細(xì)管徑虹吸流速計(jì)算參數(shù)分析與修正計(jì)算方法

戴嘯揚(yáng)，張瑩秋，鄭 俊，尚岳全

(浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058)

控制坡體地下水位上升，對(duì)于滑坡防治具有重要作用[1-4]。目前，最常用的地下水鉆孔排水方法為水平排水孔，但由于水平排水孔為開放體系，且傾角小排水流速低，使用過程中易產(chǎn)生淤堵[5-6]，長(zhǎng)期排水的可靠性差。虹吸排水是一種利用液面高差推動(dòng)液體流動(dòng)的排水技術(shù)，采用俯傾鉆孔更有利于匯集地下水，且抗淤堵能力明顯高于水平排水孔，能更好地滿足坡體地下水位控制的需要[7-9]。但虹吸排水過程中，溶解于水中的空氣會(huì)在虹吸管內(nèi)的低壓環(huán)境下釋放形成氣泡，必須采用細(xì)管徑形成段塞流，保證水流能夠把釋放的氣泡排出虹吸管[10-11]，從而確保免維護(hù)虹吸排水的長(zhǎng)期有效性。大量研究[12-13]表明，選擇虹吸管不超過5 mm的管徑才能形成穩(wěn)定的段塞流。不同于粗管徑的排水能力具有自然滿足邊坡排水需要的特性，小于5 mm虹吸管的排水能力低，其排水能力能否有效應(yīng)對(duì)暴雨時(shí)地表水入滲導(dǎo)致地下水激增的情況，成為邊坡虹吸排水方案設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

滑坡虹吸排水工程是利用向下傾斜鉆孔進(jìn)入坡體深部，保持地下水位控制點(diǎn)與孔口高差小于10 m，達(dá)到滑坡深層地下水的降排要求[7]，已在多處滑坡中應(yīng)用且降排效果良好[14-15]。其中，所用虹吸排水管多為長(zhǎng)直管段[16-17]，流體大部分能量損失為沿程水頭損失，所以，沿程水頭損失系數(shù)λ的精度決定了流速計(jì)算準(zhǔn)確性。但是，現(xiàn)有虹吸流速計(jì)算的相關(guān)研究中，大部分集中在流速計(jì)算或低揚(yáng)程工況等情況[18-21]，關(guān)于沿程水頭損失系數(shù)計(jì)算研究較少[22-23]，且針對(duì)特定工況下通過氣泡孔隙率的分析方法計(jì)算虹吸流速[24]，計(jì)算值和實(shí)測(cè)值之間仍存在較大的誤差。本文從確定虹吸流速相關(guān)參數(shù)和沿程水頭損失系數(shù)λ計(jì)算方法出發(fā)，旨在提高5 mm及其以下管徑虹吸管單管流速的計(jì)算精度，為虹吸排水的工程應(yīng)用提供理論支持。

1 計(jì)算參數(shù)分析確定

1.1 虹吸管流計(jì)算參數(shù)分析

虹吸是有壓管流，常采用水力學(xué)中有壓管流公式進(jìn)行求解[25]

(1)

式中：v為流速，g為重力加速度，H1為水頭差，l為虹吸管的長(zhǎng)度，d為虹吸管的直徑，ζ為局部損失系數(shù)，λ為沿程水頭損失系數(shù)。

有壓管流計(jì)算公式是基于伯努利方程條件下化簡(jiǎn)得到的，所以，適用范圍和伯努利方程一致。伯努利方程的前提條件是不可壓縮連續(xù)流，高揚(yáng)程虹吸存在空氣釋放與積累的問題，所以，管頂及下水管往往是氣液兩相流，傳統(tǒng)有壓管流公式并不適用于虹吸管流計(jì)算。如圖1所示虹吸由上水管和下水管兩部分組成。虹吸未啟動(dòng)前，假設(shè)下水管末端是堵住的，上下水管內(nèi)充滿了水。虹吸啟動(dòng)后，下水管的液體由于重力作用下落，帶動(dòng)虹吸管內(nèi)液體流動(dòng)，由于水的抗拉強(qiáng)度為0，在一瞬間dt內(nèi)上下水管之間拉出了一個(gè)微元dr長(zhǎng)的真空帶，即瞬間液體“斷裂”。于是上水管與真空帶之間產(chǎn)生壓差，推動(dòng)上水管內(nèi)液體運(yùn)動(dòng)。當(dāng)上水管內(nèi)液體以vup流入下水管時(shí)，會(huì)出現(xiàn)3種情況：1)vup>vdown，上水管及時(shí)向下水管“供水”，上下管內(nèi)為連續(xù)流，可用常規(guī)伯努利方程求解；2)vup=vdown，上下管流速相同，由于真空帶幾乎可忽略不計(jì)，上下管內(nèi)近似看作連續(xù)流處理，此時(shí)仍可用常規(guī)伯努利方程進(jìn)行求解；3)vup

