連續(xù)排水邊界下非線性飽和土體一維熱固結(jié)解析解

苗 青，聞敏杰，宗夢(mèng)繁，田 乙，吳文兵,，梅國(guó)雄

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué) 工程學(xué)院，武漢 430074；2.浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058)

土體的滲透系數(shù)及體積變化均會(huì)不同程度地受到溫度的影響，同時(shí)，滲透系數(shù)及體積變化規(guī)律也會(huì)影響土體的固結(jié)過(guò)程，因此，溫度的改變對(duì)土體固結(jié)理論的影響不容忽視。Passwell[1]通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了土體體積會(huì)受到溫度的影響，較早地提出了土體熱固結(jié)的概念。Booke等[2-3]推導(dǎo)了點(diǎn)熱源和球熱源影響下的土體內(nèi)溫度場(chǎng)和超靜孔壓分布解答。隨后軟土地基熱排水固結(jié)處理技術(shù)的提出[4-6]，進(jìn)一步促進(jìn)了考慮溫度效應(yīng)的土體固結(jié)理論的發(fā)展，如考慮變荷載作用[7-8]、天然地基成層性[9]、土體流變特性[10]等對(duì)土體一維熱固結(jié)的影響作用。但以上研究均假定土體在固結(jié)過(guò)程中土性(壓縮和滲透)參數(shù)保持不變，事實(shí)上這樣的假定并不能反映土體真實(shí)的力學(xué)特性。

考慮到土體的非線性特性，Davi等[11]基于e-lgσ′關(guān)系，假定固結(jié)過(guò)程中滲透系數(shù)與體積壓縮系數(shù)同步變化且自重應(yīng)力沿深度保持不變，獲得了土體一維非線性固結(jié)解析解。Xie等[12-13]在Davis和Raymond的假定基礎(chǔ)上推導(dǎo)了單級(jí)加載下單層及雙層地基一維非線性固結(jié)解析解；隨后求解了循環(huán)荷載的單層地基一維非線性固結(jié)問(wèn)題[14]。Chen等[15]利用DQM法求解了成層地基非線性固結(jié)問(wèn)題。但目前綜合考慮溫度影響和土體非線性的固結(jié)研究較為少見(jiàn)。Liu等[16]基于Davis和Raymond的假定，推導(dǎo)出了考慮二次固結(jié)和溫度耦合效應(yīng)下的一維非線性熱固結(jié)方程，得到了溫度對(duì)土體固結(jié)的影響關(guān)系。郭志光等[17]考慮熱-水-力耦合過(guò)程，建立了飽和土熱固結(jié)的非線性模型并獲得數(shù)值解。白冰等[18-19]基于多孔顆粒材料的粒子重排原則，建立了熱-水-力學(xué)本構(gòu)模型，并利用改良的溫控三軸裝置，研究了熱循環(huán)作用下土體的變形作用。以上固結(jié)問(wèn)題的研究均沿用了Terzaghi一維固結(jié)理論中的邊界條件，即假設(shè)土體邊界為完全透水和完全不透水。在該邊界條件下，土體邊界處的孔壓會(huì)瞬時(shí)完成消散，并不能反映土體邊界孔壓的時(shí)間效應(yīng)。

