在接續(xù)研究中發(fā)展理性思維
——以“復(fù)數(shù)的乘、除運算”為例

?湖南省株洲市五雅中學(xué)

陽志長

1 引言

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多帶有研究色彩，是通過獲得一個個數(shù)學(xué)研究對象的學(xué)習(xí)過程，使個體研究心理、思路、方法、方式、思想等獲得持續(xù)變化與發(fā)展，形成具有個性特征的數(shù)學(xué)思維的過程.數(shù)學(xué)思維是一種理性思維，突出表現(xiàn)在思維的連貫性、嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性、創(chuàng)新性等品質(zhì)方面.新課程提出“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容”[1]的課程理念，本質(zhì)是抓住獲得各個數(shù)學(xué)研究對象的過程，采取單元教學(xué)方式，發(fā)展學(xué)生的理性思維.

“復(fù)數(shù)的乘、除運算”是新課標(biāo)教材第七章“復(fù)數(shù)”第二節(jié)“復(fù)數(shù)的四則運算”[2]第二課時的教學(xué)內(nèi)容.“因為高考中的復(fù)數(shù)題非常簡單，所以許多老師對復(fù)數(shù)的教學(xué)也不太上心”[3]，以致于簡單了事，在第二節(jié)第二課時匆忙落下第七章教學(xué)“帷幕”.“復(fù)數(shù)是一類重要的運算”[1]，學(xué)生已經(jīng)理解引入復(fù)數(shù)的必要性，如此“謝幕”，他們感受不到復(fù)數(shù)應(yīng)用的廣泛性；“復(fù)數(shù)源于純粹的數(shù)學(xué)推理，是理性思維的產(chǎn)物”[3]，復(fù)數(shù)的乘、除運算不僅是研究一類運算對象“思維鏈”的關(guān)鍵“節(jié)點”，而且是認(rèn)識復(fù)數(shù)概念、復(fù)數(shù)的三角表示，以及發(fā)展理性思維的重要載體.

2 對接思考，培養(yǎng)思維的連貫性

與復(fù)數(shù)的加、減運算(簡稱“一級運算”)類似，教材直接規(guī)定復(fù)數(shù)的乘、除運算(簡稱“二級運算”)的乘法法則.為什么可以這樣規(guī)定？基于復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，在探索復(fù)數(shù)一級運算時，類比兩個多項式相加、減，學(xué)生已經(jīng)感受到復(fù)數(shù)加法法則“規(guī)則”的合理性，以及研究一個運算對象的“基本套路”.為讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)“二級運算”產(chǎn)生的背景和學(xué)習(xí)的必要性，本課時需要突出第一個教學(xué)重點，“復(fù)制”這個“基本套路”，抽象、推導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘法法則.

(1)PPT呈現(xiàn)問題1：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R).我們知道，z1+z2=(a+c)+(b+d)i，z1-z2=(a-c)+(b-d)i,兩個復(fù)數(shù)的和、差是一個確定的復(fù)數(shù).那么，接下來應(yīng)該研究什么？可以怎樣研究呢？

(2)學(xué)生思考、回答問題.教師引出并板書本節(jié)課的研究主題，引導(dǎo)學(xué)生回顧第一課時研究的“基本套路”，獲得研究復(fù)數(shù)乘法運算方法：類比兩個多項式相乘.

(3)學(xué)生演練、推導(dǎo)，教師規(guī)劃板書位置，讓一位學(xué)生代表板書、推導(dǎo).

(4)教師“點擊”，同化研究方法，導(dǎo)引學(xué)生閱讀教材第77頁的相關(guān)內(nèi)容，讓他們感受研究方向的正確性、“規(guī)則”的合理性，得到復(fù)數(shù)的乘法法則(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，以及兩個復(fù)數(shù)的積是一個確定的復(fù)數(shù).

(5)PPT呈現(xiàn)問題2：得到復(fù)數(shù)的乘法法則后，按照研究復(fù)數(shù)加、減運算的“基本套路”， 接下來應(yīng)該研究什么？怎樣研究呢？

(6)學(xué)生思考、回答問題，教師規(guī)劃板書位置，讓三位學(xué)生代表展示推導(dǎo)過程.

