洞察圖像特征 聚焦思維卡點(diǎn)

馮雙婕， 苗孟義

(慈溪中學(xué),浙江 慈溪 315300)

在研究各類試題時(shí)，總能發(fā)現(xiàn)與函數(shù)圖像有關(guān)的考題，有時(shí)考查函數(shù)圖像的作法與變換，有時(shí)考查函數(shù)解析式與圖像之間的相互識(shí)別，有時(shí)考查函數(shù)圖像在壓軸題中起著轉(zhuǎn)化與化歸的作用，總之依托圖像特征，借助數(shù)形結(jié)合，可以快速實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)解題.教材是一個(gè)很好的命題源泉，分析挖掘教材，是命題的生長(zhǎng)點(diǎn)，也是有效備考復(fù)習(xí)的生長(zhǎng)線，抓住這條線，可以減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)備考、高效復(fù)習(xí).

1 研讀教材，提煉生長(zhǎng)線

在教學(xué)中落實(shí)并提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，關(guān)鍵是根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況、新課程標(biāo)準(zhǔn)，及時(shí)找出并設(shè)計(jì)出核心素養(yǎng)的“生長(zhǎng)線”，“精準(zhǔn)”實(shí)施教學(xué)，使學(xué)生的核心素養(yǎng)得到“孕育”和“生長(zhǎng)”.何為核心素養(yǎng)“生長(zhǎng)線”？它是指符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)規(guī)律的實(shí)施路線和發(fā)展方向，是用數(shù)學(xué)學(xué)科思維和觀念指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)、反思教學(xué)的過(guò)程，是不斷提升關(guān)鍵問(wèn)題、優(yōu)化關(guān)鍵環(huán)節(jié)、實(shí)施精準(zhǔn)到位的系統(tǒng)線、科學(xué)線.

函數(shù)解析式與圖像之間的相互識(shí)別是歷年高考、重大考試中十分常見(jiàn)的題型.但不少考生無(wú)緣這類題型,是什么原因造成失分，是考點(diǎn)知識(shí)不夠清晰還是解決方法未能掌握？浙江省教研課題“構(gòu)建高中數(shù)學(xué)課堂核心素養(yǎng)‘生長(zhǎng)線’的實(shí)踐與研究”組在筆者所在學(xué)校開設(shè)研討課，圍繞這個(gè)問(wèn)題開展討論，找原因,想對(duì)策,重落實(shí).筆者結(jié)合核心素養(yǎng)“生長(zhǎng)線”圍繞函數(shù)圖像開展課例研究，就人教A版高中《數(shù)學(xué)(選修2)》第五章“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”中第95頁(yè)的例7進(jìn)行設(shè)計(jì)與討論：

引例給出函數(shù)f(x)=(x+1)ex.

1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出f(x)的極值；

2)畫出函數(shù)f(x)的大致圖像；

3)求出方程f(x)=a(其中a∈R)的解的個(gè)數(shù).

2)函數(shù)f(x)的大致圖像，如圖1所示.

圖1

3)方程解的個(gè)數(shù)等價(jià)于y=f(x)與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖1可知：

本題的教學(xué)功能是讓學(xué)生體會(huì)并掌握根據(jù)已知函數(shù)的解析式進(jìn)行基本性質(zhì)的分析與確定，再結(jié)合得到的結(jié)果能大致繪制函數(shù)的圖像.教學(xué)價(jià)值在于函數(shù)圖像能直觀地反映函數(shù)的基本性質(zhì)，同時(shí)函數(shù)的基本性質(zhì)也能刻畫函數(shù)的大致圖像，這種能力體現(xiàn)蘊(yùn)藏著水平層次的差異與區(qū)分，在選拔性考試中往往比較流行，進(jìn)一步提煉函數(shù)的基本性質(zhì)與函數(shù)的大致圖像之間的關(guān)聯(lián).這其實(shí)是一條核心素養(yǎng)的生長(zhǎng)線.

