K*?謂詞邏輯系統(tǒng)中相似度及偽距離研究

魯星，惠小靜，王波

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

模糊邏輯是由經(jīng)典邏輯和多值邏輯推廣而來的，在生活的各個領(lǐng)域中獲得了廣泛的應(yīng)用。近幾十年來，模糊邏輯得到了越來越多學(xué)者的關(guān)注。在模糊邏輯的發(fā)展歷程中產(chǎn)生了多方面的研究成果［1-5］，三角模的模糊邏輯在模糊邏輯的形式化研究中占據(jù)主導(dǎo)地位。典型的基于三角模的模糊邏輯主要有基于冪零極小三角模L*邏輯［6-7］、基于連續(xù)三角模的BL邏輯、基于左連續(xù)三角模的MTL邏輯等。模糊邏輯在相似度、概率真度、Γ-真度、近似推理等方面取得了許多成果［9-17］。

基于連續(xù)三角模的K*邏輯系統(tǒng)是裴道武等于2002年提出的［6］，與K*邏輯系統(tǒng)相對應(yīng)的謂詞邏輯系統(tǒng)是L*。謂詞邏輯系統(tǒng)K*?是在命題邏輯系統(tǒng)L*的基礎(chǔ)上，增加了帶有全稱量詞和存在量詞的邏輯，目前相似度和偽距離大都建立在命題邏輯系統(tǒng)中，在謂詞邏輯系統(tǒng)中只有少數(shù)學(xué)者做出了一些研究。王國俊在命題系統(tǒng)中引入了公式真度的概念，將數(shù)理邏輯符號化、形式化的特征與數(shù)值計算相結(jié)合，提出了計量邏輯學(xué)［18］，進一步給出了相似度與偽距離的概念。

本文在文獻［18］的基礎(chǔ)上對謂詞邏輯系統(tǒng)K*?展開計量化研究。主要研究不含函數(shù)符號的一階閉邏輯公式之集Φ中公式之間的相似度，給出了含有量詞符號公式的相似度與真度的關(guān)系，同時研究了謂詞邏輯系統(tǒng)K*?中公式相似度和偽距離的性質(zhì)及其計算方法，為進一步研究發(fā)散度與相容度奠定了基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識

1.1 公理化真度

文獻［18］基于有限模型和均勻概率的思想對非單調(diào)邏輯中的典型案例做了分析，通過概率計算給出了應(yīng)當(dāng)賦予文字的完全閉包及其合取的真度值。以此為基礎(chǔ)，本文在Ф中建立了公理化的真度理論。Ф是全體不含函數(shù)符號的一階閉邏輯公式之集，用A，B，C等表示Ф中的一階邏輯公式。下面首先對Ф中公式真度的定義和真度映射τ具有的性質(zhì)進行說明。

