以“高考母題”為驅(qū)動(dòng) 提高數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)效率

?江蘇省常熟市海虞中學(xué)

石雨茹

1 引言

高三一輪復(fù)習(xí)的目標(biāo)是通過(guò)有限時(shí)間有所側(cè)重地幫助學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí)，讓整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化和螺旋式地整合與提升.如何提高一輪復(fù)習(xí)的質(zhì)量，讓復(fù)習(xí)效率最大化是每個(gè)高三數(shù)學(xué)教師必須面對(duì)，且始終密切關(guān)注的問(wèn)題.為了讓一輪復(fù)習(xí)達(dá)到既夯實(shí)基礎(chǔ)，又提升能力的目的，筆者認(rèn)為，以課本例題為素材，巧妙改造為高考母題進(jìn)行針對(duì)性地強(qiáng)化訓(xùn)練，可以達(dá)到鞏固記憶、啟迪思維、形成能力和提高素養(yǎng)的多重效能.

2 對(duì)“高考母題”的解讀

所謂的“高考母題”，可以是教材中的一些典型例習(xí)題，也可以是這些例習(xí)題的變形，它對(duì)應(yīng)高中數(shù)學(xué)知識(shí)中最基本、最典型、最關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn)，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力和問(wèn)題解決能力的源泉.以“高考母題”為載體進(jìn)行訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生快速厘清概念、把握原理、掌握規(guī)律，實(shí)現(xiàn)知識(shí)向能力的飛躍，讓知識(shí)與能力呈現(xiàn)螺旋上升的趨勢(shì).

3 以“高考母題”為驅(qū)動(dòng)提高復(fù)習(xí)效率的策略

3.1 善用“高考母題”，一題多解

善用“高考母題”進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，可以讓學(xué)生從多角度、多方位、多層次的分析和嘗試中厘清問(wèn)題本質(zhì)，活化思維，以達(dá)到觸類旁通之效.在這個(gè)過(guò)程中，教師應(yīng)關(guān)注講解的開(kāi)放性和發(fā)散性，鼓勵(lì)學(xué)生解法的多樣化，這樣才能以題帶知識(shí)點(diǎn)和解題技巧，這才是復(fù)習(xí)課的最佳效果.

例1已知圓C：x2+y2=r2，證明：過(guò)圓C上的一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.

拋出問(wèn)題后，筆者放手讓學(xué)生去自主探究、合作討論，激勵(lì)學(xué)生大膽聯(lián)想和猜想.正是由于有了足夠的思考和探究時(shí)空，學(xué)生生成了多種證明方法，才有了如下登臺(tái)展示的精彩場(chǎng)面.

生1：我運(yùn)用了斜率法.

過(guò)程如下：

x0x+y0y=r2

①

當(dāng)x0=0時(shí)，易知切線方程為y=r(或y=-r)滿足①式；當(dāng)y0=0時(shí)，易知切線方程為x=r(或x=-r)，同樣滿足①式.

綜上所述，過(guò)點(diǎn)M的切線方程為x0x+y0y=r2.

圖1

從“高考母題”這一探索點(diǎn)開(kāi)始，學(xué)生展開(kāi)了思考和探究，學(xué)生的思維從被動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)，從一般性策略到創(chuàng)意求解方法，靈活地運(yùn)用向量、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí).正是由于為學(xué)生創(chuàng)建的深度思考的氛圍，才能讓學(xué)生在不斷探索中擁有無(wú)窮的思維創(chuàng)造力，這對(duì)提升學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)意義重大，同時(shí)有效地溝通了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)間的有機(jī)融合，進(jìn)而達(dá)到完善自身認(rèn)知體系的目的.

