帶電粒子在正交均勻的電磁場中的二維運(yùn)動

白映祥

(甘肅省隴南武都八中 甘肅 隴南 746000)

在正交均勻的電、磁場中，沿與磁場方向垂直的平面射入的帶電粒子是否會處于平衡狀態(tài)？這是中學(xué)生常常提出的一個問題．本文在探討這個問題時，不考慮粒子所受的重力．

1 帶電粒子在正交均勻電磁場中的運(yùn)動分析

設(shè)在空間某一區(qū)域內(nèi)充滿著電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(圖1)，E⊥B，一質(zhì)量為m，電荷量+q的粒子，以與B垂直的速度v0進(jìn)入場內(nèi)，v0與E的夾角為θ0．

圖1 帶電粒子射入正交均勻的電磁場

一般地說，該粒子將在與B垂直的平面內(nèi)做曲線運(yùn)動，為確定粒子的運(yùn)動軌跡，我們?nèi)≈苯亲鴺?biāo)系的xOy平面與B垂直，x的正方向與E的正方向一致，磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直紙面向里，粒子進(jìn)入場內(nèi)時的點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)粒子進(jìn)入場內(nèi)時開始計(jì)時，經(jīng)時間t后它到達(dá)xOy平面內(nèi)曲線OA上的P(x,y)點(diǎn)，此時粒子的速度v與E的正向的夾角為θ，于是我們有

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中

FE=qE

FB=qvB

由式(2)和(3)得

因?yàn)楫?dāng)x=0時

故

C1=mv0sinθ0

所以

(6)

由式(1)和(6)得

FE-qBvsinθ=

這個微分方程的解是

式中

令

則

x=-Acos(ωt+φ)+P

(7)

因?yàn)楫?dāng)t=0時

x=0

所以

P=Acosφ

(7a)

式(7)對t求導(dǎo)得

因?yàn)楫?dāng)t=0時

所以

v0cosθ0=ωAsinφ

(7b)

由式(7a)和(7b)得

而因?yàn)?/p>

有

積分上式得

(qBP+mv0sinθ0)t+C2

因?yàn)閠=0時，y=0，所以

因此

(8)

下面進(jìn)行坐標(biāo)變換：

設(shè)

令

x′=x+l

由式(7)得

(9)

令

則由式(8)得

(10)

于是在新坐標(biāo)系x′O′y′中，有

這是以ωt+φ為參變量的旋輪線參變方程．由此得知，帶電粒子在正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡是旋輪線.

這對應(yīng)于

而當(dāng)v0=0時，參變方程(9)和(10)簡化為

圖2 正電子在相互垂直的勻強(qiáng)電、磁場中的二維運(yùn)動

這表明此時帶電粒子沿y軸做勻速直線運(yùn)動．

2 帶電粒子在正交均勻電磁場中的受力分析

現(xiàn)在我們來考查帶電粒子在運(yùn)動中的受力情況．

x有極值的條件是式(7)的導(dǎo)數(shù)為零

即當(dāng)x有極值時，粒子的水平分速度為零，且

ωt+φ=2nπ,(2n+1)π,(n=0,1,2,3，…)

這時

因?yàn)榱Ｗ又痪哂醒貀方向的分速度，所以作用在粒子上的電場力和洛倫茲力必在一直線上.

負(fù)號表示合力的方向跟電場強(qiáng)度的方向相反．

F′=FE-FB=

F″=FE-FB=

F″=FE-FB=

3 進(jìn)一步的思考

最后應(yīng)該指出，因?yàn)槭?9)、(10)右端的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)中都含有共同因子q，所以將q換為-q時，x′和y′同時變號，即-q粒子與+q的運(yùn)動軌跡對坐標(biāo)原點(diǎn)O′對稱．

下面是參考數(shù)據(jù)(以正電子為例)

m=9.1×10-31kg

q=1.6×10-19C

由圖2(a)有

l≈0.11 m

Aφ-Asinφ≈0.04 m

由圖2(b)有

l≈0.25 m

φ≈0.53π

由圖2(c)有

圖2為正電子在相互垂直的勻強(qiáng)電、磁場中的二維運(yùn)動，具體數(shù)值如下.

在圖2(a)中曲線a-v0=0

曲線b-v0=2.0×107m/s

在圖2(b)中v0=4.6×107m/s

在圖2(c)中v0=1.0×107m/s