于“理解”上著力，在“問(wèn)題”中生慧

胡柳青

［摘? 要］ 好的概念教學(xué)應(yīng)該關(guān)注知識(shí)形成過(guò)程，激活數(shù)學(xué)思維. 文章以“方差與標(biāo)準(zhǔn)差”教學(xué)為例，談?wù)勗凇叭齻€(gè)理解”下如何利用問(wèn)題鏈進(jìn)行概念教學(xué)，進(jìn)而提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 方差；概念形成；問(wèn)題鏈；核心素養(yǎng)

章建躍先生強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重“三個(gè)理解”：“理解數(shù)學(xué)”是教學(xué)本質(zhì)，“理解學(xué)生”是教學(xué)前提，“理解教學(xué)”是教學(xué)保障. 教學(xué)著眼點(diǎn)如果不在教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生現(xiàn)實(shí)，只是關(guān)注結(jié)果與操練，生動(dòng)課堂就成為死板訓(xùn)練場(chǎng)，學(xué)生難以真正獲取知識(shí)、發(fā)展思維和提升素養(yǎng). 本文以浙教版八年級(jí)下冊(cè)“方差與標(biāo)準(zhǔn)差”一課為例，談?wù)勗凇叭齻€(gè)理解”下如何利用問(wèn)題鏈進(jìn)行概念教學(xué)的探索及反思，望大家批評(píng)指正.

實(shí)錄與評(píng)析

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

師：數(shù)據(jù)收集后，我們會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行整理、描述、分析、判斷，為決策提供依據(jù)，請(qǐng)看如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：第19屆亞運(yùn)會(huì)將在杭州舉行，國(guó)家射擊隊(duì)想從甲、乙兩人中挑選一人參加比賽，你認(rèn)為該如何挑選？

教師出示甲、乙第一次射擊命中環(huán)數(shù)如表1，提問(wèn)能否根據(jù)數(shù)據(jù)挑選.

眾生：不能，數(shù)據(jù)太少，無(wú)法反映甲、乙水平，乙第一次命中10環(huán)，第二次卻可能是0環(huán)了.

師：如果兩人射擊命中環(huán)數(shù)如表2，你覺(jué)得挑選哪位比較適合？

眾生計(jì)算得出表3，選擇參賽人員并說(shuō)明理由.

生1：選擇乙，乙有兩次命中10 環(huán)，比賽中很有可能得高分.

生2：選擇甲，甲成績(jī)比較平穩(wěn)，有三次命中8 環(huán)，心理素質(zhì)好，比賽中應(yīng)該不容易出錯(cuò).

生3：我覺(jué)得平均數(shù)、中位數(shù)一致，眾數(shù)相差不大，甲的極差稍小一些，是不是說(shuō)明選甲應(yīng)該更好一點(diǎn)？

評(píng)析? 課堂教學(xué)從一個(gè)有趣而開(kāi)放的問(wèn)題出發(fā)，讓學(xué)生直觀感受數(shù)據(jù)可以反映現(xiàn)實(shí)生活，理解運(yùn)用樣本估計(jì)總體的可能性與必要性. 通過(guò)復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)有效處理，運(yùn)用數(shù)據(jù)推理，使學(xué)生理解只憑集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量無(wú)法做出合理決策，感悟統(tǒng)計(jì)量的不足，形成認(rèn)知沖突，體會(huì)尋找新的統(tǒng)計(jì)量表示數(shù)據(jù)離散程度的必要性，進(jìn)一步發(fā)展他們的數(shù)據(jù)分析觀念.

2. 多維探究，尋求突破

問(wèn)題2：剛才某同學(xué)說(shuō)，甲成績(jī)更加穩(wěn)定，你是如何看出來(lái)的，有沒(méi)有更加直觀的方法反映數(shù)據(jù)波動(dòng)情況？

生2：可以將表2數(shù)據(jù)繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖1，甲基本成一條直線，乙的高低不平，甲應(yīng)該更穩(wěn)定.

生3：甲每次成績(jī)都比較接近平均數(shù)8，乙的成績(jī)偏離平均數(shù)8較多，所以甲的成績(jī)更加穩(wěn)定.

