模型構(gòu)建：理清數(shù)學(xué)應(yīng)用題目研究路線

林鋒

［摘? 要］ 模型思想是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的核心使命之一，也是助力小學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力全面發(fā)展的重要方面。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于利用資源，設(shè)計(jì)適合的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生在相應(yīng)的問(wèn)題研究中實(shí)現(xiàn)解題模型的建構(gòu)，助推小學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題研究能力的不斷發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要抓住模型建設(shè)、模型演練、模型優(yōu)化、模型應(yīng)用等環(huán)節(jié)，理清數(shù)學(xué)應(yīng)用題目研究路線，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的深入，促使他們的數(shù)學(xué)思維變得愈發(fā)敏銳、深刻，讓他們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力不斷提高。

［關(guān)鍵詞］ 模型構(gòu)建；數(shù)學(xué)應(yīng)用題；教學(xué)研究

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想是新課程改革的內(nèi)容之一，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的重要著力點(diǎn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要更精準(zhǔn)地解讀教學(xué)內(nèi)容，更理性地分析學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，創(chuàng)設(shè)一系列模型應(yīng)用情境，利用模型知識(shí)去研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，讓學(xué)生在實(shí)踐體驗(yàn)中更好地理解知識(shí)的本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，讓學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題的研究學(xué)習(xí)中啟動(dòng)數(shù)學(xué)思維，在實(shí)踐探索中建立良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

[?]一、模型初建，啟動(dòng)應(yīng)用題解題思維

教師借助模型構(gòu)建實(shí)施教學(xué)，需要對(duì)模型特點(diǎn)、模型內(nèi)容、模型應(yīng)用等進(jìn)行深度探索，幫助學(xué)生梳理學(xué)習(xí)思維，形成系統(tǒng)性認(rèn)知。在“長(zhǎng)方體的實(shí)際應(yīng)用”教學(xué)中，教師需要圍繞主題創(chuàng)設(shè)必要的學(xué)習(xí)情境、問(wèn)題情境等，讓學(xué)生在問(wèn)題研究中更好地理解和掌握長(zhǎng)方體的本質(zhì)，特別是表面積、體積的計(jì)算公式的由來(lái)等，也使得對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)得以積累，為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型建立提供最基礎(chǔ)的支持。

師：認(rèn)真地觀看屏幕上的內(nèi)容，從中找到的數(shù)學(xué)信息有哪些？

生1：這是一個(gè)公路的施工場(chǎng)面，要修的公路長(zhǎng)2.5千米，路面寬16米。計(jì)劃在地基上鋪設(shè)厚度10厘米的瀝青，問(wèn)題是需要多少瀝青？

生2：這個(gè)問(wèn)題要解決的內(nèi)容是什么？是鋪瀝青的表面積，還是其他的內(nèi)容呢？

生3：不是表面積，表面積不就是公路表面的面積嗎？是一個(gè)長(zhǎng)2.5千米、寬16米的長(zhǎng)方形，沒(méi)有這么簡(jiǎn)單的。

生4：如果是這樣就不需要告訴瀝青的厚度，所以應(yīng)該是計(jì)算瀝青的總體積。

生5：瀝青的總體積？能計(jì)算嗎？它是一個(gè)什么形狀？

師：這個(gè)問(wèn)題很好。瀝青的形狀是什么樣的呢？同桌之間討論交流一下。

……

生6：結(jié)合視頻中的畫(huà)面，畫(huà)出公路的草圖，發(fā)現(xiàn)鋪瀝青的地方是一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)2.5千米，寬16米，高是10厘米。

生7：還真是，那瀝青的總體積不就是2.5×16×10了嗎？

生8：你的這個(gè)算式不對(duì)！你看，這3個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的單位是一樣的嗎？2.5千米，16米，10厘米，都不相同的，怎么能直接計(jì)算呢？

生9：要換成同樣的單位才可以計(jì)算，即（2.5×1000）×16×（10÷100），這樣才能計(jì)算出正確結(jié)果。

……

生10：經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，我明白了像生活中鋪瀝青、鋪水泥路面實(shí)際鋪好后都是長(zhǎng)方體，這個(gè)弄明白了，解決問(wèn)題也就輕松多了。

