功能耦合的城市水電網(wǎng)絡(luò)抗震韌性分析方法

繆惠全，韋 杰，李宗財(cái)，劉志超，潘子葉，鐘紫藍(lán)

(1.北京工業(yè)大學(xué) 城市建設(shè)學(xué)部,北京 100124;2.城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(北京工業(yè)大學(xué)),北京 100124;3.國(guó)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院有限公司，北京 102209;4.國(guó)網(wǎng)天津市電力公司城東供電分公司,天津 300151;5.河南省交通運(yùn)輸發(fā)展集團(tuán)有限公司,鄭州 450016)

歷次震害表明，水電網(wǎng)絡(luò)作為城市生命線工程的典型代表，一旦在地震以后發(fā)生破壞，必將引起嚴(yán)重的后果[1]。城市水網(wǎng)對(duì)于保障地震災(zāi)后的緊急救援、火場(chǎng)控制具有重要意義，而管網(wǎng)破壞導(dǎo)致的洪水、傳染病也是關(guān)注的重點(diǎn)[2-3]。電網(wǎng)作為城市基礎(chǔ)能源網(wǎng)絡(luò)，除自身能夠提供能源以供生產(chǎn)生活之外，地震之后還凸顯了應(yīng)急轉(zhuǎn)運(yùn)、醫(yī)療救助、通信指揮等重要的功能，更是各基礎(chǔ)設(shè)施中最重要的網(wǎng)絡(luò)之一。然而，傳統(tǒng)的水網(wǎng)和電網(wǎng)的地震災(zāi)害研究通常是以隔離的形式單獨(dú)分析其中某一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的抗災(zāi)可靠性或韌性[4-7]，忽略一方對(duì)另一方的影響，其暗含的假設(shè)即一個(gè)系統(tǒng)的功能并不依賴于另一系統(tǒng)，顯然，僅考慮系統(tǒng)自身功能的耦合性是不夠的，還需要考慮系統(tǒng)間的關(guān)聯(lián)性[5,8]。

深入研究城市水電網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行功能的物理機(jī)制不難發(fā)現(xiàn)[6]，二者在本質(zhì)上是具有高度耦合的基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)，電網(wǎng)不同節(jié)點(diǎn)的功能狀態(tài)影響水網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的功能狀態(tài)，水網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的供水能力也將影響電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的供電能力，特別是在震后城市的恢復(fù)階段，考慮二者相互影響，合理安排各網(wǎng)絡(luò)之間的維修順序，是影響城市恢復(fù)速度的關(guān)鍵問題[9]。因此，期望能夠建立反映兩種基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)功能耦合關(guān)系的抗震韌性分析方法，從而不僅可以有效地評(píng)估各網(wǎng)絡(luò)不同部分的抗震韌性，而且能夠根據(jù)既有的維修資源，合理安排維修任務(wù)，實(shí)現(xiàn)耦合系統(tǒng)的最優(yōu)恢復(fù)。

1 耦合水電網(wǎng)絡(luò)抗震韌性分析

1.1 總體框架

由于震后水電網(wǎng)絡(luò)的協(xié)同恢復(fù)本質(zhì)上是一個(gè)優(yōu)化問題，該模型的總體思路是建立一個(gè)以成本最優(yōu)為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化求解模型，并采用線性規(guī)劃方法予以求解。通過(guò)成本最優(yōu)以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)協(xié)同恢復(fù)的最低經(jīng)濟(jì)成本，在總體上，該模型可以表述為

(1)

Subject togi(x)=ci

(2)

hj(x)≥di

(3)

