).

    2.2 一致性

    實(shí)數(shù)集是時(shí)標(biāo)的特例,將實(shí)數(shù)集上的概念推廣到時(shí)標(biāo)上之后,當(dāng)時(shí)標(biāo)退化為實(shí)數(shù)集時(shí),所得到的概念應(yīng)該與實(shí)數(shù)集上的概念一致.

    在本小節(jié)中, 將以全局指數(shù)穩(wěn)定性為例進(jìn)行探討.在時(shí)標(biāo)上討論如下的一階微分方程組

    (1)

    其中系統(tǒng)(1)的初值為

    近幾年來,關(guān)于時(shí)標(biāo)上各類微分系統(tǒng)的各類解函數(shù)的全局指數(shù)穩(wěn)定性的研究,已經(jīng)取得了不少的成果[6-8].若用這些文獻(xiàn)中所采用的方法, 定義系統(tǒng)(1)解函數(shù)的全局指數(shù)穩(wěn)定性,其定義如下.

    其中

    當(dāng)時(shí)標(biāo)退化成實(shí)數(shù)集時(shí),定義4相應(yīng)地退化為定義5.

    其中

    但是實(shí)數(shù)集上全局指數(shù)穩(wěn)定的定義[9-11], 應(yīng)是定義6.

    其中

    顯然,對于每一個(gè)δ∈[-s,0],都有e-λ(t-δ)≤e-λt成立,反之卻不一定成立,即定義5比定義6強(qiáng),這是不合理的,不妨修改定義4如下.

    其中

    當(dāng)時(shí)標(biāo)退化為實(shí)數(shù)集時(shí),定義7也就退化成了定義6.采用定義7的方法,也可以定義時(shí)標(biāo)上其它微分系統(tǒng)解函數(shù)的全局指數(shù)穩(wěn)定性.

    3 繼承性

    首先證明Π=.由時(shí)標(biāo)的構(gòu)造,易得?Π.?r∈Π,因?yàn)?∈T,所以r∈T,即Π中的每一個(gè)常數(shù)都可以表示成的形式,其中k是一個(gè)整數(shù),n是一個(gè)正整數(shù).現(xiàn)證明n只能取1,即Π?.若不然,因?yàn)?Π,且Π關(guān)于實(shí)數(shù)的加法與減法都是封閉的,所以?n0≥2,使得又考慮到從而再考慮到由時(shí)標(biāo)的構(gòu)造,存在正整數(shù)n1,使得即又因?yàn)樗栽倏紤]到n1≠1,否則又因?yàn)樗杂蓵r(shí)標(biāo)的構(gòu)造,這是不可能的,從而再次由時(shí)標(biāo)的構(gòu)造可得存在正整數(shù)n2,n3,使得從而即n2+n3=n2n3,由上式可得n2,n3不能同為奇數(shù),也不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù),只可能同為偶數(shù).所以存在正整數(shù)k1,使得即但是矛盾,故n只能取1,即Π?,從而Π=.

    若f(t)=sint為T上的周期函數(shù),則?k0>0,k0∈=Π,使得?t∈T,有sin(t+k0)=sint成立.因?yàn)?-k0∈T,所以

    sin1=sin(1-k0+k0)=sin(1-k0).

    (2)

    又因?yàn)?1-k0∈T,所以

    -sin1=sin(-1)=sin(-1-k0+k0)=sin(-1-k0)=-sin(1+k0).

    sin1=sin(1+k0).

    (3)

    由(2)式與(3)式可得:sin(1-k0)=sin(1+k0),即cos1sink0=0,也就是sink0=0.又考慮到,找不到l0∈,使得k0=l0π,故sink0≠0,矛盾,從而f(t)=sint不是T上的周期函數(shù).

    4 結(jié) 論

    時(shí)標(biāo)理論不僅能將微分系統(tǒng)與差分系統(tǒng)有機(jī)地統(tǒng)一起來,它還能涵蓋許多混合型系統(tǒng),在理論與實(shí)際應(yīng)用上都具有極強(qiáng)的價(jià)值,因此將實(shí)數(shù)集上的概念推廣到時(shí)標(biāo)上,建立時(shí)標(biāo)上相應(yīng)的理論是有意義的.首先,將實(shí)數(shù)集上的概念推廣到時(shí)標(biāo)上,必須保證推廣后的定義是良定義,否則這樣的推廣是毫無意義的; 其次,推廣到時(shí)標(biāo)上的定義,當(dāng)時(shí)標(biāo)退化為實(shí)數(shù)集時(shí),應(yīng)與實(shí)數(shù)集上的定義一致,只有這樣,在時(shí)標(biāo)上獲得的結(jié)論,才能涵蓋在實(shí)數(shù)集上已經(jīng)獲得的結(jié)論,推廣的定義才是有價(jià)值的.函數(shù)是微積分學(xué)的主要研究對象,而要深刻認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù),必須了解它的幾何性質(zhì),因此,考慮定義在實(shí)數(shù)集上函數(shù)的幾何性質(zhì),能否被時(shí)標(biāo)繼承下來也是有意義的.實(shí)數(shù)集上函數(shù)的單調(diào)性、有界性都能被時(shí)標(biāo)繼承下來,但奇偶性與周期性卻不一定能被時(shí)標(biāo)繼承下來.

    致謝作者非常感謝參考文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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