3.2 善用“高考母題”，一題多變

倘若僅僅是就題論題式解答，既使求解過(guò)程再完美，也不過(guò)是掌握了一個(gè)問(wèn)題，但一題多變的訓(xùn)練有助于消除這一弊端.所謂的一題多變并非若干個(gè)獨(dú)立題目的簡(jiǎn)單堆砌，而是具有內(nèi)部關(guān)聯(lián)的多個(gè)習(xí)題，意在激發(fā)學(xué)生的探究興趣，開(kāi)拓思路，深化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，培養(yǎng)解題能力.因此，一輪復(fù)習(xí)中教師應(yīng)不拘泥于一道習(xí)題，活用典型問(wèn)題，進(jìn)行深入剖析和精細(xì)設(shè)計(jì)，做到一題求變，將高考母題拓展為多個(gè)值得學(xué)生探究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓高考母題真正成為學(xué)生思維拓展的有效素材.這樣，不僅可以讓知識(shí)更加透徹，還能開(kāi)闊學(xué)生的解題視野，更重要的是能提高一輪復(fù)習(xí)的效果.

例2線段AB的長(zhǎng)為2a，且其兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在互相垂直的兩條直線上滑動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，試求點(diǎn)M的軌跡.

經(jīng)過(guò)討論和交流，學(xué)生很快探究得出本題的解法，更進(jìn)一步地，筆者設(shè)計(jì)以下變式：

變式2線段AB的長(zhǎng)為2a，且其兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在夾角為θ(0<θ<90°)的兩條直線上滑動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，試求點(diǎn)M的軌跡.

復(fù)習(xí)課無(wú)法回避“炒冷飯”的尷尬局面，而如何在“翻炒冷飯”的過(guò)程中調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，為“冷飯”增添新的“佐料”，讓舊知識(shí)“炒”出新意，讓學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)中保持熱情是教師的重要關(guān)注點(diǎn).本例中，教師善于以“變”促學(xué)，讓變式問(wèn)題不斷上升，使學(xué)生興趣盎然.通過(guò)解決變式，有助于學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)中將基礎(chǔ)知識(shí)形成網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)，內(nèi)化為自己的基本技能，感悟數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)還可以提高學(xué)生的自主探究能力.

3.3 善用“高考母題”，一題多用

學(xué)生聽(tīng)懂一道習(xí)題并不意味著掌握，真正的掌握應(yīng)該是利用此問(wèn)題的解法去解決新的問(wèn)題，也就是實(shí)現(xiàn)一題多用，這才是真正意義上的領(lǐng)悟和掌握.因此，在一輪復(fù)習(xí)中，為了實(shí)現(xiàn)觸類旁通，在探究和解答完高考母題之后，還需引導(dǎo)學(xué)生站在研究和剖析的角度審視問(wèn)題，進(jìn)一步回顧、總結(jié)和提煉，從而深化認(rèn)識(shí)，提高復(fù)習(xí)效能.

例3試求出平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為2的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.(具體解答過(guò)程略.)

本題推廣引申后，可得如下命題：平面內(nèi)到定點(diǎn)A和B的距離之比為定值λ(λ>0，λ≠1)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.(這就是著名的“阿波羅尼斯圓”，這一結(jié)論就是阿波羅尼斯軌跡定理，這一問(wèn)題頻繁出現(xiàn)于近幾年的高考試題之中，可見(jiàn)，是高考熱點(diǎn)問(wèn)題之一.)

進(jìn)一步地，筆者提出以下問(wèn)題：

圖2

問(wèn)題2如圖2，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=2x-4，點(diǎn)A(0，3).設(shè)圓C的半徑為1，且圓心C在直線l上.若圓C上存在一點(diǎn)M使得|MA|=2|MO|，試求出圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

問(wèn)題1和問(wèn)題2背景相差甚遠(yuǎn)，但題目中均涉及到“阿波羅尼斯圓”，這一知識(shí)點(diǎn)是解題的突破口.正是由于之前的總結(jié)和提煉，學(xué)生可以很快突破難點(diǎn)，尋得解法，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題.

4 總結(jié)

總之，一輪復(fù)習(xí)的主要目標(biāo)是夯實(shí)基礎(chǔ)，提升能力.教師只有切實(shí)精心準(zhǔn)備，以具有代表性的“高考母題”為指引，在深度和廣度上下足功夫，實(shí)施一題多解、一題多變、一題多用，才能讓學(xué)生真正做到做一題會(huì)一類，做一類通一法，才能幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，提高思維能力，達(dá)到真正提高一輪復(fù)習(xí)效果的目的.