深化問題理解 強(qiáng)化問題探究 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

鄭 良

(合肥市第四中學(xué)，安徽 合肥 230000)

1 問題提出

在實(shí)際教學(xué)中，教師往往要面對不同課型的教學(xué)，如新授課、復(fù)習(xí)課、習(xí)題課和試卷講評課等.復(fù)習(xí)課又可分為單元復(fù)習(xí)課、整章復(fù)習(xí)課和模塊復(fù)習(xí)課.每種課型都有著各自不同的特點(diǎn)和功能定位，只有抓住了各種課型的功能定位，才能上好不同的課型，才能使得每一種課堂都比較有效[1].新授課要關(guān)注知識(shí)的生成和知識(shí)的運(yùn)用，知識(shí)的學(xué)習(xí)主要是由薄到厚零散積累的過程.復(fù)習(xí)課要關(guān)注知識(shí)的梳理和知識(shí)的綜合，知識(shí)的系統(tǒng)化主要是由厚到薄的過程.研究表明：一個(gè)能夠解決問題的“專家”，具有內(nèi)容豐富、聯(lián)系緊密、區(qū)分明顯、有層次的知識(shí)結(jié)構(gòu)[2].高三第二輪復(fù)習(xí)課不同于新授課，也不同于第一輪、第三輪復(fù)習(xí)課.高三第二輪復(fù)習(xí)課到底怎么上？最近筆者隨堂聽了教師A執(zhí)教的一節(jié)題為“圓錐曲線中的最值、范圍問題”的高三第二輪復(fù)習(xí)課.下面筆者選取一道例題，簡要呈現(xiàn)教學(xué)過程，剖析學(xué)生在解題中的疑難困惑，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐給出思考與建議.

2 教學(xué)過程呈現(xiàn)

1)求橢圓C的方程.

x2+2tx+2t2-4=0.

由Δ=16-4t2>0,得

-2

設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)(下同)，則

x1+x2=-2t，x1x2=2t2-4.

由點(diǎn)P與點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)對稱知點(diǎn)E(-x1,-y1),從而

(2-x1)(y2-1)-(2+x2)(y1+1)=2(y2-y1)-(x1y2+x2y1)+x1-x2-4

=x2-x1-(x1x2+tx1+tx2)+x1-x2-4=-x1x2-t(x1+x2)-4=0，

對于第2)小題，教師A呈現(xiàn)的解答(參考答案)猶如“天外來物”，學(xué)生都表示“聽得懂,想不到,學(xué)不會(huì)”.教師A沒有說明如何發(fā)現(xiàn)kAE+kAQ=0,沒有對接學(xué)生的想法，自然無法解決學(xué)生的困惑，如此學(xué)生下次遇到類似問題依然困難多多，束手無策.教學(xué)的基本要求就要讓學(xué)生“想得起，弄得清，用得到”，基于此，筆者對上述教學(xué)進(jìn)行了改進(jìn).

3 改進(jìn)教學(xué)

3.1 探尋不同的證法

教師先展示參考答案，引發(fā)學(xué)生的困惑，讓學(xué)生在充滿困惑和興趣中整裝待發(fā).

師：對于第2)小題，已知條件有哪些？這些條件如何表示？求解的目標(biāo)是什么？

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合于(2,1)、點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-1)時(shí)等號(hào)成立.

生1的分析與教師的補(bǔ)充結(jié)合即為完整的解答，記為證法2.接著，生2給出了證法3：

師：證法2與證法3的區(qū)別與聯(lián)系在哪里？

生3：它們均為基本量法，證法3直接用t表示點(diǎn)P,Q,E的坐標(biāo)，證法2先(局部直接或間接)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，再代入進(jìn)行證明，強(qiáng)調(diào)了整體運(yùn)用.

即

亦即

cosβ=-sinα， sinβ=-cosα,

師：證法2與證法4均構(gòu)建函數(shù)，本質(zhì)是消元法.證法1借助對稱關(guān)系確定kAE=-kAQ，均將非對稱問題“轉(zhuǎn)化”為對稱問題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.請同學(xué)們比較證法1與證法2～4，交流一下你們的想法.

