注重通法 揭示本質(zhì) 落實(shí)素養(yǎng)
——以2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷文科12題的解法研究為例

四川省溫江中學(xué)

張 君 王奮際 張斌輝

1 真題再現(xiàn)

(2022年全國(guó)甲卷文科第12題)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，則( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

2 試題分析

羅增儒教授把解題總結(jié)為“條件預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段，結(jié)論預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向”，解題的本質(zhì)是尋找條件與結(jié)論的關(guān)系.題從兩種角度思考解題方案：一是綜合考慮條件與選項(xiàng)，做等價(jià)變形；二是直接從條件出發(fā)，推導(dǎo)結(jié)論.

觀察已知條件，a,b均為指數(shù)式與常數(shù)之差，作差后不易比較大小，又由于a,b無法判斷正負(fù)，作商也不易比較；再觀察選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，a,b都需要與0比較.故可考慮等價(jià)變形為三個(gè)對(duì)數(shù)值log1011，log910，log89的大小比較，即為思路1.

等價(jià)變形為三個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較，此時(shí)可以直接作差(解法1)或作商(解法2)比較，也可利用數(shù)列單調(diào)性(解法3)，函數(shù)單調(diào)性(解法4)或糖水不等式(解法5)比較.解法1～3不約而同地可以使用均值不等式將對(duì)數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為加法，解法4則利用函數(shù)求導(dǎo)尋找單調(diào)性，解法5需要學(xué)生有一定積累.

由于條件中的三個(gè)表達(dá)式結(jié)構(gòu)類似，可以考慮構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較，即為思路2.此時(shí)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)和單調(diào)性問題(解法6)，也可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象來分析問題(解法7)或指數(shù)函數(shù)圖象的增長(zhǎng)速度問題(解法8).

如果將9m作為整體，避開對(duì)數(shù)運(yùn)算，適當(dāng)放縮，那么此題可轉(zhuǎn)化為尋找a的下界和b的上界問題(解法9).

上海市特級(jí)教師文衛(wèi)星老師主張用思維導(dǎo)圖對(duì)解題思路加以形象總結(jié)[1]，此題解題思路可表示為如下思維導(dǎo)圖(如圖1).

圖1

3 一題多解

3.1 綜合條件與選項(xiàng)，恒等變形轉(zhuǎn)化

由9m=10知m=log910，比較a=10m-11與0的大小，等價(jià)于比較10m與11大小，等價(jià)于比較m=log910與log1011大??；同理，比較b=8m-9與0的大小，等價(jià)于比較m=log910與log89.至此，本題轉(zhuǎn)化為比較log1011,log910,log89三個(gè)數(shù)的大小.要比較這三個(gè)數(shù)有如下幾種方案.

解法1：(作差)由于三個(gè)對(duì)數(shù)不同底，考慮化同底之后作差.

同理可判斷l(xiāng)og910

故有l(wèi)og101110log1011-11=0，b=8m-9=8log910-9<8log89-9=0.即a>0>b.故選：A.

解法3：將這三個(gè)數(shù)看作數(shù)列{logn(n+1)}的第8，9，10三項(xiàng)，先研究數(shù)列的單調(diào)性，比較logn(n+1)與logn+1(n+2)(其中n∈N*,n≥2)的大小.

所以ln2(n+1)-lnn·ln(n+2)>0，即

logn(n+1)>logn+1(n+2).

由此可得log89>log910>log1011.下同解法1.

點(diǎn)評(píng)：上述三種方法，先將對(duì)數(shù)化同底，基于同底對(duì)數(shù)沒有乘法，但可以相加，不約而同地利用均值不等式，最終完成解題.

解法4：令f(x)=logx(x+1)(x>1).

由1

xlnx<(x+1)ln(x+1).

因此，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以f(10)

同理log1011

綜上所述，log1011

3.2 形式同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，逆用單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合

解法7：令f(x)=xm-x-1(m=log910)，則f(9)=0.函數(shù)y=xm(m=log910)與y=x+1圖象的交點(diǎn)為(9,10)，如圖2所示.

由圖2可知，當(dāng)09時(shí)，xm>x+1.所以8m<9，即b=8m-9<0；10m>11，即a=10m-11>0.所以a>0>b，故選：A.

圖2

解法8：如圖3，從下到上分別是函數(shù)y=8x，y=9x，y=10x的圖象，直線x=1與三條曲線分別交于點(diǎn)A，B，C，直線x=m(m=log910)與三條曲線分別交于點(diǎn)E，G，P.分別過點(diǎn)A，B，C作x軸的平行線依次交直線x=m于點(diǎn)D，F(xiàn)，H.因?yàn)閥=8x，y=9x，y=10x的圖象上升速度依次加快，則DE

圖3

8m-8<9m-9=1<10m-10,

8m-9<9m-10=0<10m-11.

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：解法4，6，7，8都構(gòu)造了函數(shù)，但構(gòu)造的函數(shù)各不相同.構(gòu)造函數(shù)后，利用的函數(shù)性質(zhì)也不同.可見，通法之下也有很多變化.

3.3 化異為同，適當(dāng)放縮

解法9：顯然，m>1.依題意可得

所以a>0>b，故選：A.

點(diǎn)評(píng)：解法9綜合題目條件信息、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，巧妙放縮，達(dá)到“秒殺”的效果.

4 課本溯源

(2019年人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第141頁第13題)比較下列各題中三個(gè)值的大小[2]：

(1)log0.26,log0.36,log0.46；(2)log23,log34,log45.

我們來研究一下第(2)問.

所以ln23-ln2ln4>0，即log23>log34.

同理可得log34>log45.

綜上所述，log23>log34>log45.

點(diǎn)評(píng)：作差、通分后，利用基本不等式即可判斷l(xiāng)n23-ln2·ln4的符號(hào).如果掌握了這種思想方法，那么考題中a與b的符號(hào)就容易聯(lián)想到利用基本不等式來判斷，這說明這道考題源于課本高于課本.因此，指導(dǎo)高三復(fù)習(xí)要立足課本，適當(dāng)拔高，就能提質(zhì)減負(fù)！

5 通法遷移

國(guó)務(wù)院《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》提出，要“改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性，減少死記硬背和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象”[3]，這要求教學(xué)中要重視通性通法，尋找解題本質(zhì)，落實(shí)核心素養(yǎng).

本文對(duì)2022數(shù)學(xué)甲卷文科12題的解法研究中，主要提出了三大類通法：一是綜合考慮條件和結(jié)論，等價(jià)變形后，作差、作商比較大??；二是結(jié)構(gòu)相似，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性、圖象、增長(zhǎng)趨勢(shì)等比較大?。蝗抢梅趴s、特殊值，甚至泰勒展開等估計(jì)參數(shù)值的范圍比較大小.

這些“通法”當(dāng)然也能遷移到其他高考題，例如：

(1)(2020·全國(guó)卷Ⅲ理科第12題)已知55<84，134<85.設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則( ).

A.a

A.a

A.c

6 一題多變

在高考題基礎(chǔ)上，筆者作了一些變式，讀者可以嘗試從通法入手，完成解題.

變式1已知a=101.1-6，b=91.1-5，c=81.1-4，則a，b，c的大小關(guān)系是( ).

A.a

變式2已知10m=11，a=8m-9，b=9m-10，則( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.0>b>aD.b>0>a

變式3已知9m=11，a=10m-12，b=8m-10，則( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

變式4已知5m=31，a=6m-42，b=7m-55，則a，b，c的大小關(guān)系是( ).

A.a>0>bB.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a

提示：(1)B. (2)C. (3)A. (4)C.