OFDM系統(tǒng)中基于子空間加權(quán)的時(shí)延估計(jì)算法

蘇 佳，李 銘，侯艷麗

(河北科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北石家莊 050018)

正交頻分復(fù)用(OFDM)技術(shù)因其具有復(fù)雜度低、頻譜效率高以及抗多徑干擾等特點(diǎn)，近年來廣泛應(yīng)用于移動(dòng)通信系統(tǒng)、全球互聯(lián)微波接入、無線局域網(wǎng)絡(luò)、衛(wèi)星通信系統(tǒng)以及測距系統(tǒng)[1-5]。在一些軍用或民用領(lǐng)域中，人們對(duì)實(shí)現(xiàn)精確測距的要求越來越多，尤其是在地下或室內(nèi)場景中。OFDM測距系統(tǒng)具有精度高、實(shí)時(shí)性好、抗信道衰落等優(yōu)點(diǎn)，成為無線測距定位領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。在OFDM測距系統(tǒng)中，時(shí)延估計(jì)是完成精確測距的關(guān)鍵技術(shù)。因此，關(guān)于OFDM系統(tǒng)中的高精度時(shí)延估計(jì)算法的研究具有極大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

傳統(tǒng)的時(shí)延估計(jì)算法原理比較簡單，然而受多徑效應(yīng)和系統(tǒng)帶寬等因素的影響，算法的時(shí)延估計(jì)性能不夠理想[6]。為了獲得高精度的時(shí)延估計(jì)，研究人員提出將超分辨率算法用于OFDM系統(tǒng)的時(shí)延估計(jì)中，主要包括：多重信號(hào)分類(MUSIC)算法[7-10]、求根MUSIC算法[11-12]、PM(propagator method)傳播算子算法[13-14]和旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號(hào)參數(shù)(estimation of signal parameters via rotational invariance technique,ESPRIT)算法[15-17]等。文獻(xiàn)[18]提出了將MUSIC算法用于OFDM系統(tǒng)中，來實(shí)現(xiàn)時(shí)延估計(jì)。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[19]提出了利用PM算子進(jìn)行OFDM系統(tǒng)的時(shí)延估計(jì)，降低了算法的復(fù)雜度，但在低信噪比條件下時(shí)延估計(jì)性能較差。文獻(xiàn)[20]通過將PM算子與求根MUSIC算法結(jié)合起來，無需特征值分解，同時(shí)，可以通過多項(xiàng)式求根得到時(shí)延估計(jì)值代替復(fù)雜的譜峰搜索過程來降低復(fù)雜度，但是，低信噪比條件下算法的性能有所下降。

基于此，為了提高低信噪比條件下OFDM系統(tǒng)的時(shí)延估計(jì)性能，提出一種基于子空間加權(quán)的時(shí)延估計(jì)算法。算法通過對(duì)噪聲子空間和信號(hào)子空間加權(quán)來構(gòu)造偽譜，進(jìn)行譜峰搜索得到時(shí)延估計(jì)值，通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證所提算法的性能。

1 系統(tǒng)模型

有N個(gè)正交子載波的OFDM信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式為

(1)

式中：bk表示OFDM信號(hào)的第k個(gè)子載波上調(diào)制的復(fù)信號(hào)；f0+k/T,k=0,1,…,(N-1)表示第k個(gè)子載波的頻率；T為OFDM符號(hào)長度；TG為循環(huán)前綴的長度。

多徑條件下的信道模型為

(2)

式中：用Lp表示信道的多徑個(gè)數(shù)；ai和τi分別對(duì)應(yīng)第i條路徑的復(fù)衰落系數(shù)和傳播時(shí)延，τ0為首徑的時(shí)延。

經(jīng)過信道后的OFDM信號(hào)y(t)為

(3)

式中：nk(t)為第k個(gè)子載波上均值為0、方差為σ2的加性復(fù)高斯白噪聲。

y(t)經(jīng)過FFT變換后，第k個(gè)子載波上的接收數(shù)據(jù)為

(4)

因此，第k個(gè)子載波上的信道頻域響應(yīng)估計(jì)可以表示為

(5)

式中：Hk為真實(shí)頻域信道沖擊響應(yīng)。

將上式寫成向量形式為

(6)

其中，V為子載波流形矩陣。

(7)

信道頻域響應(yīng)估計(jì)的協(xié)方差矩陣Rxx為

(8)

其中，Raa=E{aaH}。對(duì)Rxx進(jìn)行特征值分解得：

(9)

