精心組織教學(xué)活動(dòng) 促進(jìn)核心素養(yǎng)提升
——以“函數(shù)與方程(一)”為例

江蘇省海門中學(xué)

姜璐璐

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持以生為本，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)掌握基本知識(shí)和基本技能，在解決問(wèn)題的過(guò)程中形成經(jīng)驗(yàn)，從而在知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的共同作用下形成學(xué)習(xí)能力.筆者在“函數(shù)與方程(一)”教學(xué)時(shí)，借助情境和問(wèn)題設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，在培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、概括能力、抽象能力等方面取得了較大突破，與大家分享，以期共鑒.

1 教學(xué)分析

“函數(shù)與方程(一)”是一節(jié)抽象的概念課，重點(diǎn)是理解和掌握函數(shù)零點(diǎn)定義及零點(diǎn)存在性定理.概念課看似簡(jiǎn)單，但受傳統(tǒng)教學(xué)模式影響，在教學(xué)中常出現(xiàn)“重結(jié)論，輕過(guò)程”的現(xiàn)象，從而將“概念課”變成了“習(xí)題課”，學(xué)生知道個(gè)一知半解就忙著去應(yīng)用，結(jié)果后期解決綜合性問(wèn)題時(shí)漏洞百出.要讓學(xué)生真正將概念學(xué)懂吃透，既清楚內(nèi)涵又了解外延，需要教師精心預(yù)設(shè).本節(jié)課在問(wèn)題情境的引領(lǐng)下，旨在培養(yǎng)學(xué)生的觀察、抽象概括能力，體驗(yàn)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

2.1 回顧舊知，引出新知

教學(xué)片段1：

師：利用對(duì)數(shù)知識(shí)求方程0.84x=0.5的近似解，該如何求呢？

師：很好！如果利用圖象，你能求嗎？

生2：可以求.將方程0.84x=0.5左右兩邊看作兩個(gè)函數(shù)，y=0.84x和y=0.5，兩函數(shù)y=0.84x和y=0.5圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求.

師：很好.生2通過(guò)構(gòu)造法構(gòu)造了兩個(gè)較為熟悉的函數(shù)y=0.84x和y=0.5，這樣在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象，借助圖象可求方程近似解.

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)與方程都是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)中占有重要的位置，同時(shí)兩者又有著緊密的聯(lián)系.如果教學(xué)之初就直接指出兩者的聯(lián)系似乎有些生硬，為此，先用舊知“對(duì)數(shù)相關(guān)知識(shí)”來(lái)引入，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的思路直接求解.接下來(lái)，運(yùn)用問(wèn)題“如何利用圖象求解”，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想函數(shù)，由此將方程轉(zhuǎn)化為了函數(shù)，這樣引入新課題也就水到渠成了.

2.2 借助特例，歸納提煉

教學(xué)片段2：

師：觀察以下幾個(gè)特殊函數(shù)的圖象，試寫出函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出對(duì)應(yīng)方程的根，看看你有哪些發(fā)現(xiàn).

①一元二次方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3(圖象如圖1)；

圖1 圖2 圖3

②一元二次方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1(圖象如圖2)；

③一元二次方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3(圖象如圖3).

問(wèn)題給出后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行觀察，并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行總結(jié)和歸納，很快，很多學(xué)生迫不急待的想發(fā)表自己的見(jiàn)解了.

生3：分析第①組，該一元二次方程有兩個(gè)根，分別為-1和3，與之相應(yīng)的函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1，0)，(3，0).由此可知，方程x2-2x-3=0的根即為函數(shù)y=x2-2x-3與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

生4：在第②組中，方程的根為x1=x2=1，相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，故與生3得出的結(jié)論類似.

生5：在第③組中，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，圖象與x軸無(wú)交點(diǎn).

師：大家說(shuō)得非常好！剛剛我們觀察的是特殊方程，如果對(duì)于一般方程會(huì)有怎樣的結(jié)果呢？請(qǐng)各小組分工協(xié)作，完成下面表格(如表1).(學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一般規(guī)律，很快完成了表格的填寫.)

表1 一元二次方程與對(duì)應(yīng)函數(shù)的關(guān)系

注：a>0.

師：各小組表格都已經(jīng)填寫好了，現(xiàn)在請(qǐng)結(jié)合表格內(nèi)容歸納總結(jié)，一般一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關(guān)系.