式中：f(x)為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，與震后管網(wǎng)及電網(wǎng)的狀態(tài)和維修策略相關(guān)，此處采取經(jīng)濟(jì)成本最低的方式進(jìn)行優(yōu)化分析；x為優(yōu)化問題的自變量，由于本文采用的是基于網(wǎng)絡(luò)流的方法，自變量必有網(wǎng)絡(luò)中抽象的物質(zhì)流，還應(yīng)當(dāng)與節(jié)點(diǎn)的功能狀態(tài)和維修狀態(tài)有關(guān)；gi(x)和hj(x)分別表示自變量應(yīng)當(dāng)遵循的條件，包括等式條件和不等式條件，針對(duì)本例，自變量的取值范圍、節(jié)點(diǎn)的功能狀態(tài)、維修隊(duì)的工作狀態(tài)是必然加以約束的變量條件，其他還需根據(jù)模型具體分析確定。

基于上述考慮，對(duì)耦合特性的水電網(wǎng)絡(luò)，建模的思路可以概述為圖1所示的過(guò)程。

圖1 耦合水電網(wǎng)絡(luò)抗震韌性分析建模的基本過(guò)程

1)震前狀態(tài)，水電網(wǎng)絡(luò)分別處于正常功能的運(yùn)行狀態(tài)，同時(shí)，考慮兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間的耦合機(jī)制，某一些節(jié)點(diǎn)還存在功能依存的關(guān)系。另外，考慮耦合網(wǎng)絡(luò)各自的恢復(fù)機(jī)制，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)還存在各自的維修隊(duì)。

2)地震發(fā)生以后，由于地震動(dòng)場(chǎng)的作用，水網(wǎng)和電網(wǎng)首先是一些節(jié)點(diǎn)和連接的物理破壞，表現(xiàn)形式為對(duì)水網(wǎng)如水廠、加壓泵站、水塔、管線等的破壞，對(duì)電網(wǎng)則有變壓器、架空線路等破壞。為此，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)和連接，首先有物理狀態(tài)的變量描述，這一變量可以是0-1雙變量，也可以是其他整數(shù)變量以對(duì)應(yīng)不同的破壞等級(jí)，如0、1、2、3、4分別對(duì)應(yīng)無(wú)破壞、微小破壞、中等破壞、嚴(yán)重破壞和徹底破壞。

3)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生地震物理破壞后，會(huì)引發(fā)網(wǎng)絡(luò)的功能破壞，有兩種基本的表現(xiàn)形式。第一種是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)物理破壞引發(fā)的功能破壞的擴(kuò)散，如上游節(jié)點(diǎn)斷電或者斷水進(jìn)而引發(fā)下游節(jié)點(diǎn)的斷電斷水。為此，還必須建立描述網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)和連接功能的自變量，而節(jié)點(diǎn)的功能狀態(tài)在本文中采用網(wǎng)絡(luò)流方法，功能狀態(tài)的變化必須依賴網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)絡(luò)流的變化，因此，自變量還需包括網(wǎng)絡(luò)內(nèi)物質(zhì)流動(dòng)計(jì)量。第二種表現(xiàn)形式是一方功能的破壞導(dǎo)致耦合網(wǎng)絡(luò)中一些節(jié)點(diǎn)的功能失效，例如，電網(wǎng)供應(yīng)水廠電力的節(jié)點(diǎn)斷電破壞，對(duì)應(yīng)的水廠也會(huì)受到影響。因此，還必須建立描述兩種網(wǎng)絡(luò)功能依賴的限制條件。

4)水電網(wǎng)功能狀態(tài)確定以后，不同網(wǎng)絡(luò)的維修隊(duì)伍需指定維修策略對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行維修，這也是本文的研究重點(diǎn)。為此，需要建立維修隊(duì)工作狀態(tài)的變量，并將維修隊(duì)施加于網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)或連接上，待節(jié)點(diǎn)維修完畢，維修隊(duì)轉(zhuǎn)入下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，此處注意需要確保維修隊(duì)的連續(xù)施工狀態(tài)。通過(guò)求解所建立的優(yōu)化模型，得到最優(yōu)的維修策略。同時(shí)，為了得到目標(biāo)函數(shù)，還需要將網(wǎng)絡(luò)內(nèi)物質(zhì)運(yùn)輸、節(jié)點(diǎn)功能狀態(tài)、維修隊(duì)工作狀態(tài)等轉(zhuǎn)化為單位經(jīng)濟(jì)成本，從而建立網(wǎng)絡(luò)功能、維修隊(duì)工作與總成本之間的橋梁，最終建立總體優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。求解優(yōu)化問題，從而可以得到維修隊(duì)工作計(jì)劃安排和水電網(wǎng)絡(luò)功能狀態(tài)的恢復(fù)曲線，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)均恢復(fù)到100%表示維修任務(wù)的結(jié)束。

