偽酉矩陣的分類

李詩雨, 陳惠香

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002)

1 引 言

2 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于正整數(shù)n，n×n復(fù)數(shù)矩陣全體表示為Mn().對(duì)于矩陣A=(αjk)∈Mn()，令階單位矩陣記作In，或簡(jiǎn)記I.對(duì)于正整數(shù)1≤j

設(shè)A,B∈Mn().如果存在可逆矩陣Λ∈Mn()使得或等價(jià)地，則稱A與B有關(guān)系～，記作A～B.顯然，～是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

引理1[7]設(shè)A,B∈Mn().若A是偽酉矩陣，A～B，則B也是偽酉矩陣.

引理2[8]設(shè)A∈M2()是偽酉矩陣，則A～I(xiàn).

3 偽酉矩陣的分類

引理3設(shè)n>2，A=(αjk)∈Mn()是偽酉矩陣.若α1n≠0，則

其中A1，A3是(n-2)×1矩陣，A2∈Mn-2().

且

推論1設(shè)n>2，A=(αjk)∈Mn()是偽酉矩陣.若α1n=0但αn1≠0，則

其中A1，A3是(n-2)×1矩陣，A2∈Mn-2().

(1)

(2)

引理5設(shè)A=(αjk)∈Mn()是偽酉矩陣且n>2，則其中A1∈Mn-2()，A2∈M2()或A1∈M1()，A2∈Mn-1().

證若α1n≠0，則由引理3和引理4知，

其中B1∈Mn-2().取則所以

其中B2∈Mn-2().再由上面的證明知結(jié)論成立.若α12=…=α1n=αn1=0，但存在2≤j≤n-1使得αj1≠0，取Λ1=Pn(j,n)，則且的(n,1)-元素為αj1≠0，再由上面的證明知結(jié)論成立.若α1j=αj1=0，2≤j≤n，則

結(jié)論仍然成立.

定理1設(shè)A∈Mn()是偽酉矩陣，則A～I(xiàn).

令

則Λ可逆，且

4 結(jié) 論

本文給出了偽酉矩陣的關(guān)于～的劃分，在證明過程中利用了偽酉矩陣的基本性質(zhì).主要旨在一定程度上簡(jiǎn)化偽酉矩陣相關(guān)問題，以便在實(shí)際研究中選取合適的等價(jià)形式.

致謝作者十分感謝提供啟發(fā)的相關(guān)文獻(xiàn)以及提出寶貴意見的審稿專家.