(7)教師 “點擊”， 再次同化研究方法，得到：復(fù)數(shù)乘法運算律、對加法的分配律.然后，簡單小結(jié)一下研究復(fù)數(shù)乘法運算的“基本套路”，讓學(xué)生進一步得到各步的意義建構(gòu).

以上的對接、思維活動，圍繞研究一個運算對象的“基本套路”，通過提供“先行組織者”、激活“情境與問題”的途徑，傳承復(fù)數(shù)加法運算的研究方式，并在類比思考、接續(xù)研究中，培養(yǎng)學(xué)生思維的連貫性，以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，并形成對運算研究對象探索的方向感，以及積極的認(rèn)知情感、態(tài)度與價值觀.

3 跟進思考，培育思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

得到復(fù)數(shù)乘法法則及其運算律后，教材通過例3、例4，示范復(fù)數(shù)乘法運算的“思維與表達(dá)”，在此基礎(chǔ)上提煉“乘法公式”.同屬二級運算，為不割裂研究“鏈條”，本課時需要突破第一個教學(xué)難點，變通“套路”，推導(dǎo)、概括出復(fù)數(shù)除法的法則.

(1)PPT呈現(xiàn)問題3：類比多項式的乘法運算，我們得到了復(fù)數(shù)的乘法法則及其運算律.多項式乘法一個顯著標(biāo)志是可以用“乘法公式”簡化運算.那么，復(fù)數(shù)乘法是否有相應(yīng)的公式呢？

(3)PPT呈現(xiàn)問題4：二級運算還有除法.那么，兩個復(fù)數(shù)能否相除?如何研究復(fù)數(shù)的除法呢？

(5)教師 “點撥”， 順應(yīng)研究方法：遵循“基本套路”，根據(jù)運算對象的結(jié)構(gòu)特征，展開聯(lián)想,變更類比對象，分析、研究問題.簡單小結(jié)，突出理解與應(yīng)用特色：復(fù)數(shù)乘、除運算分別類比多項式乘法、根式除法運算.

以上思考與探索過程，按照一個運算對象的研究過程，通過體現(xiàn)共性、突出個性，延續(xù)復(fù)數(shù)加減運算的研究方式，順應(yīng)知識，并在跟進思考、接續(xù)研究中，突破教學(xué)難點，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，建立相關(guān)研究的“知識與技能”“思維與表達(dá)”“交流與反思”.

4 換位思考，增強思維的批判性

得到法則后，緊接著就是法則的應(yīng)用，需要突破第二個教學(xué)難點：法則的正確理解與靈活應(yīng)用.

(2)學(xué)生獨立思考，自主練習(xí).6分鐘后，展示多位學(xué)生代表的計算過程，學(xué)生與教師一道矯正、點評，鼓勵其他學(xué)生提供不同的計算思路或方法.

(4)PPT呈現(xiàn)例2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：①x2+2=0；②ax2+bx+c=0，其中a,b,c∈R，且a≠0，b2-4ac<0.

(5)學(xué)生獨立思考、提供解題方案后，讓學(xué)生對照教材第79頁例6的“分析”與“解”發(fā)表意見或提出問題.然后，教師點評、提煉：例2第②題為一般情形，教材給出的“解”體現(xiàn)了求解實系數(shù)一元二次方程的“根本大法”——配方法，轉(zhuǎn)化為特殊情形；虛數(shù)與復(fù)數(shù)的引入緣于解方程時遇到的負(fù)數(shù)開平方問題，作為復(fù)數(shù)及其運算應(yīng)用的一個重要方面，有了“求根公式”，可以直接利用它求實系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根，或?qū)嵪禂?shù)二次三項式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

以上探討過程，按照研究一個運算對象的進程，采用提供多樣性素材、激發(fā)應(yīng)用情境的方法，使研究復(fù)數(shù)加減運算的方式得以改造，并在換位思考、接續(xù)研究中，突破教學(xué)難點，增強學(xué)生思維的批判性，完善一個運算對象的研究過程，解決數(shù)系擴充后復(fù)數(shù)運算的封閉性、應(yīng)用性等問題，使一個運算對象的研究“套路”找到比較穩(wěn)定的“固著點”.