5)待維修結(jié)束，兩個(gè)水電網(wǎng)絡(luò)即恢復(fù)到正常狀態(tài)。

1.2 物理模型

因此，該模型的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

從目標(biāo)函數(shù)不難看出，該目標(biāo)函數(shù)包含5個(gè)部分，即物質(zhì)運(yùn)輸成本、節(jié)點(diǎn)物質(zhì)盈余或者不足成本、節(jié)點(diǎn)失效成本、維修隊(duì)通行成本和所有構(gòu)件破壞維修成本。在目標(biāo)函數(shù)中，式(4)為在恢復(fù)過(guò)程中網(wǎng)絡(luò)總流量運(yùn)輸成本。式(5)計(jì)算了節(jié)點(diǎn)流量不足或者超出需求時(shí)所產(chǎn)生的成本。這兩類松弛變量的成本應(yīng)該足夠大，以確保破壞構(gòu)件的維修處于比較優(yōu)先的位置。式(6)為節(jié)點(diǎn)失效成本。通過(guò)調(diào)整松弛成本和失效成本的數(shù)值，可以確定不同構(gòu)建維修的優(yōu)先順序。顯然，對(duì)于懲罰或者失效成本更高的節(jié)點(diǎn)，在維修過(guò)程中會(huì)得到更快的維修。式(7)計(jì)算了維修隊(duì)到達(dá)各個(gè)破壞構(gòu)件的通行成本。式(8)則衡量了所有破壞構(gòu)件的維修成本。

因此，該模型就是尋找最優(yōu)的恢復(fù)策略，通過(guò)指定每一個(gè)維修隊(duì)對(duì)不同破壞構(gòu)件的維修順序，以使得總體的恢復(fù)成本最小。

該模型相應(yīng)的限制條件為

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

式(30)和(31)限定所有的破壞構(gòu)件最終都被修復(fù)完成。條件(32)和(33)確保流變量和松弛變量是連續(xù)非負(fù)的。最終，節(jié)點(diǎn)失效變量、維修隊(duì)工作狀態(tài)變量、破壞構(gòu)件(節(jié)點(diǎn)/邊)的完成狀態(tài)變量，分別在條件(34)～(36)限定為雙變量。

求解上述模型，即可以得到水電網(wǎng)絡(luò)不同節(jié)點(diǎn)的功能狀態(tài)，考慮不同時(shí)間維修情況，即可得到節(jié)點(diǎn)在震后隨時(shí)間變化的恢復(fù)情況，同時(shí)得到不同維修隊(duì)的工作情況，進(jìn)而得到水電網(wǎng)絡(luò)總體的功能恢復(fù)情況。

1.3 方法步驟

根據(jù)上述物理模型，建立具有功能耦合的城市水電網(wǎng)絡(luò)抗震韌性分析方法，基本步驟如下：

1)確定城市場(chǎng)地基本信息，根據(jù)采用的地震動(dòng)場(chǎng)模型生成符合城市場(chǎng)地特征的地震動(dòng)場(chǎng)[12-13]；確定城市水電網(wǎng)絡(luò)的基本信息，主要包括拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、管線和節(jié)點(diǎn)的物理信息等；確定水電網(wǎng)絡(luò)的維修資源信息，主要包括維修隊(duì)的數(shù)量和維修效率等。

