近十年高考數(shù)學(xué)全國卷“平面向量”試題分析及教學(xué)思考*

項麗紅 逯彥周

(甘肅省永登縣第六中學(xué) 730300)

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和豐富的物理背景.[1]向量具有幾何與代數(shù)雙重屬性，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，同時高中的平面向量知識是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).2012年—2021年十年間，我國高考數(shù)學(xué)命題經(jīng)歷了考試大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)并存指導(dǎo)，到終止考試大綱，完全依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的過程.[2]對這十年高考數(shù)學(xué)全國卷中的平面向量試題在宏觀層面從類型、題數(shù)、分值、難易程度進(jìn)行統(tǒng)計分析，在微觀層面從試題考查知識點、融合其他知識點進(jìn)行統(tǒng)計分析，并以此為依據(jù)對教師教學(xué)提出一些建議.

1 十年高考全國卷平面向量試題宏觀統(tǒng)計分析

以2012—2021十年高考全國卷(共29套)中的平面向量試題(共38道)為研究對象，將38道平面向量試題從宏觀層面按類型、題數(shù)、分值、難易程度進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如表1所示.從類型看，38道題目中，選擇題共20道，填空題共14道，解答題共4道，占比分別為52.6%、36.9%、10.5%.從題數(shù)看，29套試卷中，21套試卷的平面向量試題均為1道，占比72.4%，分值為5分；4套試卷的平面向量試題均為2道，占比13.8%，分值為10分；3套試卷的平面向量試題均為2道，占比10.3%，分值為17分；僅有1套試卷中平面向量試題為3道，分值為22分.從難易程度看，38道試題中，難度為易、中的試題分別為20道、12道，占比分別為52.6%、31.6%，較難題為6道，占比15.8%.

表1 2012—2021全國卷平面向量試題統(tǒng)計

2 十年高考全國卷平面向量試題微觀知識點分析

2.1 試題考查知識點統(tǒng)計分析

將平面向量試題考查知識點按照線性運算及其幾何意義、向量平行、平面向量基本定理、平面向量的數(shù)量積及模與夾角、向量垂直、平面向量坐標(biāo)運算進(jìn)行統(tǒng)計(只要試題有體現(xiàn)就計數(shù))，結(jié)果如表2所示.由表2知，38道試題中，考查線性運算及其幾何意義、平行、垂直、平面向量基本定理、數(shù)量積及模與夾角的試題分別有5道、4道、5道、4道、14道，占比分別為13.2%、10.5%、13.2%、10.5%、36.8%；考查線性運算、平行、垂直、數(shù)量積及模與夾角的坐標(biāo)運算的試題分別有10道、4道、6道、17道，占比分別為26.3%、10.5%、15.8%、44.7%.總的來看，考查線性運算、平行、垂直、數(shù)量積及模與夾角的分別有15道、8道、11道、31道，占比分別為39.5%、21.0%、29.0%、81.5%.

表2 2012—2021全國卷平面向量試題考查知識點統(tǒng)計

在38道平面向量試題中，28道只考查了平面向量內(nèi)容的知識點，沒有與其他知識融合,且絕大多數(shù)試題考查知識單一，屬于簡單題.如：

例1(2021年全國甲卷第14題)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c，則k=.

例2(2017年全國Ⅰ卷第13題)已知向量a,b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=.

圖1

2.2 試題融合其他知識點統(tǒng)計分析

平面向量與其他知識點的融合具有明顯的傾向性(表3)，38道平面向量試題中，10道融合了其他知識，其中與圓錐曲線的融合包括圓、橢圓、雙曲線與拋物線，共有6道，其余4道是與三角函數(shù)及解三角形、函數(shù)、數(shù)列融合.

表3 2012—2021全國卷平面向量試題交匯知識統(tǒng)計

當(dāng)平面向量試題融合其他知識時，多考查平面向量的坐標(biāo)運算，多數(shù)為數(shù)量積及模與夾角、垂直的坐標(biāo)運算.如：

例3(2021年新高考Ⅱ卷第10題)已知O為坐標(biāo)原點，點P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，則( )

(2)由題意得F(1,0)，設(shè)P(x3,y3)，則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).

由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.

3 研究結(jié)論與教學(xué)建議

3.1 研究結(jié)論

近十年高考數(shù)學(xué)全國卷平面向量試題近九成是選擇題和填空題，且選擇題居多，超七成試卷只有1道平面向量試題，分值5分，超兩成試卷有2道平面向量試題，分值為10分與17分(二者數(shù)量相差不大)，題目難度以易、中為主，占比和超八成，以知識融合題為主的難題占比低于兩成.平面向量試題考查知識點按比例由高至低依次為數(shù)量積及模與夾角、線性運算及其幾何意義、垂直、平行、平面向量基本定理，且對坐標(biāo)運算的考查多于非坐標(biāo)運算的考查.平面向量與其他知識的融合主要集中在圓錐曲線、三角函數(shù)與解三角形、函數(shù)、數(shù)列等.

3.2 教學(xué)建議

3.2.1理解概念，牢記公式，穩(wěn)固雙基

教材對于平面向量內(nèi)容多是按照基本概念→線性運算及其幾何意義→平面向量基本定理→坐標(biāo)運算→平面向量數(shù)量積的順序編排[3][4]，基本概念是后續(xù)知識展開的基礎(chǔ)，特別是平面向量基本定理，是坐標(biāo)運算的“根”，坐標(biāo)運算是其“果”.這部分知識前面概念多，后面公式多，但就全國卷而言考查內(nèi)容簡單，多為選擇題和填空題，考查內(nèi)容基本為數(shù)量積及模與夾角、線性運算及其幾何意義、垂直、平行、平面向量基本定理的簡單應(yīng)用，有坐標(biāo)運算，也有非坐標(biāo)運算.因此在教學(xué)中須讓學(xué)生切實理解概念，記牢公式，穩(wěn)固雙基.

3.2.2畫好圖形，精準(zhǔn)運算，數(shù)形結(jié)合

平面向量兼具幾何與代數(shù)雙重屬性，教材安排也是先“幾何”后“代數(shù)”的順序，并且線性運算以及數(shù)量積運算都有豐富的物理背景，是學(xué)科交叉的良好案例.對于高中生而言，平面向量也是數(shù)形結(jié)合的良好案例.因此，在日常教學(xué)中，教師要注重學(xué)生畫圖習(xí)慣的養(yǎng)成，畫對圖，畫好圖，為之后的數(shù)學(xué)運算當(dāng)好“眼睛”，在此過程中亦能培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

3.2.3總結(jié)反思，建構(gòu)體系，提升素養(yǎng)

在平面向量與其他知識的融合中，可以發(fā)現(xiàn)平面向量充當(dāng)輔助工具的作用，且這類題目往往對平面向量知識的考查多在坐標(biāo)運算上，也很簡單，重點在于與其他知識融匯貫通，這就需要建構(gòu)知識體系.高中數(shù)學(xué)知識點多，抽象程度也較高，但是好在知識之間彼此是相通的，所以我們的學(xué)習(xí)不會因所學(xué)知識的增多而負(fù)擔(dān)增重，反而會因發(fā)現(xiàn)、理解先后知識的聯(lián)系而嘆為觀止.因此，在教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生對知識的梳理、總結(jié)、反思，總結(jié)的次數(shù)多了，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系，找到聯(lián)系、及時反思，就能自主建構(gòu)屬于自己的“知識體系”，當(dāng)然在此過程中也可提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).