……

要幫助學(xué)生建立初步的數(shù)學(xué)思維模型，以及對(duì)應(yīng)問(wèn)題研究模型，實(shí)戰(zhàn)演練是必不可少的一環(huán)，也是最為關(guān)鍵的一環(huán)。因?yàn)橹挥性诰唧w問(wèn)題的研究思考中，學(xué)生才能對(duì)相關(guān)知識(shí)理解得更加透徹，相關(guān)的研究也會(huì)隨之深入。這樣學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思維才會(huì)形成和諧的統(tǒng)一，從而讓數(shù)學(xué)模型思想在問(wèn)題研究中發(fā)展起來(lái)。

聯(lián)系教學(xué)片段，可以看出，通過(guò)必要的實(shí)踐練習(xí)，可以喚醒學(xué)生既有的學(xué)習(xí)與經(jīng)驗(yàn)，也會(huì)促使學(xué)生有效學(xué)習(xí)思考的開(kāi)展，更會(huì)讓學(xué)生在爭(zhēng)辯中學(xué)習(xí)分析、學(xué)習(xí)歸納，使他們的學(xué)習(xí)思維變得更加理性，思考問(wèn)題變得愈發(fā)縝密，從而使學(xué)生解決問(wèn)題的能力得到發(fā)展。同時(shí)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的研究也使得相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決模型得到初步形成，為學(xué)生深度學(xué)習(xí)提供智力支持。

[?]二、模型演練，深化應(yīng)用題解題規(guī)劃

沒(méi)有實(shí)踐的學(xué)習(xí)無(wú)疑就是紙上談兵，也是一個(gè)華而不實(shí)的空架子。在“長(zhǎng)方體的實(shí)際應(yīng)用”教學(xué)中，教師圍繞實(shí)際應(yīng)用這一主題做文章，并讓學(xué)生在具體問(wèn)題的探究中形成相應(yīng)問(wèn)題研究的思維模型，促進(jìn)學(xué)習(xí)的順利推進(jìn)，助推學(xué)生解決問(wèn)題能力的不斷發(fā)展。教師也得學(xué)習(xí)順勢(shì)而為，特別是在目前“雙減”政策的大背景下，教師更需要優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)，精簡(jiǎn)練習(xí)，以此來(lái)更好地滲透數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題模型的有效建構(gòu)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更智慧、更有靈氣。

師：前面問(wèn)題研究學(xué)習(xí)是很有成效的，總結(jié)也是非?？茖W(xué)的。接下來(lái)這個(gè)問(wèn)題又是怎樣的一個(gè)問(wèn)題呢？

課件呈現(xiàn)：學(xué)校計(jì)劃在操場(chǎng)的一邊挖出一個(gè)沙坑，長(zhǎng)10米，寬3米，深80厘米。需要挖出的泥土有多少？

生1：這個(gè)問(wèn)題就是挖出一個(gè)長(zhǎng)方體的沙坑。挖出的泥土就是這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。

生2：那不就是和前面的問(wèn)題差不多嗎？也需要注意一下單位的一致性。

……

師：不過(guò)我有點(diǎn)奇怪，前面鋪路的瀝青是長(zhǎng)方體，現(xiàn)在挖土也是長(zhǎng)方體，這是怎么回事呢？

生3：挖土就是挖出的泥土的體積，它不是挖的面積，當(dāng)挖土機(jī)挖出一鏟子的泥土，那些泥土占據(jù)了一定空間，有一定的體積，累積起來(lái)，就是挖出的體積。

生4：這個(gè)挖土就像把水槽中的水倒出來(lái)一樣，也就是倒出水的體積，所以挖土挖出來(lái)的也是體積。

……

師：聽(tīng)了大家的分析與思考，你有什么感觸？

生5：解決問(wèn)題時(shí)認(rèn)真地研究題目很重要，一不小心就算成表面積了。

生6：要分析清楚問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，這兩道題實(shí)際上都是計(jì)算長(zhǎng)方體的體積，需要從長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式入手，找出條件進(jìn)行計(jì)算。

……

提供必要的實(shí)踐學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)去研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的基本途徑，也是培養(yǎng)解決問(wèn)題能力的重要方式。在這樣的問(wèn)題探究學(xué)習(xí)中，學(xué)生也會(huì)很自然地學(xué)到分析與思考的本領(lǐng)，從而讓自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到更豐富的積累。

回顧教學(xué)片段，可以從中看出，把常規(guī)性的長(zhǎng)方體的體積計(jì)算設(shè)計(jì)為生活化的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生去分析與探索。這樣學(xué)生就在自主思考與同伴交流中更好地領(lǐng)悟問(wèn)題的本質(zhì)，凸顯相應(yīng)的問(wèn)題研究的基本方略，使得問(wèn)題解決的思維模型在學(xué)習(xí)中不斷建立起來(lái)。

