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    構(gòu)造長方體模型解一類特殊的四面體問題

    2023-01-07 15:05:40
    高中數(shù)理化 2022年23期
    關(guān)鍵詞:正四面體棱長四面體

    李 勇

    (貴州省貴陽市息烽縣第一中學(xué))

    對棱相等的四面體是一類特殊的三棱錐,根據(jù)三對棱的長度關(guān)系,可以把它放在對應(yīng)的長方體、正四棱柱以及正方體中,進(jìn)而解決有關(guān)問題.

    1 長方體模型

    在四面體A-BCD中,若AB=CD,BD=AC,AD=BC,則可把四面體A-BCD放在長方體中進(jìn)行研究,進(jìn)而解決有關(guān)問題.

    例1在三棱錐A-BCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,求三棱錐A-BCD的外接球的體積.

    解析如圖1 所示,把三棱錐A-BCD放在長方體AECF-HDGB中,設(shè)HB=x,HD=y(tǒng),HA=z,則可得方程組

    圖1

    點(diǎn)評本題如果用傳統(tǒng)的解法:找球心,求半徑來解,難度比較大.根據(jù)三棱錐的三組對棱的特點(diǎn)聯(lián)想到長方體的面對角線,把該三棱錐放在長方體中,解決問題就簡單多了.由于該三棱錐的外接球恰好就是長方體的外接球,因此問題轉(zhuǎn)化為求長方體的外接球的體積.求解步驟如下:

    第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即長方體的面對角線長)算出長方體的長、寬、高的關(guān)系(或長、寬、高的值),從而算出長方體的體對角線的長的平方.

    第二步,根據(jù)長方體的性質(zhì)(長方體的體對角線即為長方體外接球的直徑),算出外接球的半徑.

    第三步,利用球的體積公式算出體積即可.

    例2在三棱錐P-ABC中,PA=BC=,求平面APB與平面CPB的夾角的余弦值.

    解析如圖2所示,把三棱錐P-ABC放在長方體AECD-FPGB中,設(shè)PF=x,PG=y(tǒng),PE=z,則CPB的夾角的余弦值為

    圖2

    點(diǎn)評本題如果用傳統(tǒng)的求二面角的方法解答難度比較大,根據(jù)三棱錐的三組對棱的特點(diǎn)可聯(lián)想到長方體的面對角線,把該三棱錐放在長方體中,用“坐標(biāo)法”解答問題就簡單多了.求解步驟如下:

    第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即長方體的面對角線長)算出長方體長、寬、高的值.

    第二步,建立空間直角坐標(biāo)系,算出平面APB與平面CPB的法向量,求出兩個(gè)法向量夾角的余弦值.

    第三步,根據(jù)兩個(gè)法向量夾角的余弦值寫出平面APB與平面CPB的夾角的余弦值.

    2 正四棱柱模型

    在四面體ABCD中,若AB=CD=BD=AC,AD=BC,則可把四面體ABCD放在正四棱柱中進(jìn)行研究,進(jìn)而解決有關(guān)問題.

    例3在三棱錐A-BCD中,AB=BC=CD=DA=3,AC=BD=2,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),求異面直線AN,CM所成角的余弦值.

    解析如圖3所示,把三棱錐A-BCD放在正四棱柱AECF-HDGB中,設(shè)HB=x,HA=z,則

    圖3

    點(diǎn)評本題是人教A 版《選擇性必修第一冊》中第41頁的第2 題.從在書中的位置來看,本題應(yīng)該用“向量法”解答,由于許多學(xué)生建不了系,故不能使用“坐標(biāo)法”解答,運(yùn)算量比較大.如果能根據(jù)三棱錐的三組對棱的特點(diǎn)聯(lián)想到正四棱柱(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正四棱柱中用“坐標(biāo)法”解答就非常簡單了.求解步驟如下:

    第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即正四棱柱的面對角線長)算出正四棱柱的底面邊長和高的值.

    第二步,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出異面直線AN,CM的方向向量,求出兩異面直線AN,CM方向向量夾角的余弦值.

    第三步,由兩異面直線AN,CM方向向量夾角的余弦值寫出異面直線AN,CM所成角的余弦值.

    例4在三棱錐A-BCD中,AC=BD=,其余四條棱長均為2,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為_________.

    解析如圖4所示,把三棱錐A-BCD放在正四棱柱AECF-HDGB中,設(shè)HB=x,HA=z,則

    圖4

    由正四棱柱的性質(zhì)可知4R2=x2+x2+z2=7,所以4πR2=7π,故三棱錐A-BCD的外接球的表面積為7π.

