高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)中的問題鏈設(shè)計
——以平面向量的解題項目化教學(xué)為例

朱祖煌

(諸暨中學(xué),浙江 諸暨 311800)

1 數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的問題鏈設(shè)計

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“解題”教學(xué)是一種最基本的活動形式.無論是核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的提升，還是通過數(shù)學(xué)運算促進(jìn)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，形成規(guī)范化分析和思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求真務(wù)實的科學(xué)素養(yǎng)，都離不開問題鏈的精心設(shè)計[1].數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)不僅關(guān)注了學(xué)生基礎(chǔ)知識與基本技能的掌握，更關(guān)注了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的深度.在問題鏈教學(xué)中，教師常常通過問題組織學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，用“鏈”去引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，在教師的預(yù)設(shè)問題和學(xué)生的生成問題中評估學(xué)生的知識掌握程度和知識拓展與遷移能力.筆者在日常解題教學(xué)中，結(jié)合導(dǎo)問式教學(xué)方式，以數(shù)學(xué)問題為載體，以主干問題—延伸問題—提煉問題為教學(xué)組織形式，以學(xué)生辨析、師生辯駁為教學(xué)手段，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生主動思考、探討(如表1).在問題鏈的解決過程中進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提問，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力(知識與經(jīng)驗、思維與方法、批判與創(chuàng)新)，進(jìn)而提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)與解決問題的能力[2].

表1 基于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的數(shù)學(xué)解題教學(xué)原則與問題鏈的設(shè)計

2 以平面向量的解題項目化教學(xué)為例

主干問題問題1～問題5.

問題1在起點問題中，描述幾何關(guān)系的量有哪些？

通過審題環(huán)節(jié)，理解題中向量模長與向量數(shù)量積等基礎(chǔ)知識點的數(shù)學(xué)含義.基于知識內(nèi)容教學(xué)的主題思維設(shè)計如下問題鏈：

問題2-1題中的代數(shù)關(guān)系|a|=2,|a-b|=1,|b|=|c|，用幾何語言如何描述？

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5

問題2-3(追問與辯駁)此時△OBC確定嗎？為什么？

課堂預(yù)設(shè)表示點C到OA中點M的距離，即線段|CM|(如圖5).

問題3-1在圖6中，要求線段|CM|的最大值，其中不變的幾何量是什么？與|CM|的關(guān)系如何？

課堂預(yù)設(shè)點B在⊙A上運動，且|OC|=|OB|保持不變，故點C的運動是由點B的運動而變化的.點M是一個確定的點，因此需要確定動點C的軌跡.

課堂生成如圖6，|CM|≤|DM|+|CD|，且

圖6 圖7 圖8

問題4-1能從幾何角度出發(fā)，確定動點C的軌跡嗎？

課堂生成動點B的軌跡是圓，動點C與動點B的運動相關(guān)，可以建立直角坐標(biāo)系，利用求軌跡方程問題中相關(guān)點的思想確定動點C的軌跡方程，從而確定軌跡類型(如圖8).

課堂預(yù)設(shè)利用復(fù)數(shù)的乘法的幾何意義可以表示點B,C之間的關(guān)系.設(shè)點C(x1,y1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1=x1+y1i，點B(x0,y0)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z0=x0+y0i，則

問題4-3(延伸問題1)描述動態(tài)幾何中，常見的變量有哪些？

課堂預(yù)設(shè)線段長度變量x，角度變量θ.

問題5-1(延伸問題2)這樣的解題策略關(guān)鍵點在哪里？

課堂預(yù)設(shè)在用向量法解決幾何問題中，借助幾何直觀，用幾何語言轉(zhuǎn)化為向量語言，畫出各個條件表征的幾何元素.

問題5-2(延伸問題2)如何計算幾何元素的最值？

課堂預(yù)設(shè)1)利用幾何觀，尋找?guī)缀卧刂械淖兣c不變量，通過轉(zhuǎn)化求幾何最值；2)利用代數(shù)運算，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，由數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建幾何之間的橋梁.

問題6(提煉問題1)通過起點問題，你能總結(jié)解決此類向量問題的一般策略嗎？

圖9

問題8(延伸問題4).

練習(xí)1已知向量a,b滿足|a|=1,=60°且c=-2a+tb(其中t∈R),則|c|+|c-a|的最小值______.

問題9(提煉問題2)以向量的共線問題為例，使向量語言與幾何語言實現(xiàn)相互切換.

圖10

課堂預(yù)設(shè)平面向量中引入?yún)?shù)，激活了圖形的變化.在動態(tài)幾何中，恰當(dāng)?shù)摹拔氖綀D”的建構(gòu)是圖形語言和向量條件間切換的“密碼”，從而實現(xiàn)了代數(shù)與幾何間的自由切換.

課堂生成以常見幾何元素的“文式圖”為例，以小組為單位，拓展思維，展開豐富的幾何元素與向量語言的轉(zhuǎn)換的拓展性作業(yè)，以思維導(dǎo)圖呈現(xiàn).

課后練習(xí)請設(shè)計一張平面向量中常見向量語言與幾何語言問題清單.

3 結(jié)語

結(jié)構(gòu)化是數(shù)學(xué)問題中的一個典型特征——數(shù)學(xué)對象之間存在著各式各樣的聯(lián)系.本文以平面向量的解題項目化教學(xué)為例，給出了基于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的解題教學(xué)原則與問題鏈的設(shè)計策略.課堂的主干問題鏈設(shè)計，立足基本知識，突出核心思想方法——向量代數(shù)與幾何的自由切換.表現(xiàn)在：一方面，通過課堂預(yù)設(shè)與課堂生成，將課堂在教師的導(dǎo)引下以學(xué)生為主體，強調(diào)在思考的脈絡(luò)中不斷延伸和拓展問題，以此激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識的思維，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力.另一方面，通過提煉問題，引導(dǎo)學(xué)生參與和歸納解題思想方法，給出思維導(dǎo)圖式的解題策略和文式圖表示的知識清單，真正落實核心素養(yǎng)下的解題教學(xué)目標(biāo).