師：很好，我們從圖形上得出甲更為穩(wěn)定，那么從數(shù)量上是不是也可以用某個(gè)特征數(shù)來(lái)表示？

學(xué)生小組合作，教師巡視指導(dǎo)，選擇代表發(fā)言.

生4：我們將數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差進(jìn)行累加，想用甲、乙偏差和來(lái)描述，不過(guò)發(fā)現(xiàn)和為0，應(yīng)該是正負(fù)剛好抵消了，所以不能直接用偏差和來(lái)表示波動(dòng)程度.

師：那么，你有辦法不抵消嗎？

生4：我們又試著用數(shù)據(jù)與平均數(shù)偏差的絕對(duì)值之和，甲、乙分別為2 環(huán)和8 環(huán)，這樣就可以表示波動(dòng)程度.

師：如何判斷？

生4：偏差絕對(duì)值之和大的不穩(wěn)定，小的更穩(wěn)定.

師：有沒(méi)有其他方法，也可以不抵消呢？

生5：可以通過(guò)求偏差平方和，甲、乙偏差平方和為2和16，同樣得到大的不穩(wěn)定，小的更穩(wěn)定.

生6：能否用偏差立方和？（學(xué)生指出不可以，正負(fù)又會(huì)抵消）

生7：是不是可以用偏差4次方，或者更高的偶次方？（學(xué)生認(rèn)為次數(shù)太高，計(jì)算太困難，用平方就可以）

師：很好，通過(guò)研究我們發(fā)現(xiàn)可以利用偏差絕對(duì)值和偏差平方來(lái)衡量穩(wěn)定性（如表4），你覺(jué)得用哪一個(gè)更好些？

經(jīng)學(xué)生討論，教師指出對(duì)偏差進(jìn)行平方使得離散程度更加明顯；平方和相對(duì)便于計(jì)算，絕對(duì)值則需進(jìn)行變號(hào)處理，程序復(fù)雜度增加，因此通常選擇偏差平方和.

問(wèn)題3：為更好地反映兩人水平，教練組織兩人重新比賽一次. 但是乙只打4槍，甲打了8槍，成績(jī)?nèi)绫?，上述偏差平方和還能真實(shí)反映兩人成績(jī)穩(wěn)定性嗎？可以如何改進(jìn)？

生8：從數(shù)據(jù)看明顯是甲穩(wěn)定，但計(jì)算偏差平方和卻都是18. 次數(shù)不同，比較起來(lái)不公平，次數(shù)多的和相對(duì)會(huì)大一些，我覺(jué)得可以求偏差平方和的平均數(shù).

師：非常不錯(cuò). 我們把數(shù)據(jù)偏差平方和的平均數(shù)叫作這組數(shù)據(jù)的方差，作為衡量數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的特征數(shù)：s2=，其中是平均數(shù)，n是數(shù)據(jù)個(gè)數(shù).

師：“方差”由羅納德·費(fèi)雪提出，并由此創(chuàng)設(shè)方差分析等理論，旨在更深入、更準(zhǔn)確地剖析物種的變異原因. 如果一組數(shù)據(jù)方差為0，你能解釋是什么意思嗎？方差可以為負(fù)數(shù)嗎？

生9：這些數(shù)都等于平均數(shù)，比如：5，5，5，5，5，5，就沒(méi)有波動(dòng)了. 方差也不能為負(fù)數(shù).

問(wèn)題4：丙、丁某次射擊成績(jī)?nèi)绫?，計(jì)算平均數(shù)與方差，你會(huì)選擇誰(shuí)參加比賽.

師：丙、丁方差是4.25和1，應(yīng)該選丁參加比賽嗎？

眾生：不對(duì)，丁平均成績(jī)只有3環(huán)，丙平均成績(jī)是6 環(huán)，應(yīng)選擇丙.

