《對數(shù)函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

程永軍

(江蘇省南京市雨花臺(tái)中學(xué) 210000)

1 教材分析

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在高中階段，對數(shù)函數(shù)是學(xué)生需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的初等函數(shù)之一，在開始學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)對指數(shù)函數(shù)、反函數(shù)以及對數(shù)等有所學(xué)習(xí)，本節(jié)是對以上內(nèi)容的延伸與擴(kuò)充.在備課時(shí)，我們首先應(yīng)當(dāng)對于學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)和掌握情況進(jìn)行一個(gè)大概的了解和分析，從而確定我們所需要實(shí)施的課堂教學(xué)策略.第二個(gè)較為重要的備課點(diǎn)就是對于教材進(jìn)行深入的鉆研，對于教材的內(nèi)容進(jìn)行充分的把握.第三點(diǎn)就是對于課標(biāo)進(jìn)行解讀，把握我們目前的教學(xué)方向以及教學(xué)思路.第四點(diǎn)是對于我們所要教授的內(nèi)容進(jìn)行深入的探索與分析，對于課程內(nèi)容的重難點(diǎn)進(jìn)行明晰.第五點(diǎn)是對于教學(xué)過程中問題的解決思路和解決方法，進(jìn)行深入的分析和理解，幫助學(xué)生對問題進(jìn)行有效的解決，以及對于難點(diǎn)的把握和理解.總而言之，我們教師備課的情況決定著我們所構(gòu)建的課堂能夠發(fā)揮多少作用.我們知道課標(biāo)是教學(xué)的指導(dǎo)性文件，而教材是課標(biāo)實(shí)施的主要載體，因此在備課過程中，我們需要準(zhǔn)確地理解課標(biāo)，我們廣大教師對于在教學(xué)過程中具體目標(biāo)的設(shè)定，對于課本中的基礎(chǔ)知識(shí)的把握，以及對于學(xué)生做題能力的培養(yǎng)情況，在做題過程中，對于學(xué)生情感態(tài)度和價(jià)值觀提升的要求.在備課時(shí)應(yīng)當(dāng)站在學(xué)生的角度，結(jié)合學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法進(jìn)行分析，在我們授課的過程中，學(xué)生會(huì)遇到哪些問題，這些問題學(xué)生能否通過自主的思考進(jìn)行解決.對于教學(xué)目標(biāo)的準(zhǔn)備，是指對于教材的重難點(diǎn)和教材的內(nèi)容進(jìn)行分析之后，想要學(xué)生達(dá)到的教學(xué)效果.在備課的過程中，我們也許會(huì)產(chǎn)生新的創(chuàng)新授課思路，因此這種思路的記錄也十分重要.在備課時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)結(jié)合之前的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對自己的教學(xué)進(jìn)行評價(jià)和改進(jìn).

2 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握圖像的性質(zhì)和畫法.

難點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用與理解.

3 學(xué)生分析

學(xué)生前面學(xué)到了指數(shù)函數(shù)，與其有相似之處.由于學(xué)生對于高中對數(shù)知識(shí)已有所學(xué)習(xí)，所以容易接受對數(shù)函數(shù)概念的引入與學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)圖像以及性質(zhì)的過程中便易于理解.

4 教學(xué)目標(biāo)

4.1 學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)通過引入現(xiàn)實(shí)生活中的具體實(shí)例，轉(zhuǎn)變抽象的內(nèi)容，讓學(xué)生明白函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用對現(xiàn)實(shí)的意義.

(2)用描點(diǎn)法將對數(shù)函數(shù)進(jìn)行呈現(xiàn)，通過作圖了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等，并能將對數(shù)函數(shù)帶入到生活問題的解答中去.

(3)將發(fā)達(dá)的信息技術(shù)運(yùn)用到函數(shù)的學(xué)習(xí)中，通過圖象法等多種解題方案，探究函數(shù)的增長速度以及特點(diǎn)差異.

(4)通過對數(shù)函數(shù)概念、圖象等的了解，將不同的函數(shù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)他們的差異，進(jìn)一步去體會(huì)和研究不同函數(shù)的多種解答思路與方法.

4.2 過程與方法

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，將指數(shù)函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像對照，進(jìn)行對照教學(xué).

4.3 態(tài)度、情感與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)函數(shù)的數(shù)形結(jié)合能力，端正科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)你@研態(tài)度.

5 教學(xué)過程

5.1 課程導(dǎo)入

指數(shù)函數(shù)有其獨(dú)特的變化規(guī)律.在引入對數(shù)后，我們還可以從另外的角度，對蘊(yùn)含的規(guī)律作進(jìn)一步的研究.筆者常用的方法是講授法，也就是運(yùn)用口頭語言向?qū)W生進(jìn)行傳授知識(shí)，而我們的大多數(shù)教學(xué)都是采用講授法，所選的例題也是對于所研究的問題有一定針對性的.

5.2 形成定義

師：解決這個(gè)問題，顯然要依據(jù)函數(shù)的定義.那么依據(jù)定義應(yīng)怎樣進(jìn)行判斷呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生先回憶函數(shù)的定義，然后確定判斷方法.

要判斷死亡時(shí)間x是否是碳14的含量y的函數(shù)，就要確定，對于任意一個(gè)y∈(0，1]，是否都有唯一確定的x與其對應(yīng).