小組內(nèi)研討，不同組間交流.

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，

由Δ=16(4-m2)≥0，得

-2≤m≤2.

而當(dāng)m=-2時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)Q重合于點(diǎn)(-2,-1)，kAE，kAQ均不存在，從而m∈(-2,0)∪(0,2]，于是

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)Q重合于點(diǎn)(2,1).

師：生6的分析非常精彩，深化了我們對解析幾何中對稱問題和非對稱問題的理解，給出了證法1的合理性.

3.2 改變問題形式

師：同學(xué)們能對本題進(jìn)行改編嗎？

學(xué)生嘗試改編例1，其中以下變式1的形式最多.

1)求橢圓C的方程.

師：若以該變式為母題搭建臺(tái)階，則例1的難度能有效降低.

3.3 推廣一般結(jié)論

師：請同學(xué)們仔細(xì)審題，提出你的想法？

學(xué)生經(jīng)過探究，得到如下一般性結(jié)論：

(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.

師：請同學(xué)們課下思考各種證法的原理與本質(zhì)，并嘗試探究更多的結(jié)論.

4 思考與建議

4.1 強(qiáng)化內(nèi)容理解，構(gòu)建整體結(jié)構(gòu)

當(dāng)前教學(xué)中“重技巧、輕知識(shí)”“重套路(現(xiàn)象)、輕本質(zhì)”的情況較為普遍.對于相同或類似的問題，學(xué)生嘗試淺層次“對號(hào)入座”，遭遇挫折就基本宣告失敗.“對號(hào)入座”的“號(hào)”就是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中積累的數(shù)學(xué)模型，只有對該模型深入理解，遇到問題才有可能靈活運(yùn)用.夯實(shí)“四基”是教與學(xué)的基本要求，提高“四能”是教與學(xué)的目標(biāo)要求.“缺乏‘四基’，空談‘四能’”便會(huì)遭遇無源之水，無本之木.在教與學(xué)中，我們要力爭“知其然，知其所以然，知其何以所以然”.只有切實(shí)理解知識(shí)的功能與作用，才能物盡其用.

李大潛院士說：“一個(gè)人要做學(xué)問，要做得好，最重要的就是堅(jiān)持，五分鐘熱度不行，要一輩子堅(jiān)持.”人的認(rèn)知具有層次性，均是從膚淺逐步走向深入.具有普適性的“笨”方法思路易得，結(jié)果難求.學(xué)生要多經(jīng)歷、體會(huì)與感悟問題的生成與發(fā)展的曲折過程，提高運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在不斷磨礪中反思出現(xiàn)困難的原因，尋求方法上的突破，進(jìn)而搭建整體結(jié)構(gòu)，規(guī)避局部對象的求解，實(shí)施整體代入，優(yōu)化解題過程.如本文例1中諸多條件的使用，本質(zhì)就是交集思想方法的理解與應(yīng)用.

4.2 明確功能定位，對接學(xué)生認(rèn)知

無論是新授課與復(fù)習(xí)課，它們共同的目的都是為了建構(gòu)良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)過程中的不同階段會(huì)表現(xiàn)出不同的學(xué)習(xí)水平.新授課通常是學(xué)習(xí)新知識(shí)，具有豐富的事實(shí)性知識(shí)、方法性知識(shí)，或者如現(xiàn)象、概念、規(guī)律、模型等學(xué)習(xí)內(nèi)容.復(fù)習(xí)課通常是為優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)而進(jìn)行的學(xué)習(xí).知識(shí)結(jié)構(gòu)在轉(zhuǎn)化過程中會(huì)產(chǎn)生一些新的知識(shí)，如方法、策略、聯(lián)系性知識(shí)、區(qū)分性知識(shí)、抽象性知識(shí).與新授課主要關(guān)注知識(shí)內(nèi)容不同，復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)既要關(guān)注結(jié)構(gòu)變化，又要關(guān)注新內(nèi)容[2].