研究分析表明，Rxx的特征值具有如下分布[7]，

λ0≥λ1≥…≥λLp-1=λLp=…=λN-1=σ2。

(10)

式(9)中：ΛS由前Lp個(gè)較大的特征值組成，ΛS=diag[λ0,λ1,…,λLp-1]；ΛN由后N-Lp個(gè)較小的特征值組成，ΛN=diag[λLp,λLp+1,…,λN-1]。

信號(hào)子空間US=[u0,u1,…,uLp-1]由前Lp個(gè)較大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成；噪聲子空間UN=[uLp,uLp+1,…,uN-1]由后N-Lp個(gè)較小的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成。

信號(hào)子空間US、噪聲子空間UN和流形矩陣V的關(guān)系如下[7]：

span(V)=span(US)，

(11)

span(US)⊥span(UN)。

(12)

2 基于子空間加權(quán)的MUSIC時(shí)延估計(jì)

2.1 傳統(tǒng)MUSIC算法

傳統(tǒng)的MUSIC算法[8]的偽譜函數(shù)定義為

(13)

偽譜PMUSIC會(huì)在時(shí)延處形成尖銳的譜峰值，而在其他地方的譜值相對(duì)較小，譜峰搜索得到的第1個(gè)峰值對(duì)應(yīng)的τ值即為首徑的時(shí)延估計(jì)值。

進(jìn)行OFDM信號(hào)的時(shí)延估計(jì)，首先需要獲得信道頻域響應(yīng)估計(jì)的協(xié)方差矩陣Rxx，然后對(duì)其特征分解，基于式(13)進(jìn)行譜峰搜索得到時(shí)延估計(jì)值。實(shí)際應(yīng)用中Rxx通常用K次快拍數(shù)據(jù)來估計(jì)：

(14)

2.2 基于子空間加權(quán)的MUSIC算法

在理想條件下，信號(hào)子空間和噪聲子空間相互正交，首徑處時(shí)延峰值明顯，進(jìn)行譜峰搜索可得到時(shí)延估計(jì)值。然而在小快拍數(shù)或低信噪比的實(shí)際條件下，估計(jì)的協(xié)方差矩陣會(huì)與理想條件下存在一定的偏差，造成信號(hào)子空間US和噪聲子空間UN并不能完全正交，首徑與第2徑的譜峰容易發(fā)生混疊現(xiàn)象，時(shí)延處譜峰不夠明顯，譜峰搜索存在誤差，導(dǎo)致MUSIC算法的估計(jì)性能下降。針對(duì)低信噪比條件下OFDM系統(tǒng)利用MUSIC算法進(jìn)行時(shí)延估計(jì)時(shí)算法性能下降的問題，提出一種基于子空間加權(quán)的MUSIC算法——WMUSIC算法。

2.2.1 WMUSIC算法描述

該算法主要包括2部分：對(duì)噪聲子空間進(jìn)行加權(quán)和對(duì)信號(hào)子空間加權(quán)。算法的具體描述如下。

1)噪聲子空間加權(quán)

(15)

式中：n為加權(quán)指數(shù)，uLp,uLp+1,…,uN-1為噪聲子空間中的特征向量；λLp,λLp+1,…,λN-1為噪聲特征值。則GλGλH可以表示為

(16)

(17)

在信噪比較低的非理想情況下，可以通過選取合適的加權(quán)指數(shù)n來調(diào)節(jié)其相對(duì)應(yīng)的噪聲特征向量對(duì)偽譜函數(shù)的作用大小，進(jìn)而最大程度上減小GλGλH的值，即起到抑制噪聲的作用。研究表明，當(dāng)0<|n|≤1時(shí)，噪聲子空間加權(quán)后的MUSIC算法性能較好[21-22]。

2)信號(hào)子空間加權(quán)

通過對(duì)噪聲子空間加權(quán)在一定程度上提高了算法的時(shí)延估計(jì)性能，為進(jìn)一步提升算法的穩(wěn)健性，考慮充分利用信號(hào)子空間的信息。通過信號(hào)特征值的倒數(shù)對(duì)信號(hào)子空間加權(quán)，將削弱最大特征值對(duì)應(yīng)的時(shí)延處峰值，同時(shí)加強(qiáng)其他路徑時(shí)延的峰值，從而加深首徑和第2徑之間的“凹陷”程度，提高多徑時(shí)延的分辨能力。

信號(hào)子空間的加權(quán)值為

(18)

則信號(hào)子空間的偽譜函數(shù)為

(19)

將式(19)與式(17)相結(jié)合，得到WMUSIC算法偽譜函數(shù)為

(20)

