從差值0.5的來(lái)龍去脈說(shuō)開去

江蘇灌南縣蘇州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校（223500） 楊蘇麗

在“板上釘釘圍多邊形”的一次觀摩課上，學(xué)生人手一塊釘子板，一位學(xué)生圍出了這樣的圖形（如圖1）。

圖1

圖形邊線穿過(guò)9枚釘子，圖形內(nèi)圍著12枚釘子，運(yùn)用皮克公式可算得這個(gè)圖形的面積是9÷2+12-1=15.5。而用外包的矩形減去剩余的兩個(gè)三角形的面積之和，所得面積是8×6-（8×6÷2+8×2÷2）=16。用組合法算出的面積與用皮克公式算出的面積相差0.5，授課教師一時(shí)間也不知道該怎么解釋，只能含糊帶過(guò)。

可是，學(xué)生很快又發(fā)現(xiàn)了不尋常的結(jié)果：如圖2，套用皮克公式計(jì)算出的面積是5，而用數(shù)方格的方法算出的面積是4.5，兩者也相差0.5。對(duì)此，授課教師以凹多邊形不適用這個(gè)公式為由搪塞過(guò)去。不一會(huì)兒，又有學(xué)生提出異議：“老師，這個(gè)凹多邊形（如圖3）為什么不適用皮克公式？”授課教師再次以凹多邊形超出學(xué)習(xí)范圍為由，敷衍過(guò)去，并順手將這個(gè)學(xué)生繪制的凹多邊形改成了凸多邊形（如圖4）。

圖2

圖3

圖4

本節(jié)課結(jié)束前，授課教師出示一個(gè)多邊形（如圖5），讓學(xué)生用皮克公式嘗試算出其面積，感受用皮克公式計(jì)算面積的便捷性。這時(shí)，一位學(xué)生小聲嘀咕：“數(shù)方格法也很方便。”下課鈴聲響起后，聽課教師詢問(wèn)學(xué)生還有什么問(wèn)題，有位學(xué)生說(shuō)道：“根據(jù)皮克公式，當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2；當(dāng)a=2時(shí)，S=n÷2+1；當(dāng)a=3時(shí)，S=n÷2+2……為什么圖形內(nèi)的釘子每增加1枚，相應(yīng)的多邊形的面積就增加1個(gè)單位？”這個(gè)問(wèn)題出乎聽課教師的意料，授課教師也一時(shí)錯(cuò)愕，說(shuō)不出個(gè)所以然。

圖5

課后，授課教師對(duì)計(jì)算圖1的圖形面積出現(xiàn)的0.5的面積差始終百思不得其解：“這個(gè)0.5到底是怎么造成的？”他與其他教師共同研究：有人說(shuō)是可能哪里算漏了；有人提議改用數(shù)方格的方法來(lái)計(jì)算，卻發(fā)現(xiàn)方格很難湊整，得出的結(jié)果也只是一個(gè)近似值；有人覺得是釘子板不規(guī)范……眾說(shuō)紛紜之時(shí)，筆者問(wèn)了一句：“出示圖5的目的是什么？”授課教師迅速回答：“一是讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用皮克公式，二是突顯皮克公式的便捷性?！碑?dāng)筆者告訴他學(xué)生認(rèn)為用數(shù)方格的方法很方便時(shí)，他沉吟片刻后說(shuō)：“數(shù)方格很方便，那用皮克公式豈不是多此一舉，自找麻煩？”筆者接著問(wèn)：“圖形內(nèi)多1枚釘子，多邊形的面積就會(huì)多1個(gè)單位，這兩個(gè)‘1’的意義相同嗎？”他果斷地表示否定，并表示前一個(gè)“1”表示1枚釘子，后一個(gè)‘1’表示1個(gè)基本的面積單位?！薄澳乔昂蠖际嵌喑鲆粋€(gè)1，這怎么解釋？”筆者追問(wèn)。授課教師被問(wèn)得啞口無(wú)言。

