情景為線素養(yǎng)為核 構(gòu)建有效數(shù)學(xué)課堂
——以“分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理”教學(xué)設(shè)計為例

王 暉

(金華第一中學(xué),浙江 金華 321000)

1 教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)解析

“分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理”是高中《數(shù)學(xué)(選修3)》第六章“計數(shù)原理”的起始課.計數(shù)問題是數(shù)學(xué)中重要的研究對象之一，也是人們在生產(chǎn)生活實踐活動中常見的問題.人們在解決這類問題中獲得了認(rèn)識客觀世界的一種最基本的數(shù)學(xué)方法.處理這類問題是一個研究數(shù)學(xué)和抽象數(shù)學(xué)原理的過程，解決這類問題的方法包含了求和法則、乘積法則.當(dāng)需要完成一件事情時，先把它看成一個復(fù)雜的抽象問題，然后用辨析、分解、簡化的方式來處理，包括分“類別”型即分類加法計數(shù)原理和分“步驟”型即分步乘法計數(shù)原理兩種.這兩個計數(shù)原理蘊(yùn)涵了從具體到抽象、從特殊到一般，以及分類、類比與化歸的思想.

本節(jié)課重在從計數(shù)問題的實際例子出發(fā)，概括出分類加法計數(shù)原理，然后通過類比的方法得出分步乘法計數(shù)原理.本節(jié)課在教學(xué)上探索以情景、知識為線，以數(shù)學(xué)素養(yǎng)為核，通過創(chuàng)建有效有趣的課堂方式，引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中的計數(shù)問題，幫助學(xué)生從用枚舉法解決計數(shù)問題上升到建立更一般有效的計數(shù)原理來解決問題，把朦朧的數(shù)學(xué)意識上升到理性的認(rèn)知.從知識的連續(xù)性與整體性角度來看，本章遵循“概括原理—抽象模型—推導(dǎo)公式”的數(shù)學(xué)規(guī)律，在原理的基礎(chǔ)上建立了排列組合模型和基本的計算公式，而這些模型、公式在解決計數(shù)問題時會更加簡潔、方便、實用，體現(xiàn)了知識內(nèi)容的層層遞進(jìn)與螺旋上升.這些內(nèi)容也是今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計及進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)內(nèi)容的知識理論基礎(chǔ).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，要求“基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,提出合適的數(shù)學(xué)問題,引發(fā)學(xué)生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”.本教學(xué)設(shè)計主要是創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)情景，以“問題鏈”的方式提出合適的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中，感知內(nèi)容的必要性，明確基本思路與方法，提煉問題蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)原理，掌握研究數(shù)學(xué)的基本范式.教學(xué)過程的核心是“發(fā)現(xiàn)、抽象原理”，引導(dǎo)學(xué)生觀察生活、歸納抽象、建立模型、學(xué)會表達(dá)、主動應(yīng)用，有效提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：通過具體實例歸納類比、抽象概括兩個基本計數(shù)原理，并解決實際的問題.

2 教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析

教學(xué)目標(biāo)：理解兩個原理，會用兩個原理解決一些簡單的計數(shù)問題.

目標(biāo)解析：1)通過具體的實例，抽象概括兩個計數(shù)原理；2)理解完成一件事情的含義，明確分類與分步；3)理解分類之中有分步、分步之中有分類等問題；4)觀察生活，了解生活與數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué).

3 教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生在義務(wù)教育階段已經(jīng)具備了一定的計數(shù)能力，對樹形圖、列舉法計數(shù)都有一定的了解，擁有觀察、思考、分析的能力，具備學(xué)習(xí)本節(jié)課所需的知識.

但“完成一件事情”是計數(shù)原理中讓學(xué)生感到抽象且難以理解的概念，學(xué)生難以抓住要解決問題的主要特征，很難正確區(qū)分“分類”與“分步”.

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)要完成的一件事，理解這一件事的含義，明確“分類”與“分步”，熟練選擇兩個計數(shù)原理解決問題.

4 教學(xué)支持條件

教師準(zhǔn)備：多媒體課件(以PowerPoint為平臺)等教具.

學(xué)生準(zhǔn)備：筆、紙等學(xué)具.

5 教學(xué)過程設(shè)計

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說：“萬物皆數(shù).”“數(shù)”是數(shù)學(xué)的主要研究對象之一，它起源于“數(shù)”(shǔ)，即“計數(shù)”.計數(shù)在人類還是原始社會時就開始了，一直到現(xiàn)代文明，都是非常重要的人類活動.隨著現(xiàn)在信息化的發(fā)展，我們會面臨各種復(fù)雜甚至大型的“計數(shù)”問題，因此僅用枚舉法計數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，也是比較麻煩甚至困難的.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽曾說：“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發(fā)其一端而已.又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣.”當(dāng)我們面對新的更加復(fù)雜困難的問題時，要學(xué)會從同類型的問題里尋找主要的特征，通過深入剖析，在歸納、猜想、抽象的基礎(chǔ)上得到更一般的方法原理.本節(jié)課我們通過解決現(xiàn)實中實際的問題，探尋出“計數(shù)”的簡便易行的方法，即兩個基本計數(shù)原理.