圖1

師生活動(dòng)：按照追問1確定的辦法，先由學(xué)生分析，之后教師用軟件進(jìn)行演示，直觀呈現(xiàn)對任意一個(gè)y∈(0，1]，都有唯一確定的x與其對應(yīng).

根據(jù)函數(shù)的定義，可知能將x看成是y的函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過再次分析，并與指數(shù)函數(shù)進(jìn)行比較，形成對比，從另外的角度刻畫其中蘊(yùn)含的規(guī)律，引出用函數(shù)的方式描述問題，為抽象得到對數(shù)函數(shù)做準(zhǔn)備.

環(huán)節(jié)二：對于一般的指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，轉(zhuǎn)換成x=logay(a>0，且a≠1)，能否將x看成是y的函數(shù)？

師生活動(dòng)：利用解決問題1的經(jīng)驗(yàn)，先由學(xué)生解答這個(gè)問題，之后師生一起完善.

教師講授：通常，我們用x表示自變量，用y表示函數(shù).為此，可將x=logay(a>0，且a≠1)改寫為：y=logax(a>0，且a≠1).這就是對數(shù)函數(shù).

師：通過與指數(shù)函數(shù)對比，函數(shù)y=loga的定義域是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過轉(zhuǎn)化的過程，得出對數(shù)函數(shù)的概念.并在與指數(shù)函數(shù)對比的基礎(chǔ)上，建立關(guān)聯(lián)，得出對數(shù)函數(shù)的定義域.

5.3 應(yīng)用定義

例1 求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=log3x2;

(2)y=loga(x-4)(a>0，且a≠1).

師：求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟是什么？

師生活動(dòng)：教師利用追問引導(dǎo)學(xué)生，一切從定義出發(fā).對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)的定義域是(0，+∞)，那么題目中的x2和(4-x)的范圍得出，是(0，+∞)，將不等式解答出來.

解(1)因?yàn)閤2>0,即x≠0，所以函數(shù)y=log3x2的定義域是{x|x≠0}.

(2)因?yàn)?-x>0,即x<4，所以函數(shù)y=loga(4-x)的定義域是{x|x<4}.

設(shè)計(jì)意圖：通過求函數(shù)定義域，進(jìn)一步理解對數(shù)函數(shù)特殊的定義域.此前遇到的特殊情況還包括分母不能為0，開二次根式被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù).前后形成對比，加深對函數(shù)定義域和一些特殊情況的理解.

例2 假設(shè)隨機(jī)一個(gè)地區(qū)，當(dāng)?shù)啬澄锏某跏純r(jià)格為1元，并且按照每年5%的速度遞增，那么y年之后，當(dāng)?shù)卮宋锲返膬r(jià)格為x.

(1)該地的物價(jià)經(jīng)過幾年后會(huì)翻一番？

(2)補(bǔ)充下表，觀察表中的數(shù)據(jù)，簡單解釋一下物品價(jià)格的變化規(guī)律.

表1

對于(1)，先寫出x關(guān)于y的函數(shù)，再根據(jù)對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為y關(guān)于x的函數(shù).對于(2)，利用計(jì)算工具，快速填好表格，探索發(fā)現(xiàn)，隨著x的增長，y的增長在減緩.

解(1)由題意可知，經(jīng)過y年后物價(jià)x為

x=(1+5%)y,即x=1.05y(y∈[0,+∞)).

由對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得

y=log1.05x,x∈[1,+∞).

由計(jì)算工具可得，當(dāng)x=2時(shí)，y≈14.所以，該地區(qū)的物價(jià)大約經(jīng)過14年后會(huì)翻一番.

(2)根據(jù)函數(shù)y=log1.05x，x∈[1，+∞)，利用計(jì)算工具，可得下表：

表2

由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價(jià)隨時(shí)間的增長而增長，但大約每增加1倍所需要的時(shí)間在逐漸縮小.

5.4 課時(shí)小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本課時(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下面問題：

(1)概述本節(jié)課得到對數(shù)函數(shù)概念的基本過程.

(2)對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？

6 教學(xué)反思

近年來教育發(fā)展已經(jīng)進(jìn)入到新階段，素質(zhì)教育是新的發(fā)展要求.新課改是目前教育教學(xué)工作的重點(diǎn)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該要?jiǎng)?chuàng)新自己的教育教學(xué)策略.原本局限于應(yīng)付考試的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)，應(yīng)該要轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，趨向于素質(zhì)教育的發(fā)展.數(shù)學(xué)的教育方式也應(yīng)該要有新的改變，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感知能力和數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)的能力.現(xiàn)在教育的發(fā)展越來越趨向于自主創(chuàng)新教育教學(xué)新模式.針對此，我們在數(shù)學(xué)教育方面也需要提出了一些新的思考.

在后面的高中對數(shù)函數(shù)教學(xué)中，教師需要重點(diǎn)培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的對比學(xué)習(xí)能力，以指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的教學(xué)為例，培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思維，幫助學(xué)生在對比的過程中，將函數(shù)之間的相同點(diǎn)與差異性找出來，通過自主鉆研，發(fā)現(xiàn)函數(shù)學(xué)習(xí)中的規(guī)律.