評(píng)析? 直接觀察會(huì)有局限，教師引導(dǎo)學(xué)生利用折線統(tǒng)計(jì)圖反映波動(dòng)情況，結(jié)合圖像選擇平均數(shù)作為波動(dòng)的參照對(duì)象，為方差形成做鋪墊. 通過(guò)問(wèn)題2、3，教師引導(dǎo)學(xué)生討論從偏差和到偏差絕對(duì)值和到偏差平方和，最后到偏差平方和的平均數(shù)，借助實(shí)例比較優(yōu)劣，精心建構(gòu)方差概念與公式，充分經(jīng)歷方差形成過(guò)程，感受到學(xué)習(xí)方差的必要性. 教師適時(shí)引入數(shù)學(xué)史，由一組相同數(shù)據(jù)的方差特例對(duì)公式進(jìn)行解釋，體現(xiàn)方差公式的科學(xué)性與正確性，并緊密聯(lián)系生活. 通過(guò)問(wèn)題4熟悉方差運(yùn)算過(guò)程，明確方差作用，平均數(shù)相等（接近）時(shí)，考慮運(yùn)用方差來(lái)刻畫離散程度，不偏頗不擴(kuò)大，進(jìn)而明晰統(tǒng)計(jì)量區(qū)別與聯(lián)系.

3. 變式練習(xí)，鞏固提升

師：下面我們可以利用方差公式解決實(shí)際問(wèn)題5，哪位同學(xué)愿意上黑板寫解答過(guò)程？

問(wèn)題5：為觀察甲、乙兩塊地的小麥長(zhǎng)勢(shì)，從中分別抽取10株苗，測(cè)得苗高如下（單位 cm）：

甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；

乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.

哪塊地的小麥長(zhǎng)得比較整齊？

生9板演：平均數(shù)甲=13（cm），平均數(shù)乙=13（cm），方差甲=3.6（cm2），方差乙= 15.8（cm2），方差甲<方差乙，所以甲地小麥長(zhǎng)得比較整齊.

師：你計(jì)算的是10株苗的方差，為什么可以判斷甲比乙長(zhǎng)得整齊？

生9：利用樣本可以估計(jì)總體，不過(guò)樣本選取要合理，例如要在不同區(qū)域選取.

師：還有個(gè)小問(wèn)題，方差單位是cm2，有什么辦法將單位統(tǒng)一成cm？

生10：可以開(kāi)平方，使單位變成cm.

師：用方差來(lái)描述離散程度時(shí)，平方可能“夸大”離散程度，并且與原數(shù)據(jù)單位不一致，通?？梢郧笏阈g(shù)平方根，將其稱為數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差：即s==. 用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫數(shù)據(jù)離散程度可以更加精確、客觀，當(dāng)然計(jì)算上會(huì)相對(duì)麻煩些.

問(wèn)題6：將甲中每個(gè)數(shù)都減去平均數(shù)13（或擴(kuò)大2倍）如表7，得到一組新的數(shù)據(jù)，并畫出折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖2），你發(fā)現(xiàn)哪些有趣的結(jié)論？

生11：將每個(gè)數(shù)減去平均數(shù)，新數(shù)據(jù)平均數(shù)為0，偏差程度相同，折線圖形狀相同，新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的方差相同.

生12：將每個(gè)數(shù)擴(kuò)大2倍，新數(shù)據(jù)平均數(shù)擴(kuò)大2倍，折線圖偏差更加明顯，新數(shù)據(jù)比原數(shù)據(jù)的方差應(yīng)該變大，會(huì)不會(huì)也是擴(kuò)大2倍？

師：你能通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明嗎，一般地，若x，x，…，x的方差為s2，則ax+b，ax+b，…，ax+b的方差會(huì)是多少？

學(xué)生計(jì)算后得出：加上（減去）相同的數(shù)，方差不變；擴(kuò)大（縮?。゛倍，方差為原方差的a2倍.

