利用圖形旋轉(zhuǎn)求最值

陸青

［摘? 要］ 利用圖形旋轉(zhuǎn)可以巧妙地求線段長度的最值，求三條線段和的最值，求四邊形面積的最值. 等線段共點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)問題、四邊形中的等邊共點(diǎn)且對(duì)角互補(bǔ)或?yàn)槎ㄖ档榷际沁m合利用圖形旋轉(zhuǎn)解題的特征.

［關(guān)鍵詞］ 圖形旋轉(zhuǎn)；等邊共點(diǎn)；最值

利用圖形旋轉(zhuǎn)可以巧妙地解題，有些求最值的題型就適合利用圖形旋轉(zhuǎn)來求解，如求線段長度的最值，求四邊形面積的最值等，下面筆者通過舉例探討適合利用圖形旋轉(zhuǎn)解決的題型及求解方法.

題型1：求線段長度的最值

【方法1：利用等線段共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能夠重合的特性進(jìn)行圖形旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造折線段.】

例1如圖1所示，已知PA=2，PB=4，以AB為邊作正方形ABCD，連接PD，且P，D兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè)，當(dāng)∠APB變化時(shí)，求PD的最大值.

解析如圖2所示，將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AP′D，連接PP′，則DP≤DP′+P′P. 所以當(dāng)點(diǎn)P′在線段DP上時(shí)，PD取得最大值，且最大值為DP′+P′P的值. 因?yàn)镻′A=PA=2，∠PAP′=90°，所以P′P==2. 又DP′=BP=4，因此DP的最大值為4+2.

說明利用AB=AD，將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后線段AB能夠與線段AD重合，從而可以將已知條件轉(zhuǎn)化到△DP′P中，利用三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)求PD的最大值.

【方法2：利用動(dòng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前的路徑（或軌跡），判斷動(dòng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡.】

例2如圖3所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=2，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到AE，連接CE，則線段CE的最小值為_________.

解析如圖4所示，將△ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到△AC′B′，則點(diǎn)E在線段B′C′上運(yùn)動(dòng). 所以當(dāng)CE⊥B′C′時(shí)，CE的長最短. 此時(shí)CE∥AC′，=. 易知AC′=2，AB′=2，所以CB′=2-2. 因此CE的最小值為2-.

說明線段AE是由線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到的，又點(diǎn)D在線段CB上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)E也在線段上運(yùn)動(dòng)，且線段CB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到的線段C′B′就是點(diǎn)E的軌跡. 再利用點(diǎn)到直線的距離中垂線段最短即可求出最小值（旋轉(zhuǎn)線段AD時(shí)可以把△ACB跟著一起旋轉(zhuǎn)，這樣便于判斷點(diǎn)E的軌跡）.

例3? 如圖5所示，BD，AC為四邊形ABCD的對(duì)角線，CD=2，∠CAD=60°，∠CAB=90°，∠CBA=30°，則BD的最大值為_________.

解析如圖6所示，點(diǎn)A在以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，CB可看作由CA先繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，再擴(kuò)大2倍后得到的. 于是將△ACD和☉O先繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，再擴(kuò)大2倍后得到△BCD′和☉O′，則點(diǎn)B在☉O′上運(yùn)動(dòng)，且☉O′的半徑為. 連接O′C，O′B，O′D，則BD≤O′D+O′B. 所以當(dāng)點(diǎn)O′在線段BD上時(shí)，BD取得最大值. 因?yàn)椤螼CD=30°，∠O′CO=60°，所以∠O′CD=90°. 所以O(shè)′D==. 又O′B=，所以BD的最大值為.

說明∠CAD為定值，∠CAD所對(duì)的邊CD也為定值，因此點(diǎn)A的軌跡是以線段CD為弦、所對(duì)的圓周角為60°的圓弧. 線段CB是由線段CA先繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，再擴(kuò)大2倍后得到的，又因?yàn)辄c(diǎn)A的軌跡為圓弧，所以點(diǎn)B的軌跡也是圓弧. 利用點(diǎn)到圓的距離中過圓心最大即可求出最大值（線段CA旋轉(zhuǎn)并放大時(shí)，可以把△CAD及其外接圓弧一起跟著旋轉(zhuǎn)并放大，這樣便于判斷點(diǎn)B的軌跡）.

題型2：求三條線段之和的最值

【方法：利用含三條線段中兩條線段的三角形旋轉(zhuǎn)60°得到等邊三角形，將三條線段轉(zhuǎn)化為一條折線段.】

例4如圖7所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，P在△ACB內(nèi)部，且∠APC=120°，求AP+BP+CP的最小值.