2)根據(jù)所生成的地震動(dòng)場(chǎng)，計(jì)算網(wǎng)絡(luò)各個(gè)構(gòu)件的物理狀態(tài)，確定各個(gè)構(gòu)件(元件)的物理狀態(tài)。

3)根據(jù)本文所建立的模型，計(jì)算得到網(wǎng)絡(luò)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的功能損失情況，獲得各維修隊(duì)伍的安排策略。

2 算 例

以杭州市上城區(qū)水電網(wǎng)絡(luò)為例驗(yàn)證這一方法的可行性。該地區(qū)共有54個(gè)社區(qū)，人口約35萬(wàn)，是杭州的中心城區(qū)之一，其水網(wǎng)和電網(wǎng)分布如圖2所示。

2.1 確定性分析

由于本文集中討論所提出的優(yōu)化恢復(fù)模型的可行性，水網(wǎng)和電網(wǎng)物理破壞狀態(tài)及其與地震動(dòng)場(chǎng)之間的關(guān)系并不是研究重點(diǎn)，因此，水網(wǎng)和電網(wǎng)的初始地震破壞狀態(tài)是一組假設(shè)的情況。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行恢復(fù)策略的分析和維修工作的安排。出于快速計(jì)算節(jié)約時(shí)間的目的，僅考慮比較簡(jiǎn)單的物理破壞和兩個(gè)維修隊(duì)進(jìn)行修復(fù)工作的情況，展示本文方法的可行性。

水電系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的功能指標(biāo)選用的是fi取值為0或者1的雙變量指標(biāo)，其定義為

(37)

其中Qi和Di分別為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i的物質(zhì)提供量和需求量。對(duì)水網(wǎng)或者電網(wǎng)整個(gè)系統(tǒng)的功能指標(biāo)，采用的是網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)功能百分比Fn，定義為

(38)

其中N0為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的總數(shù)量。

水網(wǎng)系統(tǒng)的功能和維修恢復(fù)曲線如圖3所示。可以看出，由于水網(wǎng)源點(diǎn)(5號(hào)點(diǎn))的破壞，在地震發(fā)生以后，水網(wǎng)功能為0，即處于徹底失效狀態(tài)，一旦維修開始以后，由于源點(diǎn)被首先修復(fù)，水網(wǎng)的功能即得到迅速提升，在地震后修好的第1天結(jié)束時(shí)，功能即可恢復(fù)到75.86%。隨著維修過(guò)程的逐漸推進(jìn)，水網(wǎng)功能逐漸恢復(fù)，在地震后的第10、20天，功能指標(biāo)分別為91.38%、96.55%，并在第26天恢復(fù)到100%的功能狀態(tài)。水網(wǎng)不同節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的服務(wù)區(qū)域震后的恢復(fù)順序如圖4所示。

圖3 水網(wǎng)功能和維修恢復(fù)曲線

圖4 水網(wǎng)恢復(fù)過(guò)程

電網(wǎng)系統(tǒng)的維修和功能恢復(fù)曲線如圖5所示?？梢钥闯?，地震發(fā)生后，電網(wǎng)還可以維持54.1%的功能。隨著維修過(guò)程的進(jìn)行，電網(wǎng)系統(tǒng)功能逐漸恢復(fù)，在地震后的第1、10、20天，功能指標(biāo)分別為65.57%、80.33%、95.08%，并在第26天恢復(fù)到100%。電網(wǎng)不同節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的城市服務(wù)區(qū)域震后的恢復(fù)過(guò)程如圖6所示。