評(píng)析? 學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷生疑、質(zhì)疑、釋疑、解疑的過(guò)程，教師提出富有價(jià)值的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生持續(xù)探究，是有效教學(xué)的重要保證. 利用問(wèn)題“10株苗的方差，如何判斷甲、乙兩塊地小麥的整齊度”體會(huì)統(tǒng)計(jì)研究以樣本為依據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果具有隨機(jī)性，滲透學(xué)法指導(dǎo)，能加深學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)思想的理解. 利用問(wèn)題“如何將單位統(tǒng)一”自然得到標(biāo)準(zhǔn)差，將學(xué)生思維引向深入，這也是求新、求簡(jiǎn)意識(shí)的體現(xiàn). 問(wèn)題6從形的角度得到穩(wěn)定性，再?gòu)牧康慕嵌扔?jì)算得出方差情況，體會(huì)方差的實(shí)際應(yīng)用，最后從特殊到一般得出方差變化規(guī)律，從而提升學(xué)生對(duì)方差的理解程度，增強(qiáng)其思維深度.

4. 歸納小結(jié)，建立體系

師出示“問(wèn)題清單”，進(jìn)行課堂回顧與反思：

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是如何研究的？

（2）方差和標(biāo)準(zhǔn)差在數(shù)據(jù)分析中的作用是什么？

（3）計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差需要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟，方差有什么主要特征？

學(xué)生合作交流，教師傾聽(tīng)、評(píng)價(jià)并進(jìn)行總結(jié)性講解.

問(wèn)題7：甲、乙射擊10次成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖3，填寫表8，并從以下角度結(jié)合不同統(tǒng)計(jì)量對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析：

（1）誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定（平均數(shù)+方差）？

（2）誰(shuí)的總體成績(jī)更好（平均數(shù)+中位數(shù)）？

（3）誰(shuí)得高分機(jī)會(huì)更大（9環(huán)以上頻數(shù)）？

（4）誰(shuí)更加有潛力（折線統(tǒng)計(jì)圖的趨勢(shì)）？

評(píng)析? 通過(guò)問(wèn)題清單引導(dǎo)課堂小結(jié)，問(wèn)題（1）指向“學(xué)什么與怎么學(xué)”，問(wèn)題（2）關(guān)注“有什么用”，問(wèn)題（3）明確“如何運(yùn)用”. 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程，再次整體建構(gòu)，既總結(jié)知識(shí)形成體系，又對(duì)方差研究的基本方法和基本路徑再次回顧，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供了路徑和方法. 問(wèn)題7綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，從不同角度分析問(wèn)題，讓學(xué)生更好地理解各類統(tǒng)計(jì)量的作用，明晰數(shù)學(xué)源于生活、服務(wù)于生活.

幾點(diǎn)思考

1. 基于“三個(gè)理解”的課堂主線

“理解數(shù)學(xué)”，要把握數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，對(duì)其中蘊(yùn)含的思想和方法深入理解；“理解學(xué)生”，要全面了解思維規(guī)律，把握認(rèn)知特點(diǎn)；“理解教學(xué)”，要把握教學(xué)基本規(guī)律，按規(guī)律辦事［1］. “方差和標(biāo)準(zhǔn)差”是浙教版八年級(jí)下冊(cè)“數(shù)據(jù)分析初步”第三節(jié)內(nèi)容，用方差來(lái)反映數(shù)據(jù)離散程度，在初中統(tǒng)計(jì)知識(shí)體系中占有重要位置. 此時(shí)，學(xué)生初步具有統(tǒng)計(jì)思想，能理解并運(yùn)用“三數(shù)”反映數(shù)據(jù)集中程度，對(duì)衡量數(shù)據(jù)離散程度的必要性及合理性的理解有待提升. 此外，方差公式冗長(zhǎng)、邏輯性強(qiáng)，不易記憶理解，學(xué)生計(jì)算上也有困難. 基于此，教師確定教學(xué)目標(biāo)如下：（1）通過(guò)問(wèn)題情境，經(jīng)歷方差產(chǎn)生過(guò)程，建構(gòu)方差（標(biāo)準(zhǔn)差）概念；（2）借助實(shí)際問(wèn)題，掌握方差（標(biāo)準(zhǔn)差）計(jì)算公式，體會(huì)方差（標(biāo)準(zhǔn)差）能反映數(shù)據(jù)的“離散程度”；（3）結(jié)合實(shí)際情境，體會(huì)借助方差（標(biāo)準(zhǔn)差）量化波動(dòng)程度，積累統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)并提高應(yīng)用意識(shí). 教學(xué)重點(diǎn)：理解方差概念以及算法、統(tǒng)計(jì)意義，應(yīng)用方差解決實(shí)際問(wèn)題. 教學(xué)難點(diǎn)：理解數(shù)據(jù)離散程度的含義，對(duì)方差意義理解，體會(huì)方差算法的合理性. 形成以目標(biāo)導(dǎo)學(xué)的思維課堂主線，以學(xué)為中心，以思維為核心，以問(wèn)題串形式引領(lǐng)教學(xué)流程，學(xué)生在自主、交互、體驗(yàn)學(xué)習(xí)中完成知識(shí)建構(gòu)、方法提煉、統(tǒng)計(jì)思想體驗(yàn). 具體設(shè)計(jì)如圖4.