實(shí)際上，土體邊界屬于土體的一部分，其孔壓的消散規(guī)律也應(yīng)該服從一般的固結(jié)規(guī)律——孔壓隨時(shí)間逐漸消散。由此看來(lái)，自然排水邊界的透水性應(yīng)該介于完全透水和完全不透水之間。Gray[20]較早地認(rèn)識(shí)到此客觀事實(shí)，并基于此提出了一種半透水邊界。但半透水邊界的形式較為復(fù)雜，很難得到相應(yīng)的固結(jié)解析解。白冰等[21]引入了一種與時(shí)間有關(guān)的“半滲透性”邊界條件，求解了飽和孔熱彈性球體的不可逆固結(jié)問(wèn)題，推導(dǎo)出了球體與球腔在承受可變機(jī)械和熱載荷時(shí)的分析解。為了考慮邊界孔壓的時(shí)間效應(yīng)，梅國(guó)雄等[22-23]提出一種能夠反映排水面處超靜孔隙水壓力隨時(shí)間逐漸消散的連續(xù)排水邊界，并基于連續(xù)排水邊界推導(dǎo)出了瞬時(shí)荷載下一維固結(jié)解析解。Wu等[24]基于連續(xù)排水邊界，分別研究了雙層地基及成層地基一維固結(jié)特性。隨后，不同學(xué)者進(jìn)一步考慮土體非線性[25-27]、變荷載[28]、非飽和[29]等特性，對(duì)連續(xù)排水邊界下土體一維固結(jié)特性進(jìn)行了研究。宗夢(mèng)繁等[30-31]基于Davis和Raymond的假定，獲得了連續(xù)排水邊界下單層及雙層地基一維非線性固結(jié)解析解。然而，目前關(guān)于連續(xù)排水邊界下的土體一維非線性固結(jié)理論研究鮮見(jiàn)考慮溫度效應(yīng)的影響。

在實(shí)際工程中，有時(shí)土體會(huì)受到溫度的影響，如供熱管道設(shè)計(jì)、地?zé)豳Y源開(kāi)采、高放射性廢棄物處理等，因此，考慮土體的溫度效應(yīng)至關(guān)重要。本文在考慮土體非線性變形和滲透特性的基礎(chǔ)上，同時(shí)考慮邊界孔壓的時(shí)間效應(yīng)，建立了連續(xù)排水邊界條件下一維非線性土體熱固結(jié)模型。采用分離變量法和Laplace變換得到相應(yīng)的固結(jié)解析解?；谒媒馕鼋?，通過(guò)參數(shù)敏感性分析，深入探究連續(xù)排水邊界條件下一維非線性土體熱固結(jié)性狀。

1 基本問(wèn)題

1.1 固結(jié)模型的建立

如圖1所示，h為土體厚度，q0為瞬時(shí)施加的大面積無(wú)限均勻分布的外荷載，Ts為無(wú)限均勻施加于土層頂面的溫度增量。土層頂面為連續(xù)排水邊界并且可進(jìn)行熱交換，土層底面為不透水邊界并且絕熱。土層的初始有效應(yīng)力均勻分布。

圖1 地基固結(jié)模型

根據(jù)線性熱應(yīng)力理論，由應(yīng)力變化引起和由溫度變化引起的土體變形可以線性疊加[30]。因此,孔隙比的變化包括由有效應(yīng)力引起和由溫度引起兩部分組成，其中，由有效應(yīng)力引起的部分為

(1)

由溫度引起的孔隙比變化表達(dá)式為

eT=e1-ΔeT=e1+aθ(1+e1)

(2)

式中:θ為溫度增量，a為土的線性膨脹系數(shù)，eT為溫度引起的孔隙比表達(dá)式，ΔeT為溫度引起的孔隙比變化。

總的孔隙比變化為

(3)

采用Liu等[16]提出的固結(jié)過(guò)程中孔隙比的變化與有效應(yīng)力為對(duì)數(shù)關(guān)系假定，孔隙比表達(dá)式為

(4)

式中：CcT為考慮溫度影響后的壓縮指數(shù)，包括荷載作用和溫度作用下e-lgσ′曲線的斜率。

同時(shí)認(rèn)為固結(jié)過(guò)程中孔隙比的變化與滲透系數(shù)為對(duì)數(shù)關(guān)系[16]，孔隙比與滲透系數(shù)表達(dá)式為

(5)

式中：kv和kv0分別為滲透系數(shù)和初始滲透系數(shù)，CkT為考慮溫度影響后的滲透指數(shù)。

由式(4)和(5)知

(6)

假定土體中滲流服從達(dá)西定律

(7)