圖1 虹吸管內(nèi)流動(dòng)示意

對(duì)于第3種情況，由于上水管和下水管之間形成真空帶，即上下水管中液體為非連續(xù)流，伯努利方程不再適用，但上水管仍可看作連續(xù)流，可將上水管單獨(dú)進(jìn)行分析。理想化計(jì)算條件，將管頂處簡(jiǎn)化為完全真空環(huán)境，進(jìn)水口和管頂處伯努利方程如下：

(2)

式中：Hmax為當(dāng)?shù)刈畲筇崴叨?，lup為上水管長(zhǎng)，ζup為上水管局部水頭損失系數(shù)，H0為虹吸揚(yáng)程。

局部水頭損失系數(shù)取值如下[26]：虹吸管進(jìn)口處ζ=0.5，出口處ζ=1.0，每個(gè)彎折處ζ=0.8。

將上水管最大提水高度ΔH=Hmax-H0代入式(2)，此時(shí)虹吸流速可表示為

(3)

綜合上述3種情況，虹吸流速可表達(dá)為[18]

(4)

式(4)是通過分析虹吸流動(dòng)過程得到，是目前考慮最全面、運(yùn)算最簡(jiǎn)便的虹吸流速計(jì)算方法。相比傳統(tǒng)有壓管流公式計(jì)算誤差大的問題，其采用取兩者之間較小值的方法更適合評(píng)估不同工況下的虹吸流速。本文采用式(4)進(jìn)行理論計(jì)算。

1.2 沿程水頭損失系數(shù)λ的確定

用式(4)計(jì)算沿程水頭損失必須先確定λ的大小，而λ與流態(tài)和管壁粗糙度等因素有關(guān)。流體的流態(tài)可根據(jù)下臨界雷諾數(shù)Rec分為層流、過渡流和湍流，雷諾通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)下臨界雷諾數(shù)Rec≈2 100時(shí)流態(tài)發(fā)生動(dòng)蕩[27]，選取Rec=2 100作為分段計(jì)算λ的標(biāo)準(zhǔn)。下臨界雷諾數(shù)可由下式計(jì)算：

(5)

(6)

式中：υ為運(yùn)動(dòng)黏度，t為水溫，Re為雷諾數(shù)，v為斷面平均流速。

對(duì)于層流，λ和雷諾數(shù)Re成反比[28]，即

(7)

對(duì)于過渡流和湍流，選擇巴爾公式計(jì)算沿程水頭損失系數(shù)λ[29]。巴爾公式有以下優(yōu)點(diǎn)：考慮了管材、管徑、雷諾數(shù)等影響因素；顯式；計(jì)算簡(jiǎn)便且適用于編程；適用于各阻力區(qū)。具體公式如下

(8)

式中Δ為絕對(duì)粗糙度，與管材有關(guān)。

綜上，下列公式將用于λ的計(jì)算

(9)

虹吸流速的計(jì)算結(jié)果需將式(9)代入式(4)進(jìn)行迭代運(yùn)算后產(chǎn)生。

2 物理試驗(yàn)測(cè)試與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比

2.1 物理試驗(yàn)測(cè)試

虹吸物理模型試驗(yàn)為1∶1的足尺物理模型試驗(yàn)。圖2為物理試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，由上水管、下水管、水桶A、水桶B和補(bǔ)水管組成。虹吸管為聚氨酯(PU)材質(zhì)，管頂曲率為0.1 m。上水管放置在水桶A中，補(bǔ)水管使水箱A中的水位保持恒定。H0為管頂與進(jìn)水液面的高差(即揚(yáng)程)，H1為液面進(jìn)口與出口的高差(即水頭差)。待虹吸穩(wěn)定后，在量杯中收集一定時(shí)間的流量計(jì)算虹吸的平均流速。為減少收集流量中產(chǎn)生的誤差，本次試驗(yàn)收集流量的時(shí)間統(tǒng)一為30 min。