2. 基于問(wèn)題鏈的重難點(diǎn)突破

課堂教學(xué)既要力求“自然”，又要保證“效率”，在“取”“舍”之間做好“度”的把控. 方差是用“先平均再求差，后平方再平均”表示數(shù)據(jù)偏離情況，合理性何在，必要性為何？正是本節(jié)課的重難點(diǎn)，需要花較多時(shí)間、花較多功夫?qū)Ω拍罱忉屢龑?dǎo)，展示形成過(guò)程. 教師要通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，不斷營(yíng)造認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在思考、探究、討論、表達(dá)過(guò)程中，充分體驗(yàn)概念的產(chǎn)生、形成、發(fā)展. 問(wèn)題 1從生活到數(shù)學(xué)，在平均數(shù)相等情況下無(wú)法反映兩組數(shù)據(jù)的不同情況，造成第一次認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受統(tǒng)計(jì)量不夠用，需引進(jìn)新的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行決策. 問(wèn)題2從形到數(shù)，讓學(xué)生直觀感受數(shù)據(jù)波動(dòng)不同分布不均，偏差確實(shí)存在：穩(wěn)定在平均數(shù)周圍，波動(dòng)較??；與平均數(shù)偏離較多，波動(dòng)較大. 這樣學(xué)生自然想到利用偏差和，但得到和為0，出現(xiàn)第二次認(rèn)知沖突：如何確保偏差和不被抵消，以反映數(shù)據(jù)波動(dòng)的事實(shí)存在. 學(xué)生想到給偏差取絕對(duì)值，出現(xiàn)偏差絕對(duì)值和，這合乎數(shù)學(xué)邏輯，也合情合理，但絕對(duì)值運(yùn)算需判斷正負(fù)，不方便也更不經(jīng)濟(jì)，出現(xiàn)第三次認(rèn)知沖突：如何尋求與絕對(duì)值相同效能的簡(jiǎn)便方法. 對(duì)偏差取平方，求得平方和，初步形成概念. 問(wèn)題3從特殊到一般，通過(guò)積少成多，體會(huì)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)對(duì)偏差平方和的影響，出現(xiàn)第四次認(rèn)知沖突：如何減少個(gè)數(shù)影響. 利用偏差平方和的平均數(shù)衡量波動(dòng)，從而得到方差，進(jìn)一步精確概念. 問(wèn)題4從一般到特殊，讓學(xué)生明晰方差運(yùn)用場(chǎng)景，強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)量的相互聯(lián)系. 問(wèn)題 5通過(guò)實(shí)例熟悉方差計(jì)算公式，進(jìn)行決策，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：一是數(shù)據(jù)單位不同，如原數(shù)據(jù)為個(gè)、分鐘等，方差則為平方個(gè)、平方分鐘，這是何等怪物；二是數(shù)據(jù)結(jié)果伸縮，原數(shù)據(jù)1和3相差2，經(jīng)平方后1與 9 相差8，又如 0.1 與 0.3 相差0.2，經(jīng)平方后0.01 與0. 09相差成0.08. 此時(shí)出現(xiàn)第五次認(rèn)知沖突：如何使單位得以正常，數(shù)據(jù)得以還原. 學(xué)生自然得出標(biāo)準(zhǔn)差，在跌宕起伏的過(guò)程中理解概念形成是必然的，知識(shí)學(xué)習(xí)是自然的. 問(wèn)題6從形到數(shù)，進(jìn)行規(guī)律性變化，學(xué)生觀察圖形得到方差的變與不變的猜想，通過(guò)計(jì)算對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，從而更深入地理解方差. 問(wèn)題7從方差到其他統(tǒng)計(jì)量，學(xué)生綜合運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行決策，復(fù)習(xí)數(shù)據(jù)集中與離散的相關(guān)知識(shí)，整體形成知識(shí)結(jié)構(gòu).