式中：v為滲透流速，i為水力坡降，u為超靜孔隙水壓力，z為土體深度方向，γw為水的重度。

土體體積變化為

(8)

式中:V為土體體積，t為時(shí)間，x和y分別表示水平x方向和y方向。

由于飽和土在固結(jié)過(guò)程中土體體積變化與水流流量變化相等，有

(9)

由式(8)和(9)可得

(10)

根據(jù)有效應(yīng)力原理

σ′=σf-u

(11)

式中σf為土體所受總應(yīng)力。

將式(11)和(7)代入式(10)，可得

(12)

熱傳導(dǎo)方程[8,16]為

(13)

式中：C為土體的體積熱容，K為土的導(dǎo)熱系數(shù)。

C=(1-n)ρscs+nρwcw

(14)

K=(1-n)λs+nλw

(15)

式中：n為土體的孔隙率，ρs和ρw分別為土顆粒密度和水的密度，cs和cw分別為土顆比熱容和水的比熱容，λs和λw分別為土顆粒熱傳導(dǎo)系數(shù)和水的熱傳導(dǎo)系數(shù)。

由于一維非線性固結(jié)方程較為復(fù)雜，很難求得解析解，Davis[11]在求解一維非線性固結(jié)方程時(shí)，假定壓縮指數(shù)與滲透指數(shù)比等于1。此外，根據(jù)Li等[30]的研究發(fā)現(xiàn)，一般土的壓縮指數(shù)和滲透指數(shù)較為接近，故假定CcT/CkT=1，則式(12)為

(16)

式中cv為固結(jié)系數(shù)，表達(dá)式為

(17)

mv0為初始體積壓縮系數(shù)，表達(dá)式為

(18)

方程求解條件為

(19)

式中α為連續(xù)排水邊界的界面參數(shù)。

1.2 模型求解

定義無(wú)量綱參數(shù)

同時(shí)令

(20)

將以上無(wú)量綱參數(shù)代入式(16)，可得

(21)

設(shè)

θ1=θ-Ts

(22)

則式(13)和求解條件(19)可化為

(23)

根據(jù)特征函數(shù)法可得

(24)

其中

(25)

將式(24)代入式(22)，可得溫度增量表達(dá)式為

(26)

令

(27)

將式(27)代入式(21)，可得

(28)

結(jié)合有效應(yīng)力原理(式(11))，將式(27)代入式(19)并齊次化可得

(29)

其中

(30)

為了進(jìn)一步將邊界條件齊次化，令

ω=v+ωα(Tv)

(31)

將式(31)代入式(28)，固結(jié)方程式(28)和求解條件(29)可齊次化為

(32)

其中

(33)

由特征函數(shù)法，設(shè)方程(32)解的形式為

(34)

(35)

其中

(36)

將式(34)和(35)代入式(32)可得

(37)

考慮式(37)的恒等性，可得

(38)

將式(38)進(jìn)行Laplace變換可得

sVn(s)+M2Vn(s)=Fn(s)

(39)

其中Vn(s)和Fn(s)分別為vn(Tv)和fn(Tv)的Laplace變換式。

由式(39)可得

(40)

對(duì)式(40)進(jìn)行Laplace逆變換可得

(41)

令

(42)

(43)

則式(41)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(44)

將式(44)和(30)代入式(31)可得

(45)

1.3 平均固結(jié)度解答

按沉降定義的平均固結(jié)度為

(46)

按孔壓定義的平均固結(jié)度為

(47)

1.4 土體沉降解答

土體沉降表達(dá)式為

(48)