[?]三、模型優(yōu)化，理清應(yīng)用題解讀路線

要促使學(xué)生更好地感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，建立起對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決思維模型，教師需要從引導(dǎo)反思開(kāi)始，讓學(xué)生在自我學(xué)習(xí)反芻、與同伴辯論學(xué)習(xí)等活動(dòng)中獲得應(yīng)有的發(fā)展，讓他們的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力穩(wěn)步提升。因此，在“長(zhǎng)方體的實(shí)際應(yīng)用”教學(xué)中，教師要從聚焦本質(zhì)、助力建模等角度去謀劃教學(xué)，打造學(xué)習(xí)應(yīng)用環(huán)節(jié)，以此促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)反思的開(kāi)展、學(xué)習(xí)認(rèn)知的建構(gòu)等，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)得到較為理想的發(fā)展。

師：生活中類(lèi)似的問(wèn)題是比較多的，通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題的研究，你的發(fā)現(xiàn)又是什么？

生1：要研究問(wèn)題讀懂題目很重要，前面兩個(gè)問(wèn)題，鋪瀝青和挖泥土看起來(lái)和長(zhǎng)方體的體積計(jì)算是沒(méi)有聯(lián)系的，但是只要認(rèn)真思考，或者畫(huà)一畫(huà)草圖，就能發(fā)現(xiàn)鋪瀝青就是鋪一個(gè)長(zhǎng)方體的體積，挖泥土也就是挖出一個(gè)長(zhǎng)方體的體積，所以它們最終需要解決的就是長(zhǎng)方體的體積問(wèn)題。

生2：從問(wèn)題的分析中也能看出，計(jì)算長(zhǎng)方體的體積是需要仔細(xì)地區(qū)分單位的，要注意長(zhǎng)度單位、面積單位和體積單位之間的差異，特別是在同一個(gè)問(wèn)題中要注意各個(gè)數(shù)量的單位是不是一樣的。這點(diǎn)是確保問(wèn)題解決的正確性的一個(gè)重要方面。

……

師：分析得非常有道理。繼續(xù)看上面沙坑的后續(xù)研究吧！

課件呈現(xiàn)后續(xù)的問(wèn)題：學(xué)校運(yùn)來(lái)了22.5立方米的沙子，倒入沙坑中攤平。則沙子離地面的距離是多少？

生3：這里告訴的是沙子體積22.5立方米，倒入沙坑中，就可以計(jì)算出沙子在沙坑中的深度，然后就可以算出沙子與地面的距離了。

……

學(xué)而不思則罔。這是對(duì)學(xué)習(xí)最經(jīng)典的論述，也是教師有效教學(xué)的重要理論依據(jù)之一。所以，在教學(xué)中教師需要在此方面花點(diǎn)力氣，給予學(xué)生必要的反芻與咀嚼的時(shí)空，從而助力他們把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決模型的建立。教學(xué)片段中，教師通過(guò)開(kāi)展辯論活動(dòng)，使得長(zhǎng)方體的體積計(jì)算模型得到較好的建立。同時(shí)，設(shè)計(jì)一組變式訓(xùn)練，以此來(lái)幫助學(xué)生更有效地感悟長(zhǎng)方體體積計(jì)算的本質(zhì)，使他們的學(xué)習(xí)變得更加嚴(yán)謹(jǐn)、更有實(shí)效。

由此可見(jiàn)，要想更好地發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，教師需要圍繞教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)必要的實(shí)際問(wèn)題的研究學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生在“真槍實(shí)彈”的演練中增長(zhǎng)才智，發(fā)展能力，提升思維的活力，讓他們的問(wèn)題研究學(xué)習(xí)更加靈動(dòng)，從而較好地建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維模型，讓他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到較好的發(fā)展。當(dāng)然，要達(dá)成這一目標(biāo)也不是靠單純的一兩次的問(wèn)題解決學(xué)習(xí)就能奏效的，教師還得圍繞新課標(biāo)精神，抓實(shí)核心概念深入化、知識(shí)體系結(jié)構(gòu)化等方面，用這樣的理念來(lái)構(gòu)建實(shí)際問(wèn)題研究教學(xué)的情境，讓學(xué)生得到全面的訓(xùn)練，從而促使其數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的發(fā)展。