例談含參數(shù)問(wèn)題的運(yùn)算優(yōu)化策略*

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沈 輝

1 引言

含參數(shù)問(wèn)題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值和分類(lèi)討論思想，是高考、模擬考試中重要考點(diǎn).如果方法選擇不當(dāng)，計(jì)算起來(lái)會(huì)比較復(fù)雜，甚至做不下去，或出現(xiàn)遺漏等情況.本文主要談?wù)剮讉€(gè)含參數(shù)問(wèn)題如何回避討論，或降低討論難度的方法.

2 運(yùn)算優(yōu)化策略

2.1 特殊值法——局部縮小

綜上得，a=e.

點(diǎn)評(píng)：如果由f′(x)的表達(dá)式研究函數(shù)的單調(diào)性討論其最小值,則需分①2a≤1,②1<2a

例2(2008年江蘇高考卷第14題)f(x)=ax3-3x+1對(duì)于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立，則a=.

解析：由f(1)=a-2≥0，f(-1)=-a+4≥0，解得2≤a≤4.

故a=4.

點(diǎn)評(píng)：本題若化為fmin(x)≥0,但在求f(x)的最小值時(shí)需要對(duì)a分大于、等于、小于0三種情況討論，計(jì)算繁瑣，小題大做.利用上述特值限定參數(shù)范圍,則無(wú)需討論,簡(jiǎn)潔明快.

2.2 參變分離——避免討論

方程有解(函數(shù)存在零點(diǎn))、不等式恒成立、不等式存在性等含參數(shù)問(wèn)題，很多情形下可以把參數(shù)和變量分離，將式子變成其中一邊不含參數(shù)的形式，從而避免討論.

例4(2014年江蘇卷第19題第Ⅱ問(wèn))已知函數(shù)f(x)=ex+e-x,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：由mf(x)≤e-x+m-1，得m(ex+e-x-1)≤e-x-1.

因?yàn)閑x+e-x-1≥2-1>0，所以

評(píng)注:上述例3、例4兩題分別是含參數(shù)的方程有解問(wèn)題和不等式恒成立問(wèn)題,采用參變量分離法,避免了分類(lèi)討論.

2.3 轉(zhuǎn)換視角——選擇主元

例5(2012年浙江理第22題第Ⅱ問(wèn))已知a>0,b∈R，函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.

證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)+|2a-b|+a≥0.

分析：要證f(x)+|2a-b|+a≥0，即證4ax3-2bx+b+|2a-b|≥0.注意到不等式左邊含有x，a，b三個(gè)字母，如果把它們看成地位相當(dāng)?shù)娜齻€(gè)變量,幾乎無(wú)處發(fā)力，很難展開(kāi)研究.所以需要根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特征，人為劃分主從地位，選擇適當(dāng)變量作為主元.本題如果將x看作主元，字母a，b當(dāng)作參數(shù)，則不等式左邊是一個(gè)關(guān)于x的三次函數(shù)，研究起來(lái)較繁.換一個(gè)研究視角,將字母b看作主元，這樣不等式左邊就是一個(gè)關(guān)于b的一次分段函數(shù)，且每段的單調(diào)性很容易得出.選擇字母a為主元，雖然也是一次分段函數(shù)，但每段的單調(diào)性還需討論.

又a>0,故gmin(b)≥0，即4ax3-2bx+b+|2a-b|≥0得證.

例6( 2014年江蘇蘇北四市二模15)設(shè)函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R).若不等式f(x)+f(-x)≥mt+m對(duì)任意的x∈R,t∈[-2,1]恒成立, 求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：本題含有x，m，t三個(gè)字母，如果視三個(gè)字母地位相等，平均使用力氣，則無(wú)助于解決問(wèn)題.讀題后發(fā)現(xiàn)，可以先把x看成變量，m，t看成常量，逐個(gè)擊破.

解：設(shè)g(x)=f(x)+f(-x)=log4(4x+4-x+2)≥log44=1，則由題意得mt+m≤gmin(x)=1.

所以，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“mt+m≤1 對(duì)?t∈[-2,1]恒成立，求m的取值范圍”.這時(shí)，就可以把t看成變量，把m看成參數(shù)，則把mt+m≤1看成關(guān)于變量t的一次函數(shù)(m≠0時(shí)) .

評(píng)注:解答上述一類(lèi)含多個(gè)參數(shù)的問(wèn)題,關(guān)鍵是對(duì)變量和參數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)換.而變量和參數(shù)是相對(duì)的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換，需依次進(jìn)行，逐次變化，體現(xiàn)了事物是聯(lián)系、變化、發(fā)展的辯證觀.

2.4 整體思想——消元減參

有些含多個(gè)參數(shù)的分類(lèi)討論問(wèn)題，如果是從局部出發(fā)，看成是幾個(gè)不相干的變量來(lái)處理，則難以奏效或計(jì)算冗繁.因此，需要調(diào)整視角，把一些關(guān)于多個(gè)變量的代數(shù)式作為一個(gè)有機(jī)整體，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面深刻地分析改造，找到解決問(wèn)題的途徑和辦法.

分析：根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，可以得到a,b,c之間滿(mǎn)足一些不等關(guān)系，利用這些不等關(guān)系，逐步縮小，最后化成一元問(wèn)題解決.

2.5 數(shù)形結(jié)合——形象直觀

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.在含參數(shù)問(wèn)題的處理中，如果從“數(shù)”的角度解答困難，不妨轉(zhuǎn)換角度，從“形”入手，根據(jù)數(shù)的幾何意義，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合的思想往往能起到重要的作用，便于解答.

例8(2014年天津第14題)已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|，x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.

解析1：顯然a>0.

如圖1，當(dāng)y=-a(x-1)與y=-x2-3x相切時(shí)，a=1，此時(shí)f(x)-a|x-1|=0恰有3個(gè)互異的實(shí)數(shù)根.

圖1

圖2

如圖2,當(dāng)直線(xiàn)y=a(x-1)與函數(shù)y=x2+3x相切時(shí)，a=9，此時(shí)f(x)-a|x-1|=0恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)根.

結(jié)合圖象可知，a的取值范圍是(0,1)∪(9,+∞).

圖3

3 結(jié)語(yǔ)

含參的數(shù)學(xué)問(wèn)題是高中各級(jí)各類(lèi)考試中常見(jiàn)的題型，解決的通法是對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論.但有時(shí)候通過(guò)分類(lèi)討論去解決，情況多，計(jì)算量大，學(xué)生解答思維混亂，容易卡殼或算錯(cuò).上面探討了幾種轉(zhuǎn)化方法優(yōu)化運(yùn)算解決參數(shù)問(wèn)題的策略.因此，在讓學(xué)生掌握通性通法的基礎(chǔ)上，還要教會(huì)學(xué)生根據(jù)不同的條件具體分析，充分理解參數(shù)的意義及參數(shù)與主元的關(guān)系，對(duì)癥下藥，找出靈活有效的解決辦法.