定義1.1［18］稱映射τ：Ф→[0，1]為公理化真度映射，若以下條件成立：

（K1）不出現(xiàn)相同謂詞符號的N個文字的完全閉包的合取的真度等于；

（K2）若A是Ф中的定理，則τ(A)=1；

（K3）τ(?A)=1-τ(A)，A∈Ф；

（K4）τ(A→B)+τ(A)=τ(B→A)+τ(B)，A，B∈Ф；

（K5）τ(cl(?Q))=1-τ(clQ)；

（K6）在計算公式的真度時，其中原子公式中的變元可以相互替換。

當(dāng)A∈Ф時，稱τ(A)為A的公理化真度，簡稱為A的τ-真度或真度。

命題1.1［18］真度映射τ具有以下性質(zhì)：

i）若A是矛盾式，則τ(A)=0；

ii）若A與B邏輯等價，則τ(A)=τ(B)；

iii）若τ(A→B)=1，則τ(A)≤τ(B)；

iv）若τ(A)≥a，τ(A→B)≥b，則

τ(B)≥a+b-1；

v）若τ(A→B)≥a，τ(B→C)≥b，則

τ(A→C)≥a+b-1；

vi）τ(A→C)≥τ(A→B)+τ(B→C)-1；

vii）τ(A∨B)+τ(A∧B)=τ(A)+τ(B)。

1.2 謂詞邏輯系統(tǒng)K*?的公理包含以下兩類

本小節(jié)對謂詞邏輯系統(tǒng)K*?的語構(gòu)理論及一階邏輯的公理化真度進行說明。

定義1.2［5］K*?中的公理集，其中A，B，C為謂詞公式。

i）系統(tǒng)K*中的公理：

（K*14）(?x)(A→B)→(A→(?x)B)，x在B中不自由；

（K*15）(?x)(A∨B)→((?x)A∨B)，x在B中不自由。

ii）帶有量詞的公理：

（?1）(?x)A(x)→A(t)（在A(x)中可用t替代x）；

（?1）A(t)→(?x)A(x)（在A(x)中可用t替代x）；

（?2）(?x)(B→A)→(B→(?x)A)（x在B中不自由）；

（?2）(?x)(A→B)→((?x)A→B)（x在B中不自由）；

（?3）(?x)(A∨B)→((?x)A∨B)（x在B中不自由）。

系統(tǒng)K*的推理規(guī)則有以下兩條：

MP規(guī)則［5］：由A，A→B推出B；

推廣規(guī)則［5］：由A推出(?x)A。

命題1.2［5］在系統(tǒng)K*?中，以下結(jié)論成立：

HS規(guī)則：A→B，B→C可得A→C；

交推理規(guī)則：A→B，A→C，可得A→B∧C。

命題1.3［18］設(shè)A，B，C∈Φ，則

i）ξ(A，B)=ξ(B，A)；

ii）若A與B邏輯等價，則ξ(A，B)=1；

iii）ξ(A，B)=τ(A→B)+(B→A)-1；

iv）ξ(A，B)=1+τ(A∧B)-τ(A∨B)；

v）ξ(A，B)+ξ(A，?B)=1；

vi）ξ(A，B)+ξ(B，C)≤ξ(A，C)+1。

定義1.3［18］設(shè)A，B∈Φ，令

ρ(A，B)=1-ξ(A，B)，稱ρ(A，B)為A與B之間的偽距離。

定義1.4［18］設(shè)A，B∈Φ，令

ξ(A，B)=τ((A→B)∧(B→A))，稱ξ(A，B)為A與B之間的相似度。

命題1.4［18］設(shè)A，B，C∈Φ，則

i）ρ是Φ上的偽距離，但不是距離；

ii）ρ(A，B)+ρ(A，?B)=1；

iii）ρ(A，B)=τ(A∨B)-τ(A∧B)。

命題1.5［5］以下公式是K*?中的定理：

i）├(?x)(A∧B)?(A∧(?x)B)；

ii）├(?x)A→(?x)A；

iii）├A∧B→B；

iv）├(?x)(A→B)?((?x)B→A)。

2 相似度及偽距離運算性質(zhì)的研究

定理2.1當(dāng)x在B中不自由時，ξ(A，B→A∧B)=τ(A)-τ(B→A∧B)+1。

證明由定義1.2（K*6）知A→(B→A∧B)是定理。由定義1.1（K2）知τ(A→(B→A∧B))=1。

由命題1.3的ⅲ）可得

由定義1.1（K4）知

所以τ((B→A∧B)→A)=1+τ(A)-τ(B→A∧B)。

ξ(A，B→A∧B)=τ(A)-τ(B→A∧B)+1得證。

定理2.2當(dāng)x在B中不自由時，ξ(A，(?x)B)=2τ(A∧(?x)B)。

證明由定義1.1（K1）知，所以。

由命題1.1的vii）和命題1.3的vii）知

即ξ(A，(?x)B)=2τ(A∧(?x)B)得證。

例2.1求ξ(A，(?x)B)的值。

解由定理2.2知ξ(A，(?x)B)=2τ(A∧(?x)B)。

由命題1.5的i）知(?x)(A∧B)?A∧(?x)B是定理，所以(?x)(A∧B)→A∧(?x)B和A∧(?x)B→(?x)(A∧B)都是定理，又根據(jù)定義1.1（K2）知

根據(jù)命題1.1的iii）知

所以τ((?x)(A∧B))=τ(A∧(?x)B)。

所以ξ(A，(?x)B)=2τ(A∧(?x)B)=。

定理2.3證明ξ(A∨B，B∨A)=τ(B∨A→A∨B)。

證明由定義1.2（K*7）知A∨B→B∨A是定理，由定義1.1（K2）知τ(A∨B→B∨A)=1，由命題1.3（iii）知

即ξ(A∨B，B∨A)=τ(B∨A→A∨B)得證。

定理2.4證明ξ((?x)A，(?x)A)=2τ((?x)A∧。

證明由命題1.5的ii）知(?x)A→(?x)A是定理，由定義1.1（K2）知τ((?x)A→(?x)A)=1。

又由定義1.1（K1）知

由命題1.3的iv）知

例2.2 求ξ(B→A∧B，?A)，ρ((B→A∧B)，A)的值。

解由定義1.2（K*11）和命題1.5的iii）知A→(B→A∧B)，A∧B→B是定理，根據(jù)定義1.1（K2）知τ(A→(B→A∧B))=1，τ(A∧B→B)=1。

又由定義1.1（K1）知τ(A)。

由定義1.1（K4）知

由命題1.3的iii）和命題1.3的v）知

由定義1.3知ρ(A，B)=1-ξ(A，B)，那么

例2.3求ρ((?x)(A→B)，?((?x)B→A))的值。

解由命題1.5的iv）知(?x)(A→B)?((?x)B→A)是定理，所以(?x)(A→B)→((?x)B→A)，((?x)B→A)→(?x)(A→B)都是定理，由定義1.1（K2）知τ((?x)(A→B)→((?x)B→A))=1，

又由命題1.4的ii）知ρ(A，?B)=1-ρ(A，B)，由命題1.3的iii）和定義1.3可知ρ(A，B)=1-ξ(A，B)，那么

定理2.5證明。

證明由定義1.2（K*1）知A→(B→A)是定理，

由定義1.1（K1）和（K2）知τ(A→(B→A))=1，

由命題1.3的iii）

由定義1.1（K4）知

得證。

3 結(jié)束語

本文討論了謂詞邏輯系統(tǒng)K*?的相似度及偽距離，研究了一階閉邏輯公式的相似度和偽距離的性質(zhì)及運算性質(zhì)，為之后研究謂詞邏輯系統(tǒng)K*?的發(fā)散度、相容度等奠定了一定基礎(chǔ)。