5.1 觀察生活，問題引入

呈現(xiàn)車輛保有量統(tǒng)計數(shù)據(jù)及公路汽車行駛的圖片.

問題1杭州市車牌號碼是浙A×××××,后面可以是阿拉伯?dāng)?shù)字也可以是英文字母，其中數(shù)字來自0～9這10個數(shù)字,字母是A～Z這26個英文字母，問：可以產(chǎn)生多少個不同的車牌號碼？

意圖從學(xué)生熟悉的車牌實例出發(fā)，讓學(xué)生意識到用枚舉法解決此類問題的不可能性，已有的知識方法不能解決新的復(fù)雜問題，認(rèn)知與實際問題起了沖突，需要探尋更簡便、有效的方法.

師生活動學(xué)生思考回答，教師參與討論.

5.2 實例探究，歸納原理

問題2新一屆亞運(yùn)會將在杭州舉行，小明準(zhǔn)備從A地到杭州觀看亞運(yùn)會開幕式，在一天之中，可以乘火車和汽車兩種交通工具去，其中火車有12趟，汽車有8班，那么小明從A地到杭州共有多少種不同的走法？

意圖從學(xué)生感興趣的事例為切入點(diǎn)，設(shè)計可以感受的情景，初步體會分類加法計數(shù)原理.

師生活動學(xué)生思考回答，小明從A地到杭州有兩類不同的方案，乘坐火車或乘坐汽車，其中火車有12趟，汽車有8班，總共有12+8=20種不同的方法.

問題3亞運(yùn)會主指揮室有很多座位，如果用26個英文字母或0～9這10個數(shù)字給座位編號，總共能編出多少個不同的座位號碼？

意圖以亞運(yùn)會為主線，層層遞進(jìn)，給學(xué)生提供典型例證，發(fā)現(xiàn)不同背景下的計數(shù)問題的計數(shù)方法是一樣的.

師生活動學(xué)生思考回答，因為給座位編號可以用26個英文字母，有26種，也可以用0～9這10個數(shù)字，有10種，所以總共有26+10=36種.

探究1問題2和問題3具有什么樣的共同特征？

意圖引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的主要特征，并能概括出來，敘述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)，為抽象概括分類加法計數(shù)原理做準(zhǔn)備.

師生活動學(xué)生自主思考，接著以4人小組為單位展開討論，通過教師引導(dǎo)，讓學(xué)生結(jié)合上述兩個實際的例子總結(jié)得到如下共同特征：

1)對“完成一件事”有不同的方法進(jìn)行計數(shù).

2)該計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：

①確定分類標(biāo)準(zhǔn)，分為兩類，每類都能單獨(dú)完成這件事；

②分別計算各類情況的個數(shù)；

③各類情況個數(shù)相加.

問題4你能舉一些生活中類似的例子嗎？

意圖學(xué)生自己舉例說明，有利于學(xué)生理解“完成一件事”這一抽象概念，進(jìn)一步明確分類計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié).

師生活動學(xué)生舉例，教師引導(dǎo)學(xué)生分析特征.

問題5你能用自己的語言歸納并簡潔概括這類問題的解決方法嗎？需要明確哪些要點(diǎn)？

意圖歸納概括分類加法計數(shù)原理，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會提煉，學(xué)會表達(dá).

師生活動學(xué)生思考回答.教師板書教材第2頁的定義.一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：完成一件事情有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.學(xué)生回答，關(guān)鍵是明確“分類”與“加法”.

問題6杭州亞運(yùn)村商店出售各種不同的明信片，其中印有亞運(yùn)吉祥物的不同明信片有6套，風(fēng)景類的不同明信片有10套，小明從中選一套共有多少種不同的選法？

意圖鞏固概念，加深對原理的理解，會用原理解決簡單問題.

師生活動學(xué)生自主分析完成本題，師生共同分析要完成的“一件事”是“選擇一套明信片”，完成它可分2類，每類都能單獨(dú)完成這件事，符合分類加法計數(shù)原理的特征，共有10+6=16種選法.

探究2上述分類加法計數(shù)原理，能否推廣到一般情形，應(yīng)該如何表述？

意圖培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，體會從特殊到一般的思想.引導(dǎo)學(xué)生借助實例理解分類加法計數(shù)原理的推廣形式，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會正確表述數(shù)學(xué)原理.

