基于提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效教學(xué)思考
——淺析“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值”的教學(xué)設(shè)計(jì)

?江蘇省蘇州市吳中區(qū)蘇苑高級(jí)中學(xué)

胡 鶯

1 數(shù)學(xué)教學(xué)

“立德樹人”是數(shù)學(xué)教育肩負(fù)的重任.高中新課程標(biāo)準(zhǔn)要求數(shù)學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思維去觀察、分析和探索世界. 高中數(shù)學(xué)的有效教學(xué)以學(xué)生為主體，貫徹有效的理念.高中數(shù)學(xué)教學(xué)要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考問題，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)解決問題，實(shí)現(xiàn)個(gè)人可持續(xù)的發(fā)展.因此，高中數(shù)學(xué)的有效教學(xué)尤其重要.

學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后，體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，既及時(shí)鞏固導(dǎo)數(shù)知識(shí)，也深化導(dǎo)數(shù)的工具作用. 同時(shí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用助力學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的自主探索意識(shí). 筆者安排高二文科班“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值”教學(xué)，以實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)，巧妙培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 實(shí)踐探究

師：請大家思考下面的例1.

生1：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性，比較函數(shù)f(x)在區(qū)間上的極值和端點(diǎn)值的大小，最后得到值域.

(生1板演)令f′(x)=3-3x2>0，解得-11.

因此，f(x)在定義域上存在極大值f(1)=2.

故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，2].

師：如果以例1為題根，怎么進(jìn)行變式呢？

(學(xué)生小組討論，得到部分變式如下.)

變式1函數(shù)f(x)=3x-x3在[0，m]上的最大值為2，最小值為0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.(生2提供的變式.)

教學(xué)思考 ：在例1教學(xué)中，學(xué)生將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值與最小值， 利用導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)就能完成解答.學(xué)生口述解題想法是其理清思路的過程，板演的“書寫”則進(jìn)一步呈現(xiàn)邏輯思維.而在本例變式的小組討論時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高漲，各抒己見，并且精神高度集中地“聽”其他同學(xué)的想法，努力“讀”懂新的數(shù)學(xué)思維.這一過程中，教師不應(yīng)為了趕教學(xué)進(jìn)度，擠壓學(xué)生在課堂上“說”的時(shí)間. 著名心理學(xué)家皮亞杰提出：學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)是要通過自我建構(gòu)得到的，而非依靠教師的一味講授. 教師簡明扼要的“說”，是引導(dǎo)問題、引發(fā)討論，更是引導(dǎo)學(xué)生自主思考“大問題”，引導(dǎo)學(xué)生有效探究“新問題”. 本題變式為學(xué)生開啟自由探索之門，引領(lǐng)學(xué)生走入探索之路;促使學(xué)生深入理解知識(shí)點(diǎn)，領(lǐng)悟單元聯(lián)系，發(fā)展創(chuàng)新能力；落實(shí)有效教學(xué)，促使學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

師：由變式2在函數(shù)中引入?yún)?shù)，我們看下例2.

師：請同學(xué)們想一想怎么解？

師：他的解答正確嗎？(學(xué)生思考)

師：請考慮在定義域內(nèi)研究.

生5：極小值點(diǎn)可能不在定義域內(nèi).

師：很好.那么能分哪些情況？

生5：若1

教學(xué)思考：例2是新高考的填空題題型，為學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)搭建橋梁. 本題學(xué)生獨(dú)立解答的完成度不高，但是學(xué)生運(yùn)用分類討論思想分析，基本方法計(jì)算，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最值在區(qū)間端點(diǎn)或極值點(diǎn)處取得，這是生生合作完善解答的結(jié)果. 在解題時(shí)，教師要肯定學(xué)生始于直覺的分析，鼓勵(lì)學(xué)生基于思考的解答，是培養(yǎng)學(xué)生自信心，是數(shù)學(xué)課堂師生交流的真正開始.師生交流是以學(xué)生為主體的有效教學(xué)的主要體現(xiàn)，能打造和諧的師生關(guān)系，促進(jìn)師生情感的增長，進(jìn)而提高教學(xué)的有效性.本題旨在有效提高學(xué)生的思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

師：下面繼續(xù)研究含參數(shù)問題.

師：請比較例2和例3的變化.

生6：例2給出最值，例3是存在最值；兩個(gè)例題的區(qū)間不同，一個(gè)是閉區(qū)間，另一個(gè)是開區(qū)間.

師：解題思路有何變化？

生6：沒有變化.(學(xué)生搖頭)

師：請嘗試解答.

師：最值一般在哪里取到？

生6：區(qū)間端點(diǎn)或者極值點(diǎn).

師：計(jì)算看看有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：g(0)=3.又接不下去了.

師：怎樣利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是什么？

生6：關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，看導(dǎo)數(shù)值的正負(fù).

師：非常好.將上述解答中的g(x)與導(dǎo)數(shù)正負(fù)聯(lián)系，接下來怎么解答？(學(xué)生互動(dòng)討論.)

師：非常棒！從例1到例3，你有什么收獲？

生7：最值通常為區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值或者極值.

生8：函數(shù)解析式含參數(shù)常需要分類討論.

生9：導(dǎo)數(shù)值正負(fù)是判斷函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵.

師：同學(xué)們在解題時(shí)敢想、敢說、敢寫.同時(shí)要注意書寫規(guī)范，養(yǎng)成良好習(xí)慣；及時(shí)總結(jié)，提高思維品質(zhì).

教學(xué)思考：例3進(jìn)一步研究含參數(shù)函數(shù)的最值，學(xué)生通過歸納類比，發(fā)現(xiàn)問題變化，吸取例題經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化，找到解題突破點(diǎn).教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)思考，為學(xué)生后續(xù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)提供無限可能. 教師還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生拓展閱讀，這樣，學(xué)生能擴(kuò)充知識(shí)儲(chǔ)備，拓寬解題視角，樹立全局意識(shí). 同時(shí)，高中數(shù)學(xué)的“寫”需要延伸到課堂之外，師生的“寫” 不僅有解答，還有思考總結(jié).師生利用碎片時(shí)間，每天記錄一點(diǎn)，日積月累就能成文分享. 本題在師生、生生互動(dòng)中，促進(jìn)思想交流，也使課堂變得靈動(dòng)，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)，提高個(gè)人思維品質(zhì)，提升邏輯推理和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

有效教學(xué)的最高體現(xiàn)是授人以漁——培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和終身學(xué)習(xí)能力. 教師以不變的教育初心，實(shí)踐有效教學(xué)，收獲遞增的育人成就.

3 結(jié)語

如果“春種、夏長、秋收、冬藏”是自然規(guī)律，那么高中數(shù)學(xué)的有效教學(xué)播種了最好的種子. 因?yàn)閿?shù)學(xué)思維會(huì)成為學(xué)生永恒的習(xí)慣，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)會(huì)化作學(xué)生永遠(yuǎn)的陪伴.