一、尋找問(wèn)題根源

“釘子板上的多邊形”是蘇教版教材新增的規(guī)律探索內(nèi)容，這些規(guī)律本就是客觀存在的，只是需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)去探究提煉。與一些人為制造的排列規(guī)律不同，它更能激起學(xué)生的探究興趣。因此，許多教師熱衷于選擇這一內(nèi)容作為研究課。筆者在一個(gè)學(xué)期內(nèi)聽了這一內(nèi)容的好幾次課，幾乎每次課都會(huì)出現(xiàn)一些生成性問(wèn)題，這些問(wèn)題不僅難倒了學(xué)生，還難倒了教師。教師被難倒，究其原因是教師對(duì)問(wèn)題研究不透徹。因此，教書，教師必須鉆研教材，只有自己有一桶水，才能倒給學(xué)生一碗水。

只有找到知識(shí)本源，才能為學(xué)生徹底答疑解惑。通過(guò)研究相關(guān)文獻(xiàn)資料，不難知道“釘子板上的多邊形”這一知識(shí)來(lái)源于“格點(diǎn)圖上的多邊形”。弄清這一淵源，將釘子板圖轉(zhuǎn)化成點(diǎn)陣圖，用兩種方法求圖1中的三角形的面積存在0.5的差值的真相也就水落石出了：圖形內(nèi)的點(diǎn)跑出多邊形之外，處于邊線上的釘子數(shù)是9而非10。也就是說(shuō)，之所以出現(xiàn)差0.5，是因?yàn)樵卺斪影迳蠂鷪D具有模糊性。

那么，教學(xué)中如何同時(shí)滿足“學(xué)科”與“科學(xué)”的需要，既做到生動(dòng)有趣又做到嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)？有一種辦法就是對(duì)素材進(jìn)行改造：一是新課伊始，在釘子板上圍出多邊形后，及時(shí)將釘子板圖轉(zhuǎn)換成點(diǎn)陣圖；二是在課堂即將結(jié)束，教師介紹皮克公式時(shí)，及時(shí)把點(diǎn)陣圖轉(zhuǎn)換成格點(diǎn)圖。這樣一來(lái)，圖1帶來(lái)的麻煩就會(huì)迎刃而解。而針對(duì)圖2生成的問(wèn)題“凹多邊形不適用這個(gè)公式”，果真如此嗎？說(shuō)到底，這一問(wèn)題依然屬于“是什么”的問(wèn)題。根據(jù)皮克公式的表述——“設(shè)Y為一個(gè)簡(jiǎn)單多邊形，其頂點(diǎn)全部落在格點(diǎn)上。若q為多邊形Y內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)，p為多邊形Y各邊上的格點(diǎn)數(shù)，則Y的面積不難發(fā)現(xiàn)，皮克公式適用于簡(jiǎn)單多邊形，不分凹凸。根據(jù)凹多邊形的定義“把一個(gè)各邊不自交的多邊形，任意一邊延長(zhǎng)為直線，如果多邊形不是在這條直線的同一側(cè)，則這個(gè)多邊形可以稱之為凹多邊形”中的“各邊不自交”來(lái)判斷，圖2不屬于凹多邊形，一般認(rèn)為它是組合圖形。本課教學(xué)確實(shí)與凹多邊形不沾邊，所以素材應(yīng)該以凸多邊形為主體。但是，教師一旦放手讓學(xué)生自主探究，學(xué)生天馬行空的想象力迸發(fā)，就會(huì)冒出很多奇思妙想，畫出凹多邊形完全在情理之中，畫出像圖2這樣的多邊形自然不足為奇。

對(duì)于在釘子板上圍出多邊形，然后計(jì)算多邊形的面積，學(xué)生一般會(huì)想到借用組合法或者割補(bǔ)法去計(jì)算，因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)三角形、平行四邊形等圖形的面積時(shí)，學(xué)生學(xué)會(huì)了用割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，而釘子數(shù)則具有計(jì)量邊長(zhǎng)與高度的功能，一排釘子的數(shù)量就是所在邊的長(zhǎng)度，當(dāng)然，這個(gè)相鄰釘子之間的間距必須相等。可是根據(jù)皮克公式計(jì)算出的面積與運(yùn)用幾何轉(zhuǎn)化法計(jì)算出的面積存在出入，這種強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突讓學(xué)生對(duì)皮克公式產(chǎn)生了懷疑。為了一探究竟，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究動(dòng)機(jī)，發(fā)現(xiàn)皮克公式中的點(diǎn)數(shù)和幾何法中的邊長(zhǎng)其實(shí)是一回事，而問(wèn)題出在釘子板圖的粗糙性：少圍了1枚釘子，這就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出現(xiàn)誤差。因此，將釘子板圖換成格點(diǎn)圖，就能夠?qū)缀畏ê推た斯酵昝澜y(tǒng)一。

