巧借兩點距離公式 妙解空間應(yīng)用問題*

?江蘇省蘇州實驗中學(xué)

錢 寧

1 線段的長度問題

線段的長度問題往往可以直接轉(zhuǎn)化為空間兩點間的距離問題，利用對應(yīng)的距離來進(jìn)一步分析與應(yīng)用.

例1在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1，2，-1)，點C與點A關(guān)于平面xOy對稱，點B與點A關(guān)于x軸對稱，則|BC|的值為( ).

分析：先根據(jù)條件中的軸對稱、面對稱來確定相應(yīng)點的坐標(biāo)，再利用空間中兩點間的距離公式直接求解即可.

點評：空間中兩點間的距離公式除了可直接求解對應(yīng)線段的長度外，還可以間接用來確定平面幾何圖形的邊長、形狀等相關(guān)問題，此時直接利用空間兩點間的距離公式轉(zhuǎn)化是最基本、最有效的方法.

2 坐標(biāo)的求解問題

坐標(biāo)的求解問題往往直接轉(zhuǎn)化為空間中兩點間的距離問題，利用已知的距離通過相應(yīng)的方程來求解對應(yīng)的坐標(biāo).

例2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A(4，5，6)，B(-5，0，10)，在z軸上有一點P，使|PA|=|PB|，則點P的坐標(biāo)是______.

分析：根據(jù)條件設(shè)點P(0，0，z)，由|PA|=|PB|結(jié)合空間兩點間的距離公式建立關(guān)系式，通過解方程來確定參數(shù)z的值，進(jìn)而確定點P的坐標(biāo).

解析：設(shè)點P(0，0，z)，則由|PA|=|PB|，可得

解得z=6，即點P的坐標(biāo)是(0，0，6).

故填答案：(0，0，6).

點評：在空間直角坐標(biāo)系中，往往先設(shè)出相應(yīng)點的坐標(biāo)，再利用題設(shè)條件建立相關(guān)式子，進(jìn)而確定對應(yīng)的坐標(biāo).這是解決坐標(biāo)的求解問題比較常見的一種思維方式.

3 參數(shù)的確定問題

利用空間兩點間的距離公式可以解決對應(yīng)的參數(shù)問題，涉及相應(yīng)點的某個坐標(biāo)參數(shù)、比值等.此類問題的求解往往結(jié)合空間兩點間的距離公式確定相應(yīng)的參數(shù)值.

A.-3或4B.6或2C.3或-4D.6或-2

分析：根據(jù)空間兩點間的距離公式建立關(guān)于x的二次方程即可確定參數(shù)x的值.

解析：根據(jù)空間兩點間的距離公式，得

整理得(x-2)2=16，解得x=6或-2.

故選：D.

點評：在空間直角坐標(biāo)系中，兩點間的距離公式中包含七個量，即兩個點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)，以及對應(yīng)的距離.已知其中六個量就可以求出剩下的一個量.

4 距離的最值問題

距離的最值問題往往通過空間兩點間的距離公式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)求解對應(yīng)的距離的最值.

例4在空間直角坐標(biāo)系中，試在xOy平面內(nèi)的直線x+y=1上確定一點M，使它到點N(6，5，1)的距離最小，此時點M的坐標(biāo)為______.

分析：根據(jù)條件設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用空間兩點間的距離公式表示|MN|，通過配方法結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可確定最值.

解析：由點M在直線x+y=1(xOy平面內(nèi))上，可設(shè)M(x，1-x，0)，那么

點評：由于空間兩點間的距離公式中的坐標(biāo)都帶有平方，因此，利用距離公式求最值問題時，往往要通過轉(zhuǎn)化，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以分析與求解.

5 軌跡的方程問題

軌跡的方程問題往往通過假設(shè)相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用空間兩點間的距離公式建立相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解相關(guān)方程.

點評：此類問題建立在空間兩點間的距離公式的基礎(chǔ)上，通過公式的轉(zhuǎn)化來確定相應(yīng)的軌跡.平面直角坐標(biāo)系下的很多方法可以推廣到空間直角坐標(biāo)系中，點的軌跡的求法就是一個典型的推廣.

6 知識的綜合問題

空間中點、線、角等相關(guān)的綜合問題往往通過空間直角坐標(biāo)系的建立，結(jié)合空間兩點間的距離公式的應(yīng)用來解決.

圖1

例6如圖1，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

(1)若點P在線段BD1上，且滿足3|BP|=|BD1|，試寫出點P的坐標(biāo)，并寫出P關(guān)于y軸的對稱點P′的坐標(biāo)；

(2)在線段C1D上找一點M，使點M到點P的距離最小，求出點M的坐標(biāo).

分析：(1)根據(jù)點P在線段BD1上，且滿足3|BP|=|BD1|確定點P的坐標(biāo)，再結(jié)合對稱性確定點P′的坐標(biāo)；(2)根據(jù)空間兩點間的距離公式確定|MP|的關(guān)系式，通過二次函數(shù)的配方，并結(jié)合相應(yīng)的圖象與性質(zhì)確定最值.

點評：解決此類空間的綜合問題，首先是建立合適的空間直角坐標(biāo)系并列出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用點的位置，結(jié)合中點坐標(biāo)公式、距離公式，以及點的對稱等性質(zhì)來解決相應(yīng)的綜合問題.

7 結(jié)束語

空間兩點間的距離公式作為一種工具，其應(yīng)用非常廣泛，不僅只局限于此.隨著學(xué)習(xí)的深入，我們會越來越深刻地體會到，只要是空間直角坐標(biāo)系中的相關(guān)問題，大都有空間兩點間的距離公式的影子存在，它是解決空間直角坐標(biāo)系中問題的一個有力工具.