5 接續(xù)研究，發(fā)展思維的創(chuàng)新性

數(shù)學(xué)研究，不止于解決問題，還要回歸研究歷程，獲得 “再出發(fā)”的能量.課堂最后環(huán)節(jié)，還需要上升到數(shù)學(xué)思想高度，突出第二個教學(xué)重點：完善研究一類運算對象乃至一類數(shù)學(xué)對象的“基本套路”、行動方案.

(1)學(xué)生小結(jié).可以使學(xué)生明晰：復(fù)數(shù)的乘、除運算，類似于整式的乘法、根式的除法運算，乘法滿足交換律、結(jié)合律及對加法的分配律，可以用乘法公式簡化運算，結(jié)果是一個確定的復(fù)數(shù)；與實數(shù)運算、三角恒等變換一樣，復(fù)數(shù)運算常要抓住運算對象特點，考慮運算依據(jù)，設(shè)計運算程序，達(dá)到運算目標(biāo).

(2)變更情境.讓學(xué)生瀏覽教材第75至79頁的內(nèi)容，結(jié)合黑板板書，回顧課堂學(xué)習(xí)、研究歷程，談學(xué)習(xí)體會，或提交問題.

(3)教師凝練.在肯定學(xué)生的突出表現(xiàn)、所作小結(jié)的基礎(chǔ)上，凝練出研究復(fù)數(shù)乘除運算的思想方法——類比遷移法，以及研究一個運算對象的“基本套路”：“背景—概念—基本性質(zhì)—運算及其幾何意義、運算律—聯(lián)系與應(yīng)用”[3].引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)尚沒有研究的問題：復(fù)數(shù)乘、除運算的幾何意義，以及復(fù)數(shù)乘方、開方運算及其幾何意義.凸顯研究一類運算對象的思維軌跡，鼓勵學(xué)生接續(xù)研究教材第81頁“代數(shù)基本定理”及選學(xué)內(nèi)容“復(fù)數(shù)的三角表示”，為后續(xù)課時的研究性學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備.

上述梳理與凝練過程，采取參與小結(jié)、多向?qū)υ挼牟呗?，將“小結(jié)權(quán)”還給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主梳理一節(jié)課的知識，重視閱讀教材和學(xué)習(xí)小結(jié)，開展與教材、自己對話.更好地發(fā)揮教師的引領(lǐng)作用、開拓視野，指導(dǎo)學(xué)生開展與同學(xué)、老師對話，系統(tǒng)認(rèn)識運算對象研究的過程和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身，重視研究數(shù)學(xué)對象的思想方法、繪制思維藍(lán)圖，將數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實到課堂； 再現(xiàn)復(fù)數(shù)研究的“情境與問題”“思維與表達(dá)”“交流與反思”，讓學(xué)生明白為什么虛數(shù)以及復(fù)數(shù)概念的引入會經(jīng)歷一個曲折的過程，領(lǐng)悟其中蘊涵的數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力，使研究復(fù)數(shù)“二級運算”的流程得以“再造”，發(fā)展思維的創(chuàng)新性.

6 結(jié)束語

復(fù)數(shù)的乘、除運算是復(fù)數(shù)運算“思維鏈”的關(guān)鍵“節(jié)點”，主張按照研究一個運算對象的“基本套路”，優(yōu)化設(shè)計，通過對接思考、跟進思考、換位思考、接續(xù)研究的方式方法，使研究復(fù)數(shù)一級運算的“基本套路”得以“傳承、延續(xù)、改造、發(fā)展”.在接續(xù)研究中重構(gòu)研究一類運算對象的“基本套路”，培養(yǎng)思維的連貫性、嚴(yán)謹(jǐn)性，增強思維的批判性，發(fā)展思維的創(chuàng)新性.新課程改革正在如火如荼地進行，廣大教師要認(rèn)真鉆研課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，立足各個課時、各個單元、各條主線，以及各個、各類研究對象，優(yōu)化設(shè)計，課時落實，單元突破，主線推進，合力鍛造學(xué)生數(shù)學(xué)思維的必備品格和關(guān)鍵能力，讓他們在接續(xù)學(xué)習(xí)、研究中發(fā)展理性思維，賡續(xù)數(shù)學(xué)家不屈不撓、精益求精的精神血脈, 落實“學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)”[1]的根本任務(wù).