圖5 電網(wǎng)功能和維修恢復(fù)曲線

圖6 電網(wǎng)恢復(fù)過(guò)程

水網(wǎng)維修隊(duì)伍的安排如圖7所示。此處，維修隊(duì)伍一共有兩隊(duì)，分別是隊(duì)伍1和隊(duì)伍2。從圖7可以看出，對(duì)于維修隊(duì)伍1，維修首先從節(jié)點(diǎn)15開始，維修1 d后轉(zhuǎn)至節(jié)點(diǎn)5，持續(xù)2 d后轉(zhuǎn)至節(jié)點(diǎn)12，并依次按圖7所示進(jìn)行維修。而維修隊(duì)伍2首先從節(jié)點(diǎn)9開始維修，維修2 d后跳轉(zhuǎn)到節(jié)點(diǎn)8，維修1 d后又到節(jié)點(diǎn)6進(jìn)行維修。

圖7 水網(wǎng)維修隊(duì)伍維修任務(wù)安排

電網(wǎng)的維修任務(wù)安排如圖8所示，可以看出，維修隊(duì)伍首先在節(jié)點(diǎn)9進(jìn)行維修，1 d后轉(zhuǎn)至節(jié)點(diǎn)30，1 d后又轉(zhuǎn)至節(jié)點(diǎn)29，并依次按照?qǐng)D示所敘進(jìn)行維修任務(wù)。對(duì)于隊(duì)伍2，其任務(wù)首先開始于節(jié)點(diǎn)18，持續(xù)7 d后轉(zhuǎn)至節(jié)點(diǎn)2，維修1 d后再轉(zhuǎn)至節(jié)點(diǎn)14，隨后的任務(wù)安排依次按圖8所示進(jìn)行。

圖8 電網(wǎng)維修隊(duì)伍維修任務(wù)安排

2.2 隨機(jī)性分析

為進(jìn)一步探究隨機(jī)性對(duì)水電系統(tǒng)協(xié)同恢復(fù)的影響，根據(jù)生成的情景地震動(dòng)場(chǎng)和水電網(wǎng)絡(luò)構(gòu)件的破壞概率，隨機(jī)生成具有不同物理狀態(tài)的樣本1 000個(gè)，并進(jìn)行蒙特卡洛模擬分析。

水網(wǎng)多樣本維修恢復(fù)曲線的上下界和均值、功能恢復(fù)曲線的上下邊界和均值分別如圖9和10所示。從圖9和10可以看出，由于水網(wǎng)結(jié)構(gòu)物理狀態(tài)破壞的不確定性，當(dāng)考慮水電網(wǎng)絡(luò)的協(xié)同恢復(fù)時(shí)，水網(wǎng)的維修恢復(fù)曲線和功能恢復(fù)曲線均呈現(xiàn)了顯著的離散性，且該離散性是不穩(wěn)定的，多樣本的離散型隨災(zāi)后時(shí)間的變化也呈現(xiàn)顯著的變化。

從圖9可以看出，災(zāi)后第1、10、20、30、40、50天，維修恢復(fù)曲線平均恢復(fù)了72.15%、87.06%、93.47%、97.56%、99.72%、100%，其標(biāo)準(zhǔn)差則分別為5.86%、5.35%、4.49%、2.97%、1.05%、0；類似地，從圖10可以看出，在災(zāi)后第1、10、20、30、40、50天，功能恢復(fù)曲線平均恢復(fù)了55.60%、78.75%、88.34%、94.19%、96.77%、97.08%，其標(biāo)準(zhǔn)差則分別為9.01%、7.99%、6.83%、4.25%、1.68%、1.26%。另外，從圖9和10中均值曲線的對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，水網(wǎng)功能總體上呈現(xiàn)了物理修復(fù)在前、功能恢復(fù)在后的特點(diǎn)，災(zāi)后第1、10、20、30、40、50天，后者比前者恢復(fù)分別慢16.55%、8.31%、5.13%、3.37%、2.94%、2.92%。