2.2.2 WMUSIC算法步驟

WMUSIC算法的具體步驟可歸納如下：

步驟1 通過K次信道估計(jì)獲得K個(gè)快拍數(shù)據(jù)，利用式(14)得到協(xié)方差矩陣Rxx；

步驟2 對(duì)Rxx進(jìn)行特征值分解，利用式(9)得到US，UN，ΛS和ΛN；

步驟3 利用式(15)對(duì)噪聲子空間加權(quán)，通過噪聲特征值的冪級(jí)數(shù)對(duì)其相對(duì)應(yīng)的特征向量加權(quán)得到Gλ；

步驟4 利用式(18)得到信號(hào)子空間的加權(quán)值W，并對(duì)信號(hào)子空間加權(quán)；

步驟5 基于式(20)得到PWMUSIC，進(jìn)行譜峰搜索得到時(shí)延。

2.3 復(fù)雜度分析

表1 2種算法的復(fù)雜度對(duì)比Tab.1 Comparing the complexity of the two algorithms

MUSIC算法和WMUSIC算法的計(jì)算復(fù)雜度主要體現(xiàn)在協(xié)方差矩陣的構(gòu)造、特征分解和譜峰搜索3個(gè)部分。2種算法的復(fù)雜度對(duì)比如表1所示。其中，N為子載波個(gè)數(shù)，K為快拍數(shù)，Wt為時(shí)延搜索網(wǎng)格數(shù)。由表1可知，2種算法的復(fù)雜度相當(dāng)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 參數(shù)設(shè)置

在MATLAB環(huán)境下，對(duì)OFDM系統(tǒng)進(jìn)行建模，并對(duì)所提算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。采用16QAM調(diào)制方式，設(shè)置子載波數(shù)N=512，循環(huán)前綴長度為128，OFDM符號(hào)長度T=6.67 μs，載波頻率f0=2 GHz，設(shè)置加權(quán)指數(shù)n=1。

采用均方根誤差(root mean square error，RMSE)來對(duì)算法的性能進(jìn)行評(píng)估，其定義為

(21)

3.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果分析

圖1 兩徑條件下2種算法的偽譜Fig.1 Pseudo spectrum of two algorithms with two paths

實(shí)驗(yàn)1 設(shè)置2條路徑，時(shí)延設(shè)置為150 ns和180 ns，復(fù)衰落系數(shù)為1和0.5，快拍數(shù)為512。在信噪比為-5 dB時(shí)，分別采用MUSIC算法和WMUSIC算法進(jìn)行OFDM系統(tǒng)的時(shí)延估計(jì)，得到2種算法的偽譜曲線局部放大圖，如圖1所示。從圖1可以看出，當(dāng)信噪比為-5 dB時(shí)，MUSIC算法的偽譜譜峰產(chǎn)生混疊，不能有效區(qū)分兩徑，譜峰搜索得到的峰值偏離真實(shí)的時(shí)延，因此無法得到準(zhǔn)確的時(shí)延估計(jì)值；而WMUSIC算法能夠準(zhǔn)確區(qū)分兩徑，在150 ns和180 ns處均具有明顯峰值，可以通過譜峰搜索得到較為準(zhǔn)確的時(shí)延估計(jì)值。這是由于WMUSIC算法通過噪聲子空間加權(quán)抑制噪聲，同時(shí)利用信號(hào)特征值倒數(shù)對(duì)信號(hào)子空間加權(quán)增加了兩徑之間的“凹陷”程度，有效解決了MUSIC算法存在譜峰混疊的問題。

圖2 兩徑條件下2種算法的RMSEFig.2 RMSE of two algorithms with two paths

實(shí)驗(yàn)2 實(shí)驗(yàn)條件同實(shí)驗(yàn)1，設(shè)置信噪比范圍為-8～16 dB，Monte Carlo仿真次數(shù)M=200，分別采用MUSIC算法和WMUSIC算法進(jìn)行OFDM系統(tǒng)的時(shí)延估計(jì)，2種算法的首徑時(shí)延均方根誤差曲線如圖2所示。由圖2可知，隨著信噪比的增加，2種算法的時(shí)延估計(jì)性能均有所提升。這是因?yàn)殡S著信噪比的增加，噪聲對(duì)時(shí)延估計(jì)性能的影響逐漸降低，因此均方根誤差隨之減小。同時(shí)WMUSIC算法的性能明顯優(yōu)于MUSIC算法，且信噪比越低，WMUSIC算法的改善效果越明顯。在信噪比為-8 dB時(shí)，WMUSIC算法的時(shí)延估計(jì)均方根誤差為2.16 ns，估計(jì)精度相較于MUSIC算法提高了71.46%。