解析如圖8所示，將△CPA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△CP′A′，連接PP′，A′B，則△PCP′是等邊三角形. 所以∠CP′P+∠CP′A′=180°. 所以P，P′，A′三點(diǎn)共線. 所以AP+BP+CP=BP+PA′≥BA′. 所以當(dāng)點(diǎn)P在線段BA′上時(shí)，AP+BP+CP取得最小值. 過點(diǎn)A′作A′E⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E，容易求得∠A′CE=30°，所以A′E=，CE=3，BE=7. 所以BA′==2. 因此AP+BP+CP的最小值為2.

說明將△CPA繞點(diǎn)C向△ABC外側(cè)旋轉(zhuǎn)60°（圖中為逆時(shí)針方向）后得到等邊三角形CPP′，于是將三條線段轉(zhuǎn)化為一條折線段，最后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”即可求出最小值. 本題由于P，P′，A′三點(diǎn)共線，所以利用三角形兩邊之和大于第三邊來求最小值（點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)）.

例5如圖9所示，矩形ABCD的邊AD上有一動(dòng)點(diǎn)F，矩形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E，AB=2，BC=4，求EF+EB+EC的最小值.

解析如圖10所示，將△CEB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△CE′B′，則當(dāng)B′，E′，E，F(xiàn)四點(diǎn)共線且B′F⊥AD時(shí)（如圖11所示），EF+EB+EC取得最小值，且最小值為2+2.

說明將△CEB（它由三條線段中的兩條線段與矩形的一邊構(gòu)成）繞點(diǎn)C向矩形ABCD外側(cè)旋轉(zhuǎn)60°（圖中為逆時(shí)針方向）后得到等邊三角形CEE′，將三條線段轉(zhuǎn)化為一條折線段，利用點(diǎn)到直線的距離中垂線段最短即可求出最小值.

題型3：求四邊形面積的最值

【方法1：利用四邊形有共點(diǎn)的等邊，且對(duì)角互補(bǔ)，把求四邊形面積的最值轉(zhuǎn)化為求三角形面積的最值.】

例6如圖12所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°. 若AC=2，則四邊形ABCD的面積的最大值為______.

解析如圖13所示，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△ABC′，則C′，B，C三點(diǎn)共線，四邊形ABCD的面積等于△ACC′的面積. 因?yàn)椤鰽CC′的邊AC′上的高h(yuǎn)≤AC，所以S=·AC′·h≤·AC′·AC. 又AC′=AC=2，所以△ACC′的面積的最大值為2. 所以四邊形ABCD的面積的最大值為2.

說明利用AB=AD，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△ADC，使旋轉(zhuǎn)后AD與AB重合，并利用∠B+∠D=180°，得到C′，B，C三點(diǎn)共線，于是把求四邊形ABCD的面積的最大值轉(zhuǎn)化為求△ACC′的面積的最大值.

【方法2：利用四邊形有共點(diǎn)的等邊，且對(duì)角為定值，把求四邊形面積的最值轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)三角形面積之差的最值.】

例7如圖14所示，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=60°，∠ADC=60°，BD=3，則四邊形ABCD的面積的最小值為_________.

解析如圖15所示，將△DAB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△DCB′，連接BB′，則△DBB′為等邊三角形，且面積為，∠BCB′=120°. 所以點(diǎn)C在以BB′為弦，且所對(duì)的圓周角為120°的圓弧上運(yùn)動(dòng). 所以S=S+S=S-S. 所以當(dāng)△CBB′的面積最大時(shí)，四邊形ABCD的面積最小. 此時(shí)△CBB′為等腰三角形，面積為. 所以四邊形ABCD的面積的最小值為.

說明利用AD=CD，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DAB，使旋轉(zhuǎn)后DA與DC重合，再利用∠BCB′=120°為定值，得到點(diǎn)C的軌跡為圓弧，把求四邊形ABCD的面積的最小值轉(zhuǎn)化為求△DBB′與△CBB′面積之差的最小值.

求線段長度的最值，可利用共點(diǎn)的等線段，通過旋轉(zhuǎn)圖形構(gòu)造折線；求三條線段之和的最值，可通過旋轉(zhuǎn)圖形60°，利用等邊三角形將三條線段轉(zhuǎn)化為一條折線段；求四邊形面積的最值，可利用共點(diǎn)的等邊且對(duì)角互補(bǔ)或?yàn)槎ㄖ敌D(zhuǎn)圖形，把求四邊形面積的最值轉(zhuǎn)化為求三角形面積的最值，或轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)三角形面積之差的最值.