圖2 虹吸物理模型試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)選用3、4、5 mm 3種管徑，各管徑分別在表1所示方案中進(jìn)行一輪試驗(yàn)，共開展了75組試驗(yàn)。由于溫度和氣壓會(huì)對(duì)虹吸流速產(chǎn)生影響，同一管徑、同一揚(yáng)程H0試驗(yàn)在相同工況下進(jìn)行。表1為各管徑具體試驗(yàn)方案。Lup為上水管長(zhǎng)，Ldown為下水管長(zhǎng)。

表1 試驗(yàn)工況

2.2 試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比討論

采用不同揚(yáng)程分組，各組均包含3、4、5 mm 3種管徑，試驗(yàn)結(jié)果以及依據(jù)式(4)的計(jì)算結(jié)果如圖3～6所示。由于各組試驗(yàn)不能同時(shí)進(jìn)行，計(jì)算結(jié)果已考慮氣壓和溫度等因素產(chǎn)生的影響。此次試驗(yàn)采用聚氨酯(PU)材料，絕對(duì)粗糙度Δ取0.001 5 mm[30]。誤差率均以絕對(duì)誤差率Er表示，即

(10)

式中：vt代表實(shí)測(cè)值，vc為修正伯努利方程計(jì)算值。

圖3為H0=4.05 m時(shí)各管徑試驗(yàn)值與計(jì)算值。對(duì)于3種不同的管徑，計(jì)算值和試驗(yàn)值契合度較高。除了方案d=4 mm、H1=2.1 m的絕對(duì)誤差率Er為14.07%，其余方案的絕對(duì)誤差率Er均在6%以下。而方案d=4 mm、H1=2.1 m的雷諾數(shù)為2 544，表明流體的流態(tài)位于層流和湍流的過渡段，此時(shí)流態(tài)混亂，λ不易精確計(jì)算。

圖3 H0=4.05 m時(shí)虹吸流速計(jì)算值與試驗(yàn)值

圖4為H0=7.35 m時(shí)各管徑試驗(yàn)值與計(jì)算值，計(jì)算值和試驗(yàn)值的增長(zhǎng)趨勢(shì)基本一致。當(dāng)高差超過8.4 m時(shí)，實(shí)測(cè)值仍有增長(zhǎng)，而計(jì)算值已達(dá)到穩(wěn)定。對(duì)于d=4 mm、H1=4.2 m和d=5 mm、H1=2.1 m這兩組方案，絕對(duì)誤差率Er分別達(dá)到了17.90%和18.96%。值得注意是，此時(shí)管內(nèi)流體雷諾數(shù)為2 481和2 503，意味流體處于過渡流，管內(nèi)流態(tài)不穩(wěn)定，通過巴爾公式計(jì)算的沿程阻力比實(shí)際環(huán)境下的更大。除了上述提及的，其余方案的絕對(duì)誤差率Er均低于10%。

圖4 H0=7.35 m時(shí)虹吸流速計(jì)算值與試驗(yàn)值

圖5為H0=8.25 m時(shí)各管徑試驗(yàn)值與計(jì)算值，兩者的整體吻合度較高?？梢钥闯?，實(shí)測(cè)流速隨著高差的增大而增加，當(dāng)H1≥4.2 m時(shí)，實(shí)測(cè)值增長(zhǎng)幅度緩慢，而計(jì)算值已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定；當(dāng)處于過渡流時(shí)，例如，方案d=5 mm、H1=2.1 m的絕對(duì)誤差率Er達(dá)到了16.81%。