圖9 水網(wǎng)維修恢復(fù)分析

圖10 水網(wǎng)功能恢復(fù)分析

電網(wǎng)多樣本維修恢復(fù)曲線的上下界和均值、功能恢復(fù)曲線的上下邊界和均值分別如圖11和12所示。從圖11和12可以看出，電網(wǎng)構(gòu)件物理狀態(tài)破壞的不確定性，同樣會(huì)導(dǎo)致電網(wǎng)的維修恢復(fù)曲線和功能恢復(fù)曲線產(chǎn)生顯著的離散。

從圖11可以看出，災(zāi)后第1、10、20、30、40、50天，維修恢復(fù)曲線平均恢復(fù)了82.46%、93.97%、99.42%、100%、100%、100%，其標(biāo)準(zhǔn)差則分別為4.81%、4.25%、1.62%、0、0、0；類似地，從圖12可以看出，在災(zāi)后第1、10、20、30、40、50天，功能恢復(fù)曲線平均恢復(fù)了72.40%、93.07%、99.34%、99.98%、99.99%、100%，其標(biāo)準(zhǔn)差則分別為8.97%、5.44%、1.89%、0.16%、0.10%、0。與水網(wǎng)類似，電網(wǎng)也呈現(xiàn)了物理恢復(fù)在前、功能恢復(fù)在后的特點(diǎn)，后者比前者恢復(fù)分別慢10.06%、0.90%、0.08%、0.02%、0.01%、0。當(dāng)然，應(yīng)該注意到這是一種平均意義的刻畫，具體到某一處節(jié)點(diǎn)，則可能因?yàn)樯霞?jí)節(jié)點(diǎn)的破壞而導(dǎo)致功能失效，只要上級(jí)節(jié)點(diǎn)的功能恢復(fù)，則該節(jié)點(diǎn)自然也可以恢復(fù)。

圖11 電網(wǎng)維修恢復(fù)分析

圖12 電網(wǎng)功能恢復(fù)分析

另外，從水網(wǎng)和電網(wǎng)的恢復(fù)分析對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，從平均意義上來(lái)看，電網(wǎng)比水網(wǎng)表現(xiàn)出更快的恢復(fù)速度，這一點(diǎn)無(wú)論是從維修恢復(fù)曲線還是功能恢復(fù)曲線的均值中都可以得到驗(yàn)證。從維修恢復(fù)曲線來(lái)看，在第1、10、20、30、40、50天，電網(wǎng)比水網(wǎng)的恢復(fù)分別快10.31%、6.91%、5.96%、2.44%、0.28%、0；而從功能恢復(fù)曲線來(lái)看，在第1、10、20、30、40、50天，電網(wǎng)比水網(wǎng)的恢復(fù)分別快16.80%、14.32%、11.00%、5.79%、3.22%、2.92%。

3 結(jié) 論

基于網(wǎng)絡(luò)流理論，考慮城市水網(wǎng)和電網(wǎng)之間的相互影響機(jī)制，建立了具有功能耦合特性的城市水電網(wǎng)絡(luò)抗震韌性分析方法，得到如下結(jié)論：

1)通過(guò)確定性算例驗(yàn)證了本文方法的可行性。這一方法不僅可以有效評(píng)估震后以及恢復(fù)過(guò)程中水電網(wǎng)絡(luò)不同部位、不同時(shí)間的功能狀態(tài)，而且實(shí)現(xiàn)了維修資源的有效分配，合理安排了維修任務(wù)，實(shí)現(xiàn)了耦合系統(tǒng)的最優(yōu)恢復(fù)。

2)由于水電網(wǎng)絡(luò)構(gòu)件物理破壞的不確定性，水電網(wǎng)絡(luò)的恢復(fù)過(guò)程呈現(xiàn)顯著的離散性，且這種離散性呈現(xiàn)隨時(shí)間變化而變化的特點(diǎn)。

3)從平均意義上來(lái)看，電網(wǎng)比水網(wǎng)表現(xiàn)出了更快的恢復(fù)速度，體現(xiàn)出更強(qiáng)的恢復(fù)韌性。