二、追溯知識(shí)原理，搞清為什么

仍以上述案例為例，在學(xué)生質(zhì)疑“為什么圖形內(nèi)的釘子每增加1枚，相應(yīng)的多邊形面積就增加1個(gè)單位”，尋找問(wèn)題根源，也就是搞清楚“為什么”時(shí)，教師或是沒(méi)有這個(gè)探索意識(shí)，或是壓根就不知道，又或是知道但是沒(méi)有把握講清楚而作罷。然而，既然學(xué)生已經(jīng)明確提出疑問(wèn)，教師就要勇敢面對(duì)。實(shí)際上，任何知識(shí)都繞不開“是什么”“為什么”“有什么用”三大要旨。盡管這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)只需要引導(dǎo)學(xué)生歸納出釘子板上的多邊形的規(guī)律，充分經(jīng)歷找的過(guò)程，而這個(gè)探索規(guī)律的過(guò)程，主要是在視覺上發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化一致——“圖形內(nèi)的釘子每增加1枚，相應(yīng)的多邊形面積就增加1個(gè)單位”，至于是因?yàn)槭裁?，學(xué)生還無(wú)法一探究竟。那么，受限于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，在無(wú)法清晰揭示的情況下，學(xué)生質(zhì)疑時(shí)，教師該如何應(yīng)對(duì)？筆者以為，教師可以在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候點(diǎn)撥學(xué)生：一方面，通過(guò)多媒體動(dòng)圖演示（如圖6），進(jìn)行適當(dāng)?shù)臐B透，直觀展示圖形內(nèi)釘子數(shù)多1之后，多邊形多出的1個(gè)面積單位在哪里，從而弄清事情的原委，消除心頭疑慮；另一方面，教師正好通過(guò)這一細(xì)節(jié)，潛移默化地引領(lǐng)學(xué)生由“a=1”向“a=2、a=3”等情況過(guò)渡。

圖6

通過(guò)對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的癥結(jié)在于為什么圖形內(nèi)點(diǎn)數(shù)（釘子數(shù)）加1，多邊形就會(huì)多1個(gè)面積單位，兩者都是多1，但是意義不一樣。為什么會(huì)這樣呢？想從理論上證明這個(gè)問(wèn)題十分困難，畫圖直觀展示才是解決之道。然而，學(xué)生沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)可依，意欲圖解，必須從最基礎(chǔ)的圖例入手，一步步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后推廣到一般情況，這是一個(gè)合情推理的過(guò)程。通過(guò)圖示可以發(fā)現(xiàn)，從a=1到a=2（如圖6），內(nèi)部增加了一個(gè)點(diǎn)，從幾何學(xué)上講，向下擴(kuò)增了一個(gè)三角形（陰影部分），這個(gè)新增的三角形的底和原來(lái)的一樣，高恰好為1格，于是新增面積為2×1÷2=1，即新增一個(gè)高度為1的三角形；從皮克公式角度出發(fā)，內(nèi)部增加一個(gè)點(diǎn)，邊緣“吐出”一個(gè)點(diǎn)，同時(shí)“吞并”一個(gè)點(diǎn)，兩相抵消，邊線上的點(diǎn)數(shù)并未改變，于是根據(jù)皮克公式：新圖形的面積，比原圖形的面積