圖5 H0=8.25 m時(shí)虹吸流速計(jì)算值與試驗(yàn)值

圖6為H0=9.15 m時(shí)各管徑試驗(yàn)值與計(jì)算值結(jié)果和誤差率，曲線的變化趨勢(shì)基本一致。存在的問題如下：1)方案d=5 mm時(shí)，H1=3.3、4.2、8.4、16.8 m，絕對(duì)誤差率Er分別為13.31%、12.91%、12.89%、13.07%。這4個(gè)方案雷諾數(shù)為2 479～2 491，此時(shí)管內(nèi)為過渡流，計(jì)算值小于實(shí)測(cè)值，意味著基于巴爾公式計(jì)算下的阻力比流體在實(shí)際環(huán)境中受到的更大；2)對(duì)于d=3 mm時(shí)H1=0.6、1.2、1.5 m和d=4 mm時(shí)H1=0.6、1.2 m這5個(gè)方案，誤差率Er分別為40%、38%、40%、29%、33%。實(shí)測(cè)流速值較小，均小于0.2 m/s，引入無量綱雷諾數(shù)Re進(jìn)行分析，這種情況下Re較小(Re<350)，虹吸管內(nèi)液體的流態(tài)為層流。

圖6 H0=9.15 m時(shí)虹吸流速計(jì)算值與試驗(yàn)值

通過試驗(yàn)對(duì)比，巴爾公式結(jié)合修正伯努利計(jì)算方法將絕大部分方案的計(jì)算誤差率Er控制在10%以內(nèi)，說明該方法是合理的；但是，針對(duì)部分方案也出現(xiàn)了較高的誤差，主要源自兩方面：1)H0=9.15 m條件下，當(dāng)水頭差H1較小時(shí)，3、4 mm虹吸管流速較小，計(jì)算值明顯大于實(shí)測(cè)值，且最大誤差率Er為40.38%。所以，在小管徑高揚(yáng)程低高差情況下，式(4)仍存在不足，需對(duì)流速的計(jì)算方式進(jìn)行修正；2)當(dāng)虹吸管內(nèi)液流處于層流與湍流之間的過渡流時(shí)，計(jì)算值的最大絕對(duì)誤差率Er達(dá)19%，且均為負(fù)誤差率，這表明通過巴爾公式計(jì)算的沿程阻力比實(shí)際流體環(huán)境中的大。

3 流速計(jì)算誤差修正方法

3.1 高揚(yáng)程低水頭差流速計(jì)算誤差原因與修正

管壁附近存在一黏性不能忽略的邊界層，導(dǎo)致圓管層流斷面流速分布不均勻。對(duì)于3、4 mm的小管徑虹吸管，本身管徑較小，其邊界層的作用在流速較小時(shí)更加明顯，導(dǎo)致理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之間存在一定的誤差，需要對(duì)式(4)進(jìn)行修正。

通過分析可知，高誤差率方案均為高揚(yáng)程(H0≥9.15 m)低水頭差，實(shí)測(cè)值均小于計(jì)算值，且絕對(duì)誤差率Er最高達(dá)40%，這表明流體流動(dòng)過程中受到的黏滯作用更明顯。圓管層流的流速分布并不均勻，呈以管軸為中心的旋轉(zhuǎn)拋物面分布[26]。簡(jiǎn)化計(jì)算過程，截取二維過流斷面，如圖7所示，對(duì)整個(gè)過流斷面進(jìn)行平均水頭損失的計(jì)算，推導(dǎo)新的理論計(jì)算公式。

圖7 層流斷面示意

圓管層流理論由哈根和泊肅葉提出，二維斷面流速分布如下[26]

(11)

式中：r為到管軸中心的距離，r0為虹吸管半徑，umax為斷面最大流速。

(12)

式中：υ為運(yùn)動(dòng)黏度，g為重力加速度，J為水力坡降，且最大流速umax位于管軸處。

水力坡降是沿水流方向單位滲透途徑上的水頭損失，與沿程水頭損失和沿程長(zhǎng)度有關(guān)。在圓管層流中沿程水頭損失與平均流速的一次方成正比，即

(13)

式中：μ為水的黏滯系數(shù)，v為平均流速，l為管長(zhǎng)。

(14)

通過式(14)，層流圓管斷面不同位置的水頭損失hf可表示為

(15)

對(duì)不同位置的水頭損失進(jìn)行積分，可得整個(gè)斷面的平均沿程水頭損失，即

(16)

將式(14)、(15)代入式(16)，可得修正后的流速計(jì)算公式，即

(17)

針對(duì)細(xì)管徑高揚(yáng)程低水頭差條件下邊界層作用導(dǎo)致計(jì)算方法不適用的問題，提出的式(17)將在后續(xù)章節(jié)中用于修正計(jì)算流速來降低與實(shí)測(cè)值之間的誤差。