4.3 聚焦當(dāng)前任務(wù)，明確長遠(yuǎn)目標(biāo)

一些教師為保證完成任務(wù)往往采用自我可控的講授法較多，壓縮了學(xué)生自主參與體驗(yàn)活動(dòng)的時(shí)間[4].由于每年的高考、?？荚囶}都會(huì)產(chǎn)生大量的“新題”“好題”，導(dǎo)致教師在選題時(shí)“愛不釋手”“不忍割愛”.數(shù)量越來越多，無形之中形成的“題?！北厝粚?dǎo)致教學(xué)中囫圇吞棗、淺嘗輒止，教學(xué)只重視答案的獲取，不顧學(xué)生的認(rèn)知與感悟，造成了學(xué)生的“被動(dòng)”接受，長此下去，學(xué)生失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，甚至產(chǎn)生數(shù)學(xué)“恐懼癥”和“厭惡感”[5].教育歸根結(jié)底是通過行動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)與生活習(xí)慣，形成良好的思維品質(zhì).對于教學(xué)，不僅僅是教師要明確教學(xué)目標(biāo)，穩(wěn)步推進(jìn)與實(shí)施，還要讓學(xué)生對教師的課堂結(jié)構(gòu)具有清晰的認(rèn)知，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)與任務(wù).

新授課內(nèi)容相對簡單，有較多的資源可供參考，如與教材配套的教師用書等，而復(fù)習(xí)課可供參考的資源不多，往往只是知識(shí)點(diǎn)與題型的簡單累積.學(xué)生對復(fù)習(xí)課的內(nèi)容相對熟悉，教師有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣離不開對課堂教學(xué)的精心設(shè)計(jì).如教師要思考選擇例題的目的是什么，該例題是否必要，可有更典型的例題進(jìn)行替代，如何構(gòu)建變式題組，各個(gè)例題之間具有怎樣的關(guān)系，課堂教學(xué)的主題是否明確，主線是否清晰.復(fù)習(xí)課也要有適度的情境，抓住邏輯與結(jié)構(gòu)，注意問題之間的銜接與過渡，讓學(xué)生弄清問題的來龍去脈.如證法1的“首先展示”比“最后呈現(xiàn)”更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.對于每一類問題，通過幾道題將其研究得通透要花費(fèi)一定的時(shí)間與精力，但它比淺嘗輒止地做更多題在總體的時(shí)間花費(fèi)、思維的有序化與調(diào)整策略、解題的過程優(yōu)化等方面受益會(huì)更多.如教師可引領(lǐng)學(xué)生思考“本題為什么出現(xiàn)非對稱”，即培養(yǎng)學(xué)生探究方法和理性精神.教師自己心里要清楚，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是教師講明白的，而是學(xué)生自己想明白的.要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，一定要留有時(shí)間讓學(xué)生去思考.數(shù)學(xué)教學(xué)要不求快，而求深[3].如案例中提供的改編試題質(zhì)量并不高，學(xué)生探究的結(jié)論也較為明顯.但學(xué)生通過它們可以了解例題的演變過程，強(qiáng)化探究問題背景的意識(shí)與習(xí)慣.

4.4 強(qiáng)化終身學(xué)習(xí)，提升教師素養(yǎng)

雅思貝爾斯認(rèn)為：對學(xué)生來說，僅僅獲得知識(shí)是不夠的，他們還應(yīng)成為完整的人，因此需要的是全人教育.現(xiàn)在的教師就是過去學(xué)生的延續(xù)，而在一定意義上，現(xiàn)在的教師也是學(xué)生將來的模樣[3].教師教學(xué)的照本宣科，實(shí)質(zhì)是其教師素養(yǎng)難以支撐起課堂教學(xué)的體現(xiàn).學(xué)生的全面發(fā)展離不開教師的全面發(fā)展，那么教師如何提高自己的素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為教師可通過持續(xù)地廣泛涉獵、靜心思考、勇于實(shí)踐、反思提煉等行動(dòng)保持終身的學(xué)習(xí)能力.