把握知識核心，定理探究教學

陸春燕

［摘? 要］ 幾何性質定理的教學要把握好知識聯(lián)系，合理設計情境問題引入課堂，精心設置探究環(huán)節(jié)，引導學生完成定理的探究論證，使學生掌握定理的同時提升素養(yǎng). 文章以“線段的垂直平分線的性質”為例，展開教學探討.

［關鍵詞］ 垂直平分線；性質；聯(lián)系；探究；思想

“線段的垂直平分線的性質”是初中幾何的重要內容，對幾何知識體系的構建有著重要的意義. 探究教學需要教師引導學生掌握垂直平分線的性質及判斷方法，要求學生能夠靈活運用性質、定理解決實際問題，同時教學中教師還要落實核心素養(yǎng)，提升學生的綜合能力. 下面基于教材內容展開教學反思.

把握知識聯(lián)系，情境設計引入

“線段的垂直平分線的性質”是所學章節(jié)的重點，對于全新的知識，學生不知從何處開始探究，因此，在探索引入階段，教師可以采用下面兩種方式：一是從知識聯(lián)系視角入手，關注知識的前后聯(lián)系；二是從情境視角入手，精心選擇情境素材，設計貼近學生生活的場景，引導學生逐步感知生活中的幾何性質.

“線段的垂直平分線的性質”的教學核心是一條線、兩端點、距離相等，情境問題可以從“距離相等”衍生出“公平”，從而設計實際問題引導學生思考，引出垂直平分線的性質. 所以教師可以設計如下問題：如圖1所示，小明在點A處，小剛在點B處，兩人在玩搶禮物的游戲. 為了保證游戲公平，禮物應放在什么地方？教學時教師應引導學生發(fā)散思維，思考除了可以放在線段AB的中點處外，還可以放在哪些地方，從而引出線段垂直平分線的性質.

該章節(jié)的知識內容，是在線段垂直平分線的概念和軸對稱性質基礎上的進一步探究，故教學線段的垂直平分線的性質時，教師有必要進行知識回顧、問題設計等教學設計. 問題設計建議采用遞進設問的方式，引導學生逐步深入. 基于“線段AB展示→軸對稱分析→作垂直平分線”來構建的問題鏈如下.

問題1：圖2所示的線段AB是軸對稱圖形嗎？

問題2：請指出圖2中線段AB的垂直平分線.

問題3：可以采用哪些方法來繪制線段AB的垂直平分線？

教學中，教師要引導學生從軸對稱的視角看待線段AB，深刻體會線段的軸對稱性質. 在此基礎上，教師要讓學生思考線段垂直平分線的作法，引導學生采用測量、翻折兩種方法來作線段的垂直平分線. 其中測量法分“取中點”“作垂直”兩步，翻折方法則滲透了軸對稱的性質. 整個教學過程教師要充分結合“操作實踐”與“引導思考”，讓學生在實踐中重溫垂直平分線的概念、軸對稱的性質等知識，體會知識的生長過程，逐步過渡到性質探究.

重視探究過程，精設探究環(huán)節(jié)

“線段的垂直平分線的性質”屬于幾何性質探究內容，教學中建議教師精心設計各個環(huán)節(jié)，引導學生體驗新知的獲得過程，充分調動學生的思維，使學生掌握幾何性質的同時獲得思維的提升. 故教學中建議教師采用過程探究的方式，讓學生參與活動.

性質探究需要完成“猜想驗證”到“結論歸納”整個閉環(huán)過程，即教師要引導學生分析直觀圖形，做出猜想，然后利用相關知識驗證，從中提取結論完成性質歸納. 設計教學環(huán)節(jié)時需要遵循兩大原則：一是關注學情，把握學生的認知規(guī)律，讓知識自然生成；二是豐富探究過程，注重思維引導，提升學生的思維水平. 教師教學“線段的垂直平分線的性質”時，可設計如下探究活動.

1. 活動1：分析關系，問題猜想

在“性質猜想”環(huán)節(jié)，教師需要引導學生直觀感知，通過獨立思考來做出猜想，故教學時建議設計圖形問題，直觀對比其中的數(shù)量關系，引導學生猜想.

預設：給出如圖3所示的圖形，假定直線l為線段AB的垂直平分線，P1，P2，P3均是直線l上的點，觀察P1，P2，P3三點到點A和點B的距離，分析其中的數(shù)量關系.

引導設計：此環(huán)節(jié)需要學生理解其中的位置關系，即l是AB的垂直平分線，故該直線經(jīng)過AB的中點，并與AB垂直. 接著直接探討線段之間的數(shù)量關系，即AP1與BP1、AP2與BP2、AP3與BP3之間的數(shù)量關系. 學生通過觀察，可以初步感知到它們的長度相等，即線段AB垂直平分線上的P1，P2，P3三點到點A和點B的距離相等.

2. 活動2：動手操作，推理驗證

“猜想驗證”環(huán)節(jié)是基于上述猜想進行的探究驗證，該環(huán)節(jié)要結合感性分析與理性推理，引導學生多角度論證，故可采用操作實踐、幾何證明兩種方式進行教學.

（1）操作驗證：測量、對折.

教學中，教師可引導學生用直尺分別測量AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3的長度，進而得出結論. 也可以沿直線l折疊線段AB，讓學生觀察AP1與BP1、AP2與BP2、AP3與BP3是否重合. 顯然，若兩兩重合，則表示它們分別相等.