3.2 過渡流計(jì)算誤差修正

過渡流的研究一直是流體力學(xué)領(lǐng)域的重大難題。當(dāng)處于過渡流時(shí)，管內(nèi)流態(tài)混亂，無法精確計(jì)算沿程水頭損失系數(shù)λ。通過巴爾公式對(duì)流速進(jìn)行迭代運(yùn)算的計(jì)算值小于實(shí)測(cè)值，表明計(jì)算過程中的沿程阻力比管內(nèi)實(shí)際環(huán)境中的更大。表2為8組處于過渡流時(shí)的方案，列出各方案計(jì)算和實(shí)測(cè)的流速、雷諾數(shù)和沿程水頭損失系數(shù)。由表2可知，高誤差率方案計(jì)算值的雷諾數(shù)Rec均處于2 000～2 200，當(dāng)下臨界雷諾數(shù)Re≈2 100時(shí)，流態(tài)由層流逐漸向湍流開始過渡。此時(shí)，基于巴爾公式的計(jì)算存在一定的誤差，考慮在巴爾公式中引入折減系數(shù)a對(duì)臨界雷諾區(qū)(2 000≤Rec≤2 200)的方案進(jìn)行重新迭代計(jì)算。

表2 高誤差率方案物理參數(shù)統(tǒng)計(jì)

由表2可知，處于臨界雷諾區(qū)時(shí)，計(jì)算值的沿程水頭損失系數(shù)明顯大于實(shí)測(cè)值的沿程水頭損失系數(shù)，這是由巴爾公式計(jì)算的局限性導(dǎo)致的。對(duì)兩者進(jìn)行相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)λt與λc的比均在0.7左右，可用下式表示：

λt≈0.71λc

(18)

將折減系數(shù)a=0.71引入式(8)中，新的經(jīng)驗(yàn)巴爾公式如下：

(19)

重新審視計(jì)算過程，需對(duì)計(jì)算值的雷諾數(shù)進(jìn)行判斷驗(yàn)證。當(dāng)2 000≤Rec≤2 200時(shí)，在巴爾公式中引入折減系數(shù)a進(jìn)行重新運(yùn)算。最后，新的計(jì)算流程如圖8所示。

圖8 過渡流計(jì)算流程

3.3 流速修正計(jì)算結(jié)果分析

采用提出的修正計(jì)算方法，獲得各管徑在不同揚(yáng)程下的計(jì)算值和實(shí)測(cè)值，如圖9(a)～(d)所示。表3為修正前后的絕對(duì)誤差率對(duì)比，高揚(yáng)程低水頭差情況下，整體的絕對(duì)誤差率Er從29%～40%降低至0～6%，對(duì)于過渡流方案的絕對(duì)誤差率Er均控制在5%以下。結(jié)果表明，計(jì)算值和實(shí)測(cè)值之間的吻合程度較高，具有較好的一致性，有效提高了計(jì)算精度。

表3 計(jì)算值修正前后誤差對(duì)比

圖9 虹吸流速修正計(jì)算值與實(shí)測(cè)值

4 結(jié) 論

對(duì)不同工況下的虹吸流速展開研究，提出流速的修正計(jì)算公式，有效提高了細(xì)管徑(d≤5 mm)虹吸流速的計(jì)算精度，主要結(jié)論如下：

1)基于虹吸流動(dòng)過程的分析，確定了流速計(jì)算的參數(shù)和適用于虹吸迭代運(yùn)算的沿程水頭損失系數(shù)計(jì)算公式，并通過物理試驗(yàn)驗(yàn)證了其合理性。

2)發(fā)現(xiàn)高揚(yáng)程低水頭差虹吸流速計(jì)算誤差較大是由于忽略了管壁邊界層作用，進(jìn)而提出了利用斷面平均水頭損失反映邊界層作用影響的虹吸圓管層流流速計(jì)算公式，物理試驗(yàn)表明，公式修正后絕對(duì)誤差率Er從最大的40%降低到10%以內(nèi)。

3)針對(duì)過渡流(2 000≤Rec≤2 200)，引入折減系數(shù)a修正巴爾公式，物理試驗(yàn)表明，該修正公式的絕對(duì)誤差率Er在6%以內(nèi)，修正效果良好。