對(duì)電磁感應(yīng)題設(shè)條件“自洽性”的深度討論

戎 杰 金天哲 胡科杰

(浙江省慈溪中學(xué) 浙江 寧波 315300)

在新課改背景下，從“淺層教學(xué)”過渡到“深度教學(xué)”是大勢所趨．在教學(xué)過程中，以教師指導(dǎo)為基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行加工處理，通過對(duì)問題積極而富有創(chuàng)新性的思考和探索，完成對(duì)知識(shí)的理解和遷移，可以推動(dòng)高階物理思維的形成．

復(fù)雜的變加速運(yùn)動(dòng)模型是高中物理的難點(diǎn)，在電磁感應(yīng)問題中常有典型．對(duì)于此類問題，由于大多數(shù)學(xué)生不具備微積分等數(shù)學(xué)知識(shí)，教師常常對(duì)過程分析“避而遠(yuǎn)之”，轉(zhuǎn)而引導(dǎo)學(xué)生抓住始末狀態(tài)，“淡化”中間過程，熟練掌握動(dòng)能定理、動(dòng)量定理等方法來解決相關(guān)問題．這在一定程度上變相“引導(dǎo)”學(xué)生忽視對(duì)物理過程的嚴(yán)謹(jǐn)分析和深入思考，久而久之產(chǎn)生“過程不清晰也不妨礙做題”的錯(cuò)覺，不利于學(xué)生科學(xué)思維的培養(yǎng)和學(xué)科核心素養(yǎng)的形成．由于“回避”中間過程的討論，教師在命題時(shí)也容易出現(xiàn)題設(shè)條件“不自洽”的情況．筆者以浙江省紹興市柯橋區(qū)某高三物理模擬考第22題為例做簡要闡述．原題如下.

【例題】平行光滑的金屬導(dǎo)軌AB和CD相距為d=1 m，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角θ=37°，其上端接一阻值為3 Ω的燈泡，在EF和GH間存在與導(dǎo)軌平面垂直的勻強(qiáng)磁場B0，磁場區(qū)域?qū)挾葹長=1 m，質(zhì)量ma=0.2 kg，電阻Ra=3 Ω的導(dǎo)體棒a與質(zhì)量mb=0.2 kg，電阻Rb=6 Ω的導(dǎo)體棒b通過一根長L0=4 m的輕繩(不可伸長)相連，現(xiàn)將b棒放置于磁場上邊界EF處并鎖定，并將a棒放置于GH處，如圖1所示．在t=0時(shí)刻開關(guān)S斷開，并靜止釋放a棒，磁場B0隨時(shí)間t所示變化，如圖2所示．當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B0達(dá)到Bm時(shí)開關(guān)S閉合，并解除b棒鎖定．不計(jì)導(dǎo)軌的電阻，不計(jì)兩棒之間的相互作用，g=10 m/s2，求:

圖1 例題題圖

圖2 磁感應(yīng)強(qiáng)度B0變化規(guī)律

(1)在0～t0時(shí)間內(nèi)，流過導(dǎo)體棒a的電流方向及大?。?/p>

(2)當(dāng)繩繃緊的一瞬間(繃緊時(shí)間極短)，b棒獲得的速度；

(3)已知b棒在穿越磁場的過程中產(chǎn)生的熱量為0.8 J,試求b棒穿過磁場的時(shí)間．

分析：

(2)第(2)小題，根據(jù)勻加速運(yùn)動(dòng)公式，結(jié)合繃緊瞬間雙棒系統(tǒng)動(dòng)量守恒，列式可得b棒在繩子繃緊瞬間速度為3 m/s．(前2小題求解過程不再贅述)

(3)第(3)小題，參考答案給出如下求解過程談.

當(dāng)b棒穿越磁場過程中，a棒在磁場外，b棒作為電源，ab雙棒為“并聯(lián)”狀態(tài)，故電路總電阻

因b棒發(fā)熱量為0.8 J，故電路總發(fā)熱量

從b棒繃緊瞬間至b棒出磁場過程中，對(duì)ab棒系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)能定理

(ma+mb)gLsinθ-W克安=

(1)

W克安=Q總=1 J

(2)

v2=3 m/s

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)可得

vt=4 m/s

對(duì)a棒和b棒系統(tǒng)(以下簡稱ab棒)運(yùn)用動(dòng)量定理

(ma+mb)gtsinθ-F安t= (ma+mb)(vt-v2)

(4)

(5)

聯(lián)立式(4)和(5)得

筆者思考：b棒在穿越磁場的過程中，經(jīng)歷了怎樣的運(yùn)動(dòng)過程？速度隨時(shí)間如何變化？如果運(yùn)動(dòng)過程是確定的，產(chǎn)生的焦耳熱也必然是確定的．那么確實(shí)是0.8 J嗎？心存這3個(gè)疑惑，筆者從定性和定量兩個(gè)角度重新梳理了第(3)小題的分析思路．

1)定性分析

當(dāng)ab棒之間的繩子繃緊后，a棒和b棒達(dá)到共速．若把b棒進(jìn)入磁場的時(shí)刻記為t=0，則v0=3 m/s．此后，ab棒作為整體沿斜面向下運(yùn)動(dòng)．當(dāng)b棒速度為v時(shí)，b棒受到安培力