（2）幾何證明：全等性質.

教師還可以引導學生通過判斷對應三角形全等的方法來完成證明. 假定線段AB的中點為C，以分析△AP1C和△BP1C為例，教師可引導學生證明這兩個三角形全等. 從已知出發(fā)，因為C是線段AB的中點，所以AC=BC. 因為直線l是線段AB的垂直平分線，所以∠P1CA=∠P1CB=90°，結合P1C=P1C，可得△AP1C≌△BP1C（SAS），進而可推出AP1=BP1.

顯然上述推理適用于點P1不在線段AB上的情形，即兩個三角形存在；而當點P1在線段AB上時，點P1與AB的中點C重合，顯然有AP1=BP1. 教學中，教師要注意培養(yǎng)學生的推理分析能力，讓他們養(yǎng)成嚴謹思考的習慣.

3. 活動3：語言描述，性質歸納

通常，幾何性質可以用文字語言和幾何語言來概括，故歸納性質時，教師要引導學生用這兩種語言來描述，以提升學生對性質的理解. 基于上述驗證，學生可得到如下結論.

幾何語言：如圖4所示，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l 上，則PA=PB.

文字語言：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

教學中，對于幾何結論，為了理解性質、定理，教師要引導學生根據(jù)幾何結論繪制對應的圖像，結合幾何條件提取幾何特征，由幾何結論分析幾何性質. 對于文字結論，教師要引導學生關注命題的“題設”與“結論”，對性質定理進行拆解，如對于線段垂直平分線的文字結論，教師可把它拆分成題設與結論，其中題設為一點在線段的垂直平分線上，結論為該點到這條線段兩個端點的距離相等. 對于該命題，教師還可以引導學生逆向思考，結合等腰三角形的“三線合一”來推導幾何結論.

4. 活動4：性質應用，知識強化

“知識應用”環(huán)節(jié)有助于強化對性質的理解，故問題設計既要立足于性質定理，又應注重問題變式，于是教師教學時可從兩大視角進行引導探究：一是利用逆定理作線段的垂線；二是利用性質定理證明推理.

預設問題1：如圖5所示，已知直線AB和直線AB外的一點C，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作直線AB的垂線，且垂線經(jīng)過點C.

問題引導：此問題已知直線垂線上的一點，為了得到垂線，需要知道垂線上另一點的位置，故可參考線段垂直平分線的逆定理，即找到直線AB上的兩點，且點C到這兩點的距離相等，再以這兩點構成的線段為底，作任意的等腰三角形. 等腰三角形的另外一個頂點就是所求的垂線上的另一點. 作圖痕跡如圖6所示.

預設問題2：如圖7所示，在△ABE中，D，C兩點均在BE上，且AD⊥BE，BD=DC. 若點C在AE的垂直平分線上，試分析AB，AC，CE之間的數(shù)量關系，以及AB+BD與DE之間的數(shù)量關系.

問題引導：由線段垂直平分線的性質定理可直接推出AC=EC，AB=AC，進而可得到AB=AC=CE. 對于AB+BD與DE之間的數(shù)量關系，可由等量代換得AB+BD=CE+CD=DE，即AB+BD= DE.

合理滲透思想，提升綜合素養(yǎng)

數(shù)學思想是解決問題的重要工具，在幾何定理教學中，教師同樣要重視數(shù)學思想的滲透. 在教學環(huán)節(jié)合理滲透數(shù)學思想，能讓學生逐步感知到數(shù)學思想，從而提升學科素養(yǎng). 教學“線段的垂直平分線的性質”時，教師需要重點滲透從特殊到一般、分類討論和數(shù)形結合三大思想.

以“線段的垂直平分線的性質”探究為例，在“推理驗證”環(huán)節(jié)，線段的垂直平分線上的點的選擇就可以滲透從特殊到一般的思想，即先設定“特殊性”的定點，再從“一般性”的角度來探索點的位置變化時的結論；在“推理驗證”環(huán)節(jié)可滲透分類討論思想，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，即對于線段垂直平分線上的點，可分點在線段上和點不在線段上兩種情形，然后分別構建模型進行推理驗證；在“知識應用”環(huán)節(jié)則可以滲透數(shù)形結合思想. 特別地，對于數(shù)學思想，教師在教學中還要注重解題思路的引導，以下面的問題為例：

如圖8所示，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點D，連接AD. 已知△ADC的周長為13 cm，AC=5 cm，試求BC的長度.

思想引導：引導時需要分兩個過程——以“形”釋“數(shù)”和由“數(shù)”照“形”，即結合圖形理解條件，把握圖形特征，挖掘幾何關系，再由代數(shù)推導結論.

在教學環(huán)節(jié)滲透數(shù)學思想，能為新知賦予“思想”特性，有助于學生感悟、理解定理，讓學生的思想進一步升華，從而提升綜合素養(yǎng). 不過，數(shù)學思想較為抽象，所以教師在教學中要把握其中的精髓，立足知識規(guī)律，利用數(shù)學思想指導探究，幫助學生積累探究經(jīng)驗.

總之，教學“線段的垂直平分線的性質”時，教師要把握知識核心，以知識探究的方式開展教學探討，且探究過程圍繞“距離相等”全方位構建幾何模型，多方式、多角度地進行論證展示. 教學中教師還要關注學生的思維活動，利用引導性問題推進教學，融合知識教學與素養(yǎng)培養(yǎng)，從而提升學生的綜合能力.