生6：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值y=0時(shí)自變量x的值，也就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師：很好！一般地，把使函數(shù)y=f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)，即方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：為了便于觀察、計(jì)算，教師設(shè)計(jì)了幾個(gè)簡(jiǎn)單的一元二次方程，通過(guò)方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)比，得出了一元二次方程的根即為相應(yīng)的一元二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).結(jié)論得出后，為了將其轉(zhuǎn)化為一般規(guī)律，教師讓學(xué)生聯(lián)想一般方程，完成了從特殊到一般的轉(zhuǎn)化.在此基礎(chǔ)上給出函數(shù)零點(diǎn)定義也就使定義更加具體形象了，學(xué)生也更容易總結(jié)歸納三者的關(guān)系：方程f(x)=0有解?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).這樣讓學(xué)生經(jīng)歷由根到交點(diǎn)再到零點(diǎn)的過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

2.3 借助轉(zhuǎn)化，檢驗(yàn)應(yīng)用

教學(xué)片段3：

例1求證：二次函數(shù)y=2x2+3x-7有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

證法1：(代數(shù)法)考察二次方程2x2+3x-7=0，因?yàn)棣?32-4×2×(-7)=65>0，所以方程2x2+3x-7=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.因此，二次函數(shù)y=2x2+3x-7有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

證法2：(幾何法)由f(x)=2x2+3x-7的二次項(xiàng)系數(shù)是2，可知拋物線的開(kāi)口向上，且f(1)=2+3-7=-2<0，所以二次函數(shù)y=2x2+3x-7與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).因此，二次函數(shù)y=2x2+3x-7有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

例2判斷函數(shù)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間(2，3)內(nèi)是否存在零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：在教學(xué)中，為了實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化，了例題環(huán)節(jié).設(shè)置例1引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考零點(diǎn)問(wèn)題，即代數(shù)法和幾何法.對(duì)于例2，根據(jù)學(xué)情可知，在解決此類問(wèn)題時(shí)多數(shù)學(xué)生習(xí)慣運(yùn)用代數(shù)法來(lái)求解，教師可以順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)尋找“另外方法”為下面的教學(xué)內(nèi)容作鋪墊，讓學(xué)生的思維在問(wèn)題的引導(dǎo)下螺旋上升.

2.4 完善猜想，形成定理

教學(xué)片段4：

師：觀察例2中函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象，我們猜想出“若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，則必有f(a)f(b)<0”.如果這樣說(shuō)你們認(rèn)為成立嗎？“若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有f(a)f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定有零點(diǎn)”呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生對(duì)定理成立條件的關(guān)注，從而為定理的引入及內(nèi)化作好鋪墊.在教學(xué)中，可繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想特例來(lái)驗(yàn)證，這樣學(xué)生更容易理解“不間斷的曲線”這一限定條件.接下來(lái)還可以提出問(wèn)題①在什么條件下，可以使函數(shù)y=f(x)有唯一零點(diǎn)？②為什么題設(shè)中是閉區(qū)間[a，b]，而結(jié)論中是開(kāi)區(qū)間(a，b)？這樣，通過(guò)仔細(xì)推敲和挖掘，讓學(xué)生對(duì)定理的理解更加細(xì)致、全面，為后面的應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

3 教學(xué)反思

本節(jié)課通過(guò)前期的鋪墊，利用“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”等重要數(shù)學(xué)思想方法引發(fā)了學(xué)生對(duì)“函數(shù)零點(diǎn)”的思考，從而將方程的根、圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)緊密相連，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化.接下來(lái)又圍繞“函數(shù)零點(diǎn)定理”經(jīng)歷了一次探究之旅，從觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、推理、驗(yàn)證、應(yīng)用等環(huán)節(jié)突破了重難點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的本質(zhì)，最終形成了定理.數(shù)學(xué)定理本是抽象的，為了提升教學(xué)的有效性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在教學(xué)中需要多從學(xué)生的認(rèn)識(shí)角度去思考問(wèn)題，通過(guò)創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的梳理、歸納、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng)中建立完整的知識(shí)體系，進(jìn)而提升解決問(wèn)題的能力.

總之，要發(fā)揮課堂教學(xué)價(jià)值，離不開(kāi)教師精心的預(yù)設(shè).只有精心預(yù)設(shè)才能使知識(shí)向正方向遷移，從而揭示問(wèn)題的本質(zhì)，提煉出有價(jià)值的數(shù)學(xué)方法，最終形成解題能力和學(xué)習(xí)能力，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).