2 以生為本，精準(zhǔn)施教

根據(jù)函數(shù)的解析式識(shí)別函數(shù)圖像，往往有兩類題型：一類是不含參數(shù)的函數(shù)解析式，另一類是含參數(shù)的函數(shù)解析式.關(guān)鍵要善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式的基本初等函數(shù)模型、組合結(jié)構(gòu)、圖像特征以及參數(shù)對(duì)解析式及圖像的影響，要關(guān)注選擇題解題策略的高效性.

類型1不含參數(shù)的函數(shù)解析式與函數(shù)圖像的相互識(shí)別.

例11)函數(shù)f(x)=(x2-x)ex的圖像大致是

( )

( )

1)方法1由于f′(x)=(x2+x-1)ex，令f′(x)=0，則

x2+x-1=0，

解得

又當(dāng)x<0時(shí)，ex>0，x2-x>0，從而f(x)=(x2-x)ex>0，可排除選項(xiàng)C.故選B.

方法2不妨設(shè)g(x)=x2-x，h(x)=ex，則

f(x)=g(x)·h(x).

令f(x)=0，則x=0或x=1，函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可排除選項(xiàng)A,C.當(dāng)x→-∞時(shí)，g(x)→+∞,h(x)→0且h(x)>0，則f(x)→0且f(x)>0，可排除選項(xiàng)D.故選B.

f(-x)≠f(x),

且

f(-x)≠-f(x)，

f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，可排除選項(xiàng)D.當(dāng)x→0+時(shí)，x2>0，sinx>0，則f(x)>0，可排除選項(xiàng)C.當(dāng)x→-∞時(shí)，x2→+∞，-1≤sinx≤1，則f(x)>0，可排除選項(xiàng)B.故選A.

A. B. C. D.

A. B. C. D.

可排除選項(xiàng)C.又

可排除選項(xiàng)B.故選A.

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題1)以兩個(gè)函數(shù)相乘的形式呈現(xiàn)，與引例形式相似，問(wèn)題2)以基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算相結(jié)合.問(wèn)題1)的卡點(diǎn)在x<0時(shí)，不清楚圖像的變化趨勢(shì)及有無(wú)零點(diǎn)，方法1需求導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性后才可明確函數(shù)圖像的大致變化趨勢(shì)，方法2從函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)入手，可排除選項(xiàng)A,C，不難發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)B,D在y軸右側(cè)圖像相似，需比較y軸左側(cè)，極限思想是小題小做中的首選策略.問(wèn)題2)的卡點(diǎn)在于不太容易用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，用極限思想快捷精準(zhǔn).

例2已知函數(shù)f(x)的大致圖像如圖2所示，則該函數(shù)的解析式可能是

圖2

( )

A．ex·ln|x|

C．ln|x|+ex

D．ex-ln|x|

A. B. C. D.

類型2含參數(shù)的函數(shù)解析式與圖像的識(shí)別.

( )

綜上所述，選項(xiàng)A，B，D正確.

思考同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)f(x)與f(x-a)的圖像的位置關(guān)系、零點(diǎn)問(wèn)題，不等式取值范圍等.

類型3先變形后作圖.

1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

圖3 圖4

注意到當(dāng)t>1時(shí)，

由第1)小題知0

即

下面證明t1t2>1．

從而函數(shù)h(t2)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，于是

h(t2)

即

故

得

t1t2>1．

因此

即

設(shè)計(jì)意圖有些不含參數(shù)的函數(shù)圖像是容易畫出的，有些含參數(shù)的函數(shù)圖像不能直接畫出.本題的思維卡點(diǎn)在于不能直接求出最大值點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)需將參數(shù)分離出去，但并非每一道題都可以通過(guò)分離參數(shù)來(lái)解決，分離參數(shù)的核心思想是“簡(jiǎn)化解題”,強(qiáng)調(diào)圖像是否能反映問(wèn)題的關(guān)鍵信息.換元是一種技巧，其初衷依舊是使問(wèn)題解決得到簡(jiǎn)化，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題來(lái)處理.