師生活動學(xué)生先自主思考，然后討論匯報，給出分類加法計數(shù)原理的一般情形的表述.教師適時給出實例：杭州亞運(yùn)村商店出售各種不同的明信片，其中印有亞運(yùn)吉祥物的不同明信片有6套，風(fēng)景類的不同明信片有10套，歷史類的不同明信片有8套，小明從中選一套共有6+10+8=24種不同的選法.

問題7亞運(yùn)會主指揮室有很多座位,如果用A,B,C,D,E,F這6個大寫英文字母和1～9這9個數(shù)字，以英文字母和一個作為小標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成的方式給座位編號，這樣的號碼總共能編出多少種？

意圖承上啟下，既鞏固加法原理，又為引出乘法原理做鋪墊，領(lǐng)會“分步”與“乘法”的關(guān)系.

師生活動學(xué)生思考回答，教師適時引出樹狀圖，引導(dǎo)學(xué)生利用圖形直觀分析,并列出所有可能的情況，結(jié)合“簡化運(yùn)算”獲得問題的“相乘”求法.

探究3你能說說上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)嗎？

意圖分析分步計數(shù)問題的特征，敘述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)，為類比概括分步乘法計數(shù)原理做準(zhǔn)備.

師生活動學(xué)生類比分類加法計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)，得出分步乘法計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)，教師參與討論.

1)對“完成一件事”的不同方法進(jìn)行計數(shù).

2)該計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：

①確定分步標(biāo)準(zhǔn)，分為兩步，只有兩步都完成，事情才完成；

②分別計算各步情況的個數(shù)；

③各步情況個數(shù)相乘.

問題8你能舉一些生活中類似的例子嗎？

意圖學(xué)生自己舉例說明，明確分步乘法計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié).

師生活動學(xué)生舉例，師生結(jié)合實例分析其特征.

問題9通過類比分類加法計數(shù)原理，結(jié)合實例，你能概括出分步乘法計數(shù)原理嗎？

意圖引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法，推進(jìn)知識的發(fā)展，概括出分步乘法計數(shù)原理.

師生活動學(xué)生類比概括回答.教師參與討論補(bǔ)充后板書教材第3頁的定義.一般地，有如下分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步中有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.學(xué)生回答，關(guān)鍵是明確“分步”與“乘法”.

探究4上述分步乘法計數(shù)原理，能否推廣到一般情形，應(yīng)該如何表述？

意圖培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，體會從特殊到一般的思想，借助實例理解分步乘法計數(shù)原理的推廣形式，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會正確地表述數(shù)學(xué)原理.

師生活動學(xué)生先舉例分析，然后給出分步乘法計數(shù)原理的一般情形的表述.教師適時給出實例：亞運(yùn)會將在杭州召開，假設(shè)第一天小明準(zhǔn)備從射擊、體操、擊劍中選一個項目觀看，第二天準(zhǔn)備從游泳、排球中選一個項目觀看，第三天準(zhǔn)備從網(wǎng)球、足球、籃球中選一個項目觀看，那么小明在這3天中共有3×2×3=18種不同的節(jié)目觀看方式.

5.3 比較辨析，內(nèi)化理解

問題10分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的異同點(diǎn)是什么？

意圖對兩個相近相似的概念進(jìn)行比較辨析可以深刻地理解概念的內(nèi)涵，探尋到數(shù)學(xué)原理的本質(zhì).因此引導(dǎo)學(xué)生辨析理解兩個計數(shù)原理，明確“完成一件事”的具體含義，是如何完成的，明晰“類類獨(dú)立、步步相連”的要求.

師生活動學(xué)生思考回答，師生共同補(bǔ)充完善.

5.4 演練反饋，鞏固提升

例1杭州亞運(yùn)會的一組志愿者全部通曉中文，并且每個志愿者還都通曉英語、法語、日語中的一種，其中會英語的志愿者有5人，會法語的志愿者有3人，會日語的志愿者有2人.

1)從這一組志愿者選取1人,共有多少種不同選法?

2)從會英語、法語、日語的志愿者中分別選取1人,共有多少種不同選法?

3)從中任選2名會不同種外語的志愿者，共有多少種不同選法?

4)因工作安排需要，上午需從會英語或法語的志愿者中選1人，下午需從會日語的志愿者中選1人，則共有多少種不同選法?

意圖通過該例題的設(shè)計，加深學(xué)生對于兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題的理解，明確是分類完成還是分步完成，同時還要能夠處理分類之中有分步、分步之中有分類的情況.

師生活動學(xué)生思考作答，師生相互合作交流.

問題11解決計數(shù)問題的一般思維過程是怎樣的？

意圖概括解決計數(shù)問題的一般步驟.

師生活動學(xué)生思考概括，教師加以補(bǔ)充完善.