2 與現(xiàn)有解答的對(duì)比分析

2.1 解答的退化驗(yàn)證

圖2 不考慮熱應(yīng)力時(shí)不同Nσ下的超靜孔隙水壓力曲線

圖3 考慮熱應(yīng)力時(shí)不同Nσ下的超靜孔隙水壓力曲線

2.2 不同解答下的固結(jié)特性對(duì)比分析

圖4對(duì)比了不同解答下得到的超靜孔隙水壓力，其中，Liu解[16]為基于Terzaghi邊界考慮熱應(yīng)力作用得到的一維非線性固結(jié)解析解，宗夢(mèng)繁解[26]為基于連續(xù)排水邊界得到的一維非線性固結(jié)解析解，Davis解[11]為基于Terzaghi邊界得到的一維非線性固結(jié)解析解。對(duì)比本文解與宗夢(mèng)繁解[26]以及Liu解[16]與Davis解[11]可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)邊界條件相同時(shí)，考慮熱應(yīng)力作用得到的超靜孔隙水壓力更小，說(shuō)明熱應(yīng)力作用可以促進(jìn)土體超靜孔隙水壓力的消散。對(duì)比分析本文解與Liu解[16]以及宗夢(mèng)繁解[26]與Davis解[11]可以發(fā)現(xiàn)，連續(xù)排水邊界下的超靜孔隙水壓力大于Terzaghi邊界下的超靜孔隙水壓力，這是由于連續(xù)排水邊界是一種阻礙型的排水邊界，當(dāng)邊界孔隙水排出受阻時(shí)，會(huì)導(dǎo)致超靜孔隙水壓力消散速率變慢。

圖4 不同解答下超靜孔隙水壓力曲線

圖5對(duì)比了不同解答下按沉降定義的平均固結(jié)度?？梢钥闯觯?dāng)邊界條件相同時(shí)，考慮熱應(yīng)力作用得到的土體固結(jié)速率更快，說(shuō)明熱應(yīng)力可以促進(jìn)土體的固結(jié)。此外，當(dāng)熱應(yīng)力條件相同時(shí)，連續(xù)排水邊界下的固結(jié)速率小于Terzaghi邊界下的固結(jié)速率，這是由于Terzaghi邊界假定為完全透水邊界，土體可以快速排出孔隙水，土體的固結(jié)速率更快。

圖5 不同解答下Us曲線

圖6對(duì)比了不同解答得到的沉降曲線。當(dāng)邊界條件相同時(shí)，考慮熱應(yīng)力作用得到的最終沉降量更小，這是由于隨著溫度的升高，土體會(huì)發(fā)生膨脹，導(dǎo)致土體的最終沉降量會(huì)小于不考慮熱應(yīng)力時(shí)的最終沉降量。在溫度荷載及其他參數(shù)不變的條件下，只改變邊界排水性能，土體的最終沉降量相同，說(shuō)明邊界條件對(duì)土體最終沉降量沒(méi)有影響。此外，連續(xù)排水邊界下的沉降速率小于Terzaghi邊界下的沉降速率，這是由于連續(xù)排水邊界會(huì)阻礙孔隙水的排出，從而導(dǎo)致土體沉降速率降低。

圖6 不同解答下的土體沉降曲線

3 參數(shù)敏感性分析

基于本文解答，對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)的敏感性分析，從而探究連續(xù)排水邊界條件下的非線性飽和土體一維熱固結(jié)特性。基本參數(shù)取值與上節(jié)相同。

圖7分析了土體深度為土體總深度一半時(shí)溫度增量Ts對(duì)超靜孔隙水壓力的影響。可以看出，溫度增量Ts越大，土體孔壓越小，超靜孔隙水壓力消散速率越快。說(shuō)明提高溫度可以促進(jìn)孔隙水壓力的消散。

圖7 Ts對(duì)超靜孔隙水壓力曲線的影響

圖8反映了溫度增量Ts對(duì)按沉降定義的平均固結(jié)度的影響?？梢钥闯觯?dāng)溫度增量Ts增大時(shí)，土體的固結(jié)速率會(huì)加快，說(shuō)明提高溫度可以促進(jìn)土體的固結(jié)沉降。