3 精準(zhǔn)測(cè)評(píng)，有效反饋

核心素養(yǎng)的“生長(zhǎng)線”具有針對(duì)性、適應(yīng)性、生成性、實(shí)效性的特點(diǎn)，將教材中的例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題的教學(xué)價(jià)值與功能發(fā)揮到最佳，是核心素養(yǎng)得以有效落實(shí)的保障.課堂例題的選擇，教學(xué)功能、價(jià)值的體現(xiàn)，問(wèn)題自我解決能力的培養(yǎng)，是核心素養(yǎng)的“生長(zhǎng)線”形成的重要因素.追溯課堂教學(xué)中所呈現(xiàn)的3種類型的例題，其模型組合、內(nèi)容特征、策略方法值得關(guān)注.

1)豐富的模型與組合：教材中的f(x)以g(x)·h(x)形式呈現(xiàn)，即兩個(gè)函數(shù)相乘型，當(dāng)然也可以通過(guò)相除、相加、相減、復(fù)合，或者是分段函數(shù)、取絕對(duì)值函數(shù)、取最值函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)g(x),h(x)又有各自的形式，如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)、飄帶函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，都是學(xué)生熟悉的基本初等函數(shù)模型.

2)核心的內(nèi)容與特征：無(wú)論函數(shù)呈現(xiàn)的模型、組合如何變化，需要考查的核心內(nèi)容與特征大致相同，即要關(guān)注函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性、零點(diǎn)、漸近線等，進(jìn)行平移變換、對(duì)稱變換，要善于抓住圖像的特征并結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行問(wèn)題的解決.

3)最佳的策略與方法：觀察函數(shù)的圖像，尋找切入點(diǎn)，要善于捕捉特殊點(diǎn)、線(如f(0)、定點(diǎn)、定線、零點(diǎn)、拐點(diǎn)、漸近線)代入檢驗(yàn)與排除，要會(huì)根據(jù)函數(shù)的三要素(主要是定義域)和性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性)等檢驗(yàn)與排除，能運(yùn)用函數(shù)的定義域與值域(圖像的左右位置、上下位置)、函數(shù)的奇偶性(圖像的對(duì)稱性)、函數(shù)的單調(diào)性(圖像的變化趨勢(shì))、函數(shù)的周期性(圖像的循環(huán)往復(fù))函數(shù)的特殊點(diǎn)和線(定點(diǎn)、定線、漸近線)，結(jié)合特殊值法、估算法、排除法進(jìn)行求解．用極限的思想來(lái)分析是這類試題的撒手锏，當(dāng)x→0+，x→0-，x→+∞，x→-∞時(shí)，3類函數(shù)增長(zhǎng)速度對(duì)比，指數(shù)暴漲：指數(shù)函數(shù)>冪函數(shù)>對(duì)數(shù)函數(shù)．

如何精準(zhǔn)檢測(cè)并有效反饋課堂教學(xué)，編制一份有針對(duì)性的課后作業(yè)進(jìn)行獨(dú)立檢測(cè)很有必要.可以結(jié)合課堂互動(dòng)中所反映的學(xué)生的所思所慮，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)問(wèn)題、編制作業(yè)；可以在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，編制學(xué)生課外能獨(dú)立解決的問(wèn)題、作業(yè)；課堂例題不能只有單一的練習(xí)功能，不能只設(shè)計(jì)形式單一、簡(jiǎn)單重復(fù)、直接套用的練習(xí)，可以結(jié)合學(xué)情、圍繞所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)設(shè)計(jì)一些符合學(xué)生認(rèn)知水平與思維水平的問(wèn)題鏈，從而不斷提升關(guān)鍵問(wèn)題的設(shè)計(jì)、優(yōu)化關(guān)鍵環(huán)節(jié)的預(yù)設(shè)、有效地精準(zhǔn)實(shí)施.