3. 基于過(guò)程教育的素養(yǎng)養(yǎng)成

史寧中說(shuō)過(guò)：對(duì)于數(shù)學(xué)教育，所說(shuō)的過(guò)程，不是數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，也不是數(shù)學(xué)家所描述的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，而是學(xué)生自己理解數(shù)學(xué)的思維過(guò)程［2］. 培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)觀念最有效的方法就是在數(shù)據(jù)收集、整理、描述、分析過(guò)程中，學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)說(shuō)話，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí). 本節(jié)課以典型的、有趣的問(wèn)題為載體，教師引導(dǎo)與學(xué)生建構(gòu)相結(jié)合的適度開(kāi)放教學(xué)，充分體現(xiàn)“過(guò)程教育”思想. 方差概念形成時(shí)，既有合作解答“選拔問(wèn)題”的認(rèn)知過(guò)程，認(rèn)識(shí)平均數(shù)不足以解決問(wèn)題，需尋求衡量數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的特征數(shù)，也有觀察、歸納特征數(shù)算式，定義方差的探究過(guò)程；方差概念建構(gòu)后，有不斷反思的認(rèn)知過(guò)程，明確方差的意義與作用，與“三數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系；標(biāo)準(zhǔn)差概念精確時(shí)，既有與方差比較的認(rèn)知過(guò)程，以鞏固概念和發(fā)展計(jì)算技能，也有問(wèn)題解決后的變式提升過(guò)程，綜合運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量形成決策，加深學(xué)生對(duì)方差等統(tǒng)計(jì)量的理解與運(yùn)用. 課堂教學(xué)中，既有學(xué)生充分思考、探究、計(jì)算的活動(dòng)過(guò)程，也有教師準(zhǔn)確、清晰、富有啟發(fā)性的講解過(guò)程. 為什么要衡量離散程度？“三數(shù)”等衡量集中統(tǒng)計(jì)量無(wú)法決策時(shí)，只有選擇新的特征數(shù). 為什么選擇平均數(shù)為基準(zhǔn)？極差只能反映兩個(gè)極端值的離散程度，中位數(shù)、眾數(shù)只用到部分?jǐn)?shù)據(jù)，均沒(méi)有充分利用所有數(shù)據(jù)，不具有普遍性. 為什么還要出現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)差？方差（標(biāo)準(zhǔn)差）都可以反映數(shù)據(jù)的離散趨勢(shì)，方差運(yùn)算最為方便，標(biāo)準(zhǔn)差更為客觀……通過(guò)問(wèn)題串，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)方差知識(shí)的習(xí)得過(guò)程，對(duì)方法經(jīng)驗(yàn)的習(xí)得過(guò)程，思維從低階到高階的培育過(guò)程. 教學(xué)中，教師喚醒學(xué)生探究意識(shí)，引發(fā)學(xué)生深度思考. 學(xué)生多層次思維參與其中，各思維層次能力交互作用，螺旋上升，由此發(fā)展了自身的高階思維.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)只是知識(shí)呈現(xiàn)與解題操練，要在“理解數(shù)學(xué)”“理解學(xué)生”“理解教學(xué)”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用過(guò)程，獲得“四基”“四能”的有效發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)表達(dá)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這樣的課堂才有我們所追求的高效教學(xué)和深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］史寧中. 數(shù)學(xué)基本思想18講［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.