練習(xí)1杭州地區(qū)的車牌號碼是浙A×××××,后面可以是數(shù)字也可以是英文字母，其中數(shù)字來自0～9這10個數(shù)字,字母是A～Z這26個英文字母，問：可以產(chǎn)生多少個不同的車牌號碼？

變式1若要求數(shù)字與字母均不重復(fù),則又有多少種不同的車牌號碼？

意圖學(xué)生在學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理后，再次提出課堂開始時的問題，學(xué)生可以比較輕松地應(yīng)用所學(xué)原理解決它，讓學(xué)生在課堂教學(xué)中有收獲感和成就感.同時引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中出現(xiàn)的各類數(shù)學(xué)問題，能將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并通過建立模型或應(yīng)用數(shù)學(xué)原理解決實際問題.

師生活動請學(xué)生上臺講解，其他學(xué)生補(bǔ)充，教師歸納點(diǎn)評.

5.5 總結(jié)反思，升華認(rèn)知

1)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些方法？

2)上述方法體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

意圖培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生用自己的語言簡潔地概括所研究的問題，并有意訓(xùn)練學(xué)生將具體問題上升到抽象“思想”的能力.

師生活動學(xué)生發(fā)言，教師點(diǎn)評完善，歸納概括兩個計數(shù)原理的概念，體會發(fā)現(xiàn)、探索、類比、歸納的思維過程.最后教師以一首詩“世事紛紛一局棋，分類分步解千愁.獨(dú)立相連一辨明，心開慧解樂無憂.”結(jié)尾，提升數(shù)學(xué)文化的涵養(yǎng).

6 目標(biāo)檢測設(shè)計

1)所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個？

2)n元集合A={a1,a2,…,an}的子集有多少個？

3)從生活中找尋運(yùn)用兩個計數(shù)原理解決的實例并相互交流.

意圖通過設(shè)置課后練習(xí)探究，鞏固對分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的理解，完成課堂、課外的正向反饋，并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的視角、數(shù)學(xué)的思維探尋生活中無處不在的數(shù)學(xué)問題并解決問題，即“學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”.

7 設(shè)計說明

本節(jié)課是計數(shù)原理的起始課，主要是學(xué)習(xí)兩個計數(shù)原理，屬于概念教學(xué).如何引出問題，然后在解決問題的過程中，從材料數(shù)據(jù)、情景、問題中提煉概念，抽象概括成定義原理，使得枯燥的概念教學(xué)變得生動活潑，從而使學(xué)生更好地理解掌握概念、原理，是本節(jié)課設(shè)計的基本要求.本節(jié)課的教學(xué)過程按“兩條主線，一個核心”展開.兩條主線，一是情景線，二是知識線，知識線與情景線相互交融，齊頭并進(jìn)；一個核心就是數(shù)學(xué)素養(yǎng).

情景線.首先結(jié)合生活中隨處可見的例子(如汽車的車牌號的數(shù)量)，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)引出一大類問題即計數(shù)問題.然后結(jié)合杭州亞運(yùn)會這一熱門話題，以亞運(yùn)會中一系列的計數(shù)問題，以組織者、參與者的視角來解決具體的問題，把課堂學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化成一場愉快的“亞運(yùn)之旅”，帶著學(xué)生在輕松生動的環(huán)境中學(xué)習(xí)知識.

知識線.通過給出生活中的計數(shù)問題，基于“簡化運(yùn)算”的思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察，從眾多例子的共同特征中抽象概括出分類加法計數(shù)原理.再將分類加法計數(shù)原理推廣到一般情形.通過變式問題，引出有些計數(shù)問題需要分步驟完成，再通過類比的方法概括出分步乘法計數(shù)原理.通過例題及變式的應(yīng)用，鞏固所學(xué)知識，深化對原理本質(zhì)的理解.知識線是知識的發(fā)生發(fā)展過程，與情景線相互交融，齊頭并進(jìn).

素養(yǎng)核.提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑之一就是以以上“情景線”“知識線”為依托，通過有效的、有趣的情景創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，學(xué)生不僅積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，而且在觀察、思考、探索、發(fā)現(xiàn)、論證等理性思維方面獲得訓(xùn)練提升.本設(shè)計以引導(dǎo)學(xué)生探究兩個計數(shù)原理為目標(biāo)，通過舉出實例、分析特征、歸納類比、抽象概括、辨析比較、實踐應(yīng)用等，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般、具體到抽象、感性到理性的科學(xué)研究過程，在不斷探究發(fā)現(xiàn)中促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).同時在新課標(biāo)核心素養(yǎng)思想的指導(dǎo)下，通過構(gòu)建有效的、有趣的情景，讓課堂與生活接軌，與時代接軌，讓枯燥的概念課堂生動起來、立體起來、豐富多彩起來.