三、找到知識(shí)之用，搞清有何用

上述案例中，授課教師讓學(xué)生用皮克公式計(jì)算圖形面積后總結(jié)，初衷是體現(xiàn)這一公式的優(yōu)越性。在與學(xué)生交流后，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生有了新的困惑：以前學(xué)過(guò)一些常用的面積公式，也掌握了割補(bǔ)法、數(shù)格法，那皮克公式還有何用？能比數(shù)方格法管用嗎？確實(shí)，雖然本課的目標(biāo)是探究規(guī)律本身，讓學(xué)生了解到有這個(gè)規(guī)律存在，但是一旦找到規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律就會(huì)擺到眼前，即皮克公式有什么用。上述案例中，授課教師想到了，但是沒(méi)有講透，學(xué)生反駁說(shuō)“數(shù)方格法也很方便”，就說(shuō)明授課教師所選的例子帶有誤導(dǎo)性，不夠典型。教師應(yīng)該出示一個(gè)用公式和數(shù)方格都很難推算面積的格點(diǎn)多邊形（如圖7），讓學(xué)生切身體會(huì)到皮克公式真的很管用。

圖7

其實(shí)，皮克公式與數(shù)方格法和幾何公式法之間有著緊密聯(lián)系：如果將格點(diǎn)間距縮小，直到相鄰點(diǎn)的間距變得無(wú)窮小，也就是“微分”，皮克公式就變成了一般的面積公式。在眾多展示課中，往往出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：學(xué)生只關(guān)注邊上的釘子數(shù)，不顧圖形內(nèi)的釘子數(shù)。其實(shí)，這種現(xiàn)象符合學(xué)生的思維邏輯，因?yàn)閷W(xué)生掌握運(yùn)用的一般面積公式都是運(yùn)用邊長(zhǎng)推算的。例如，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，平行四邊形的面積=底×高。對(duì)此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸本源：把多邊形涂色，直觀地展示面積大小就是格子數(shù)的多少，而格子數(shù)的多少與圖形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。

為什么要學(xué)皮克公式？圖7就很好解釋了這個(gè)問(wèn)題。在點(diǎn)陣圖中，如果一些幾何圖形的擺放位置是歪斜的，那么其邊長(zhǎng)或者高的長(zhǎng)度等就不容易推測(cè)出來(lái)。但是，此時(shí)其內(nèi)部包含的點(diǎn)數(shù)和邊經(jīng)過(guò)的點(diǎn)數(shù)依然可以清晰地?cái)?shù)出來(lái)，仍然可以運(yùn)用皮克公式算出其面積。另外，教材中運(yùn)用割補(bǔ)法驗(yàn)證多邊形（如平行四邊形面積公式推導(dǎo)時(shí)）面積轉(zhuǎn)化是否正確時(shí)，都是采用數(shù)方格的方法，數(shù)方格會(huì)遇到半格、大半格、小半格、對(duì)角線長(zhǎng)度等難題，所以多采用估算的辦法，這其實(shí)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，如果改用皮克公式，則可以堵住這個(gè)漏洞。

至此，學(xué)生徹底弄明白了皮克公式的來(lái)龍去脈，但還可能會(huì)產(chǎn)生新的困惑：皮克公式到底在什么地方能派上用場(chǎng)？對(duì)此，教師可以講一個(gè)生動(dòng)的故事：數(shù)年前，一場(chǎng)數(shù)學(xué)研討會(huì)召開，由于會(huì)議地點(diǎn)是在一座山中，為了凸顯地方特色，主辦方展示了一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用的例子，那就是利用航拍，根據(jù)樹木的分布密度來(lái)確定森林面積大小。其具體方法是用點(diǎn)陣薄膜覆蓋在地圖上，再根據(jù)皮克公式求出面積，然后按照一定比例尺擴(kuò)大還原，就是森林面積。講完這個(gè)故事，教師可以讓學(xué)生繼續(xù)思考：這樣的算法會(huì)存在誤差嗎？為什么？

總而言之，雖然“釘子板上的多邊形”的教學(xué)目標(biāo)只是尋找規(guī)律，但可能冷不丁就會(huì)碰到“釘子”?！芭龅结斪訒r(shí)，要向釘子學(xué)習(xí)”，遇到難題，就要想辦法攻克，查找真相，這樣才能有效化解課堂中的突發(fā)狀況。