代入數(shù)據(jù)得

而

顯然，在初始時(shí)刻(v0=3 m/s)時(shí)，導(dǎo)體棒受到的安培力F安0>(ma+mb)gsinθ，即ab棒向下做減速運(yùn)動(dòng)，由于速度和安培力的變化，所以導(dǎo)體棒做變減速運(yùn)動(dòng)．

2)定量探究

根據(jù)牛頓第二定律

(6)

式(6)經(jīng)化簡得

(7)

求解式(7)得

(8)

由式(8)得ab棒整體的速度滿足

(9)

用Matlab軟件作出導(dǎo)體棒的v-t圖像和v-x圖像(圖3和圖4)，不難發(fā)現(xiàn)：導(dǎo)體棒ab的最終速度v趨向于0.5 m/s，但速度v達(dá)到0.5 m/s需經(jīng)歷的時(shí)間t→+∞．這意味著，在有限的時(shí)間內(nèi)，ab棒“極近穩(wěn)態(tài)”而最終無法真正達(dá)到“穩(wěn)態(tài)”，更不可能達(dá)到參考答案中所描述的速度v=4 m/s．

圖3 導(dǎo)體棒ab速度隨時(shí)間變化規(guī)律

圖4 導(dǎo)體棒ab速度隨位移變化規(guī)律

那么b棒在磁場中需運(yùn)動(dòng)多少距離，速度才能趨近于0.5 m/s？題目描述的磁場寬度L=1 m是否足夠讓b棒趨近于這個(gè)速度？因此有必要進(jìn)一步探究b棒位移與速度關(guān)系．根據(jù)式(6)，變形得

(10)

化簡得

(11)

(12)

求解式(12)，可得b棒的位移速度關(guān)系

(13)

此方程為超越方程．利用計(jì)算機(jī)求解后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)b棒速度v比0.5 m/s大1%，即v=0.505 m/s，這之前b棒通過的位移x=0.466 9 m，還不到磁場寬度的一半.進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1時(shí)，v=0.500 000 014 m/s，這個(gè)速度已經(jīng)無限逼近0.5 m/s．可以認(rèn)為，當(dāng)b棒離開磁場時(shí)，速度已達(dá)到v=0.5 m/s．結(jié)合速度時(shí)間關(guān)系式(9)，可求得b棒通過磁場區(qū)域的時(shí)間

根據(jù)動(dòng)能定理

(14)

代入

v≈0.5 m/sv0=3 m/s

可求得

W克安=Q總≈4.15 J

綜合上述分析，筆者認(rèn)為題目第(3)小題題干中所給的焦耳熱數(shù)據(jù)是錯(cuò)誤的，與實(shí)際的運(yùn)動(dòng)情境“不自洽”．

在上述“不自洽”問題嚴(yán)謹(jǐn)分析的基礎(chǔ)上，還可總結(jié)得到更加一般的規(guī)律．

一般模型：如圖5所示，水平導(dǎo)軌位于勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌寬度為l，導(dǎo)軌右側(cè)接入電阻R，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒置于導(dǎo)軌上(不計(jì)內(nèi)阻)，在恒力F作用下，從t=0時(shí)刻開始，以初速度v0沿導(dǎo)軌水平向右運(yùn)動(dòng)．需經(jīng)過多長時(shí)間導(dǎo)體棒速度變?yōu)関？此過程中導(dǎo)體棒的位移是多少？

圖5 一般模型圖

分析：當(dāng)導(dǎo)體棒速度為v時(shí)，受到安培力

方向水平向左.

加速度

(15)

令

式(15)可簡化為模型

(16)

求解得

(17)

若F=0，則b=0.

式(17)化簡得

(18)

若要求導(dǎo)體棒位移，由式(16)變形得

(19)

(20)

求解得

(21)

若F=0，則b=0.

由式(21)得

代入k值，得

(22)

而根據(jù)動(dòng)量定理

(23)

可以發(fā)現(xiàn)：由微分方程推導(dǎo)得到的式(22)和由動(dòng)量定理推導(dǎo)得到的式(23)，在數(shù)學(xué)結(jié)果上“不謀而合”，說明兩種方法在本質(zhì)上是等價(jià)的．從上述例題的分析不難發(fā)現(xiàn)，題設(shè)條件一旦給定磁感應(yīng)強(qiáng)度B、導(dǎo)體棒質(zhì)量m、電阻R、切割長度l、初速度v0、位移x這6個(gè)物理量，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和末速度v隨即唯一確定，因此過程中產(chǎn)生的焦耳熱也唯一確定，教師在命題時(shí)不能隨便給出焦耳熱的數(shù)據(jù)，這也是上述例題題設(shè)條件“不自洽”的根本原因.

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，在磁感應(yīng)強(qiáng)度B、導(dǎo)體棒質(zhì)量m、電阻R、切割長度l、初速度v0、末速度v、位移x，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t這8個(gè)物理量中，只要其中任意6個(gè)量已知，其余2個(gè)量即唯一確定．

作為教師，在命題的時(shí)候要“站得高、看得遠(yuǎn)”，切忌同時(shí)給出7個(gè)物理量作為已知條件，防止第7個(gè)量與其余6個(gè)量出現(xiàn)不自洽，犯“自相矛盾”的錯(cuò)誤，在此與同行共勉．