實(shí)驗(yàn)3 設(shè)置3條路徑，時(shí)延分別為140，180和220 ns，復(fù)衰落系數(shù)為1，0.6和0.4，快拍數(shù)為512，在信噪比為-8～16 dB時(shí)，分別采用MUSIC算法和WMUSIC算法進(jìn)行OFDM系統(tǒng)的時(shí)延估計(jì)，進(jìn)行200次Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)得到的首徑時(shí)延均方根誤差如圖3所示。由圖3可以看出，3條路徑時(shí)，2種算法的時(shí)延估計(jì)性能均隨著信噪比的增加而提高，WMUSIC算法的時(shí)延估計(jì)精度更高。在信噪比為-8 dB時(shí)，WMUSIC算法相較于MUSIC算法的時(shí)延估計(jì)精度提高了19.48%。

由實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3的仿真結(jié)果可以看出，與MUSIC算法相比，WMUSIC算法通過子空間加權(quán)處理，改善了信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交性，可以通過譜峰搜索得到較為準(zhǔn)確的首徑時(shí)延估計(jì)值，減小了時(shí)延估計(jì)誤差，提高了時(shí)延估計(jì)精度。

圖3 三徑條件下2種算法的RMSE Fig.3 RMSE of two algorithms with three paths

實(shí)驗(yàn)4 設(shè)置信噪比為-5 dB，快拍數(shù)為512∶256∶2 048，其他實(shí)驗(yàn)條件同實(shí)驗(yàn)3。采用MUSIC算法和WMUSIC算法分別進(jìn)行OFDM系統(tǒng)的時(shí)延估計(jì)，得到時(shí)延估計(jì)均方根誤差隨快拍數(shù)的變化曲線如圖4所示。從圖4中可以看出，在信噪比相同的情況下，2種算法的時(shí)延估計(jì)精度均會(huì)隨著快拍數(shù)的增加而提高，WMUSIC算法的時(shí)延估計(jì)均方根誤差明顯低于MUSIC算法，時(shí)延估計(jì)性能更優(yōu)。所提算法相較于MUSIC算法在快拍數(shù)為512條件下，時(shí)延估計(jì)均方根誤差由5.47 ns降為4.29 ns；在快拍數(shù)為2 048條件下，時(shí)延估計(jì)均方根誤差由4.51 ns降為3.27 ns。說明通過對(duì)偽譜的修正，所提算法在不同快拍條件下均可以獲得較為準(zhǔn)確的首徑峰值，具有更好的時(shí)延估計(jì)精度，驗(yàn)證了所提算法的有效性。

4 結(jié) 語

圖4 不同快拍條件下2種算法的RMSE Fig.4 RMSE of two algorithms with different snapshots

為了解決在低信噪比情況下，OFDM系統(tǒng)在利用MUSIC算法進(jìn)行時(shí)延估計(jì)過程中性能下降的問題，在MUSIC算法基礎(chǔ)上，提出了一種基于子空間加權(quán)的時(shí)延估計(jì)算法——WMUSIC算法。該算法通過噪聲特征值的冪級(jí)數(shù)對(duì)噪聲子空間進(jìn)行加權(quán)；同時(shí)利用信號(hào)特征值的倒數(shù)對(duì)信號(hào)子空間加權(quán)，實(shí)現(xiàn)對(duì)MUSIC算法偽譜的修正。仿真結(jié)果表明，在低信噪比情況下，與MUSIC算法相比，WMUSIC算法在不同路徑數(shù)以及不同快拍條件下均能夠通過譜峰搜索得到較為準(zhǔn)確的時(shí)延估計(jì)值，具有更高的時(shí)延估計(jì)精度。所提算法在一定程度上解決了MUSIC算法在低信噪比條件下由于信號(hào)子空間和噪聲子空間不完全正交，導(dǎo)致譜峰搜索存在誤差、時(shí)延估計(jì)性能下降的問題，有效提高了時(shí)延估計(jì)的精度，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

本文算法和MUSIC算法一樣需要通過特征值分解和譜峰搜索過程獲得時(shí)延估計(jì)值，沒有改善計(jì)算復(fù)雜度，未來將考慮在保證時(shí)延估計(jì)精度的基礎(chǔ)上降低算法復(fù)雜度，研究出一種適應(yīng)實(shí)時(shí)計(jì)算要求的算法。