圖8 Ts對(duì)Us曲線的影響

在連續(xù)排水邊界中，界面參數(shù)α反映了土體邊界的排水能力，α越大，邊界排水能力越強(qiáng)[19-20]。圖9分析了界面參數(shù)α對(duì)按沉降定義的平均固結(jié)度Us的影響。可以看出，界面參數(shù)越大，土體的排水能力越強(qiáng)，越接近Terzaghi排水邊界條件。當(dāng)界面參數(shù)α=100時(shí)，圖像與Liu[16]十分接近，因此，α的取值應(yīng)為0～100。連續(xù)排水邊界條件可以通過(guò)調(diào)整界面參數(shù)的取值模擬不同排水性能的邊界條件，這是傳統(tǒng)Terzaghi邊界條件不能夠達(dá)到的效果。

圖9 α對(duì)Us曲線的影響

圖10分析了κ/cv對(duì)按沉降定義的平均固結(jié)度的影響。κ/cv為熱擴(kuò)散系數(shù)與固結(jié)系數(shù)的比值，其值越大代表熱擴(kuò)散系數(shù)所起的作用越大?？梢钥闯觯诠探Y(jié)前期，隨著κ/cv的增大，熱擴(kuò)散作用增強(qiáng)，固結(jié)速率明顯增大，平均固結(jié)度曲線逐漸偏離宗夢(mèng)繁解[26]得到的平均固結(jié)度曲線，但后期所有曲線達(dá)到完全固結(jié)所用的時(shí)間近似相同，說(shuō)明改變?chǔ)?cv主要會(huì)在固結(jié)前期加快固結(jié)速率，但對(duì)平均固結(jié)速率沒(méi)有太大影響。

圖10 κ/cv對(duì)Us曲線的影響

圖11分析了非線性參數(shù)Nσ對(duì)按沉降定義的平均固結(jié)度和按孔壓定義的平均固結(jié)度的影響。可以看出，隨著Nσ的增大，土體所受的施加荷載增大，按沉降定義的固結(jié)度會(huì)隨著施加荷載的增大而速率增大，但按孔壓定義的固結(jié)度會(huì)隨著施加荷載的增大而速率降低，這是由于施加荷載的大小會(huì)同時(shí)影響土體的滲透系數(shù)和體積壓縮系數(shù)[32]，這兩個(gè)系數(shù)對(duì)土體的影響作用相反但隨Nσ的變化相同。因此，在不同的定義下，由于兩個(gè)系數(shù)所起作用的大小不同，呈現(xiàn)的變化規(guī)律不同。

圖11 Nσ對(duì)固結(jié)度曲線的影響

4 結(jié) 論

1)本文所得解嚴(yán)格滿足初始條件，并且退化結(jié)果合理適定，具有明確的物理意義。還可通過(guò)調(diào)節(jié)溫度增量Ts和界面參數(shù)α來(lái)近似模擬熱應(yīng)力作用和土體的透水性，使解答更具有普適性。

2)熱應(yīng)力作用可以促進(jìn)孔隙水壓力的消散，提高土體固結(jié)速率，減小土體的最終沉降量。

3)對(duì)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析可知，當(dāng)溫度增量Ts增大或界面參數(shù)α增大時(shí)，土體的排水能力增強(qiáng)；反之，土體排水能力減弱。

4)當(dāng)溫度增量Ts增大或熱擴(kuò)散系數(shù)與固結(jié)系數(shù)的比κ/cv增大時(shí)，土體的固結(jié)速率增大，但Ts增大提高的是整個(gè)固結(jié)過(guò)程的固結(jié)速率，而κ/cv的增大主要是提高土體的前期固結(jié)速率，對(duì)總固結(jié)速率影響不大。當(dāng)非線性參數(shù)Nσ增大時(shí)，兩種不同定義下的固結(jié)速率變化趨勢(shì)相反，按沉降定義的固結(jié)速率提高，按孔壓定義的固結(jié)速率降低；當(dāng)Nσ減小時(shí)，按沉降定義的固結(jié)速率降低，按孔壓定義的固結(jié)速率提高。