錯中探因 錯中求進
——對一道數學練習錯因的分析與思考

湖北省隨州市曾都區(qū)第一中學 (441300)

樂和順

數學教師對學生做錯的題目進行認真分析，找到錯誤的原因，幫助學生彌補存在的知識缺陷，督促學生理解掌握數學基本概念、基本方法，積累基本活動經驗，逐步提高學生應用知識分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)，這是數學教學活動的主要方式之一.本文就學生在學習教材中的一道例題時的出錯展開了分析和思考.

圖1

引例(人教社2019版高中數學必修第一冊238頁例2)摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖1，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min.

(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；

(2)求游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度；

(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關于t的函數解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1).

此題(1)中函數解析式的求解，以下幾種錯誤結果出現的頻率較高：

一、錯因分析

此題第(1)問“H關于t的函數解析式”的求解有較多學生出錯，分析其錯誤原因，主要有下面兩點：

一是學生不會數學建模，不能從實際問題情境中抽象出數學問題的本質.

本例實質上就是求圓周上某點的縱坐標，所以模型應用y=Asin(ωx+φ)+k的形式，而不用y=Acos(ωx+φ)+k.

二是學生對角的概念以及三角函數的定義沒有理解清楚.

①人教社2019版高中數學A版的角的概念：我們通常在直角坐標系內討論角.為了方便，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.

②人教社2019版高中數學A版的三角函數的概念：一般地，任意給定一個角α∈R，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的.所以，點P的橫坐標x、縱坐標y都是角α的函數.下面給出這些函數的定義.

設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).

(1)把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數，記作sinα，即y=sinα；

(2)把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數，記作cosα，即x=cosα.

解題分析：摩天輪上的座艙運動可以近似地看作是質點在圓周上做勻速旋轉.在旋轉過程中，游客距離地面的高度H呈現周而復始的變化，因此可以考慮用三角函數來刻畫.

圖2

解：如圖2，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系.

(3)略.

一般地，由于高中數學教學時間緊，學習內容多，很多學生不重視對做錯題目的認真分析，以致同類題一錯再錯.所以教師教學中要重視對學生錯題的原因分析，引導學生認真分析出錯的原因，然后針對性地采取相應補救措施.

圖3

以2秒一周的速度繞點O在圓周上按逆時針方向作勻速圓周運動(這里的角均指逆時針旋轉角).

(1)求t秒鐘后，點P到直線l的距離用y=f(t)(t≥0)的解析式；

二、教學思考

教師日常教學中要重視問題情境的創(chuàng)設，引導學生積極參入教學過程，關注知識的發(fā)生發(fā)展，重視數學基本對象的抽象與概括，指導學生弄清楚數學對象的構成要素，理解數學方法的實質，切實掌握好數學基本概念、基本方法、基本技能，積累基本活動經驗.作為教師，我們平常的數學教學應把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，加強學生的學法指導，幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣，樂學善學.

教師要重視并督促學生對錯題進行認真分析，找到錯因，指導學生彌補知識、方法缺陷，舉一反三，提升分析問題、解決問題的能力.同時，要有計劃地對學困生做好個別輔導，幫助他們逐步解決學習上遇到的問題，增強其學習信心.特別是教師在課堂教學中應克服輕概念、重刷題的傾向，真正將“雙基”落到實處，重視基本概念的學習，力求理解和把握概念的本質.