    點(diǎn)評本題如果用傳統(tǒng)的方法:找球心,求半徑來解,難度比較大.聯(lián)想到正四棱柱(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正四棱柱中,解決問題就簡單多了.由于該三棱錐的外接球恰好就是正四棱柱的外接球,因此問題轉(zhuǎn)化為求正四棱柱外接球的表面積.求解步驟如下:

    第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即正四棱柱的面對角線長)算出正四棱柱的底面邊長和高的值.

    第二步,算出正四棱柱的體對角線的長的平方,即外接球直徑的平方.

    第三步,根據(jù)球的表面積公式即可求出三棱錐A-BCD的外接球的表面積.

    圖5

    點(diǎn)評本題可根據(jù)三棱錐三組對棱的特點(diǎn)聯(lián)想到正四棱柱(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正四棱柱中,用“坐標(biāo)法”解答問題就非常簡單了.求解步驟如下:

    第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即正四棱柱的面對角線長)算出正四棱柱的底面邊長和高的值.

    第二步,建立空間直角坐標(biāo)系,算出平面ABC的法向量.

    第三步,在平面ABC上任意取一點(diǎn)與外接球的球心構(gòu)造一個(gè)向量.

    第四步,代入點(diǎn)到平面的距離公式,即可算出三棱錐A-BCD外接球的球心到平面ABC的距離.

    3 正方體模型

    在四面體ABCD中,若AB=CD=BD=AC=AD=BC,則可把四面體ABCD放在正方體中研究,進(jìn)而求解相關(guān)問題.

    例6已知四面體OABC的所有棱長都是1,D,N分別是OA,BC的中點(diǎn).

    (1)計(jì)算DN的長度;

    (2)求點(diǎn)O到平面ABC的距離.

    解析如圖6所示,把四面體OABC放在正方體中.設(shè)正方體的棱長為a,則a2+a2=1,所 以

    圖6

    點(diǎn)評本題是人教A 版《選擇性必修第一冊》中第42頁的第7題,從在書中的位置來看,本題應(yīng)該是用“向量法”來解答,只是大部分學(xué)生可能只會(huì)在正四面體中建系,運(yùn)算難度較大.如果能根據(jù)三棱錐的三組對棱的特點(diǎn)聯(lián)想到正方體(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正方體中,解決問題就簡單多了.求解步驟如下:

    第一步,根據(jù)三棱錐的棱長(即正方體的面對角線長)算出正方體棱長的值.

    第二步,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)的坐標(biāo),算出DN的長度和平面ABC的法向量.

    第三步,在平面ABC上任意取一點(diǎn)與點(diǎn)O構(gòu)造一個(gè)向量.

    第四步,代入點(diǎn)到平面的距離公式算出點(diǎn)O平面ABC的距離.

    例7已知正四面體ABCD的外接球的體積為,則該四面體的表面積為_________.

    解析把正四面體ABCD放在如圖7 所示的正方體中.設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R,正四面體ABCD的棱長為x,正方體為棱長為y,則

    圖7

    解得x2=16,故正四面體ABCD的表面積為

    點(diǎn)評根據(jù)三棱錐的三組對棱的特點(diǎn)聯(lián)想到正方體(即特殊的長方體)的面對角線,把該三棱錐放在正方體中,進(jìn)而解決該題.求解步驟如下:

    第一步,根據(jù)正四面體的外接球的體積算出正方體棱長的平方.

    第二步,代入面積公式即可求出這個(gè)正四面體的表面積.

    例8正四面體ABCD中,,點(diǎn)P在棱AB上運(yùn)動(dòng),設(shè)EP與平面BCD所成角為θ,則sinθ的最大值是( ).

    解析如圖8所示,把正四面體ABCD放在正方體中,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D1(1,1,0).

    圖8

    點(diǎn)評本題有一定的難度,但是把該三棱錐放在正方體中用“坐標(biāo)法”解答就簡單多了.求解步驟如下:

    第一步,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,并寫出點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面BCD的法向量.

    第二步,由點(diǎn)P在棱AB上運(yùn)動(dòng),設(shè)(0≤λ≤1),求出的坐標(biāo).

    第三步,代入線面角公式求出sinθ的最大值.

    總之,可根據(jù)對棱長的特點(diǎn),把圖形放入長方體、正四棱柱、正方體中解答這類問題.通過構(gòu)造可以降低思維難度,減少運(yùn)算量,能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算,有利于拓展學(xué)生思維,有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    (完)

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