立體幾何中的易錯點分析

方 奔

(安徽省蒙城縣第六中學)

立體幾何問題中經常出現一些容易致誤的問題,本文針對立體幾何問題中的典型問題進行分析,并對這些問題中的易錯點進行分析,從而能有效地避免“雷區(qū)”.

1 忽視空間線面位置的多重性

例1已知α,β是空間中兩個不同的平面,m,n是空間中兩條不同的直線,則下列說法中正確的是( ).

①m∥α,n∥β,且m∥n,則α∥β;

②m∥α,n∥β,且m⊥n,則α⊥β;

③m⊥α,n⊥β,且m∥n,則α∥β;

④m⊥α,n⊥β,且m⊥n,則α⊥β.

A.①②③B.①③④

C.②④ D.③④

解析對于①,當m∥α,n∥β,且m∥n時,有α∥β或α,β相交,所以①錯誤.對于②,當m∥α,n∥β,且m⊥n時,有α⊥β或α∥β或α,β相交且不垂直,所以②錯誤.對于③,當m⊥α,n⊥β,且m∥n時,得出m⊥β,所以α∥β,③正確.對于④,當m⊥α,n⊥β,且m⊥n時,α⊥β成立,所以④正確.

綜上,正確的命題序號是③④,故選D.

點評本題考查了空間中線面平行與垂直關系的判斷.本題易錯選B,誤用一組線線平行去推面面平行.判斷空間中線面、面面位置關系時易忽略空間線面位置關系的多樣性.破解此類問題的關鍵是熟知空間中的線線、線面、面面位置關系的判定與性質,要注意定理條件的完整性.除此之外,還可以借助一些特殊載體,如長方體、三棱錐等,將相關的直線、平面放到相應載體中觀察,使得空間線面、面面的位置關系得到多視角的驗證.

2 忽視平面圖形翻折前后的顯性關系

例2如圖1 所示,在矩形ABCD中,AB＝2AD,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點,則 在△ADE翻折過程中,給出以下命題:

圖1

①存在某個位置,使BM∥平面A1DE;

②存在某個位置,使DE⊥A1C;

③線段BM的長是定值;

④存在某個位置,使MB⊥平面A1CD.其中所有正確命題的編號是( ).

A.①② B.①③C.②④ D.①③④

解析如圖2所示,取A1D的中點N,連接MN,NE,則MN∥CD,MN＝CD.又EB∥CD,E為邊AB的中點,所以,MN∥EB,MN＝EB,所以四邊形MNEB是平行四邊形,故BM∥NE.又BM?平面A1DE,NE?平面A1DE,所以BM∥平面A1DE,故①正確.

圖2

設AB＝2AD＝2,則DE＝CE＝,所以DE2＋CE2＝CD2,故DE⊥CE.若DE⊥A1C成立,因為CE∩A1C＝C,CE?平面A1CE,A1C?平面A1CE,則DE⊥平 面A1CE,DE⊥A1E,這 與∠DEA1＝∠AED＝45°矛盾,所以DE與A1C不可能垂直,故②錯誤.

因為BM＝NE,所以BM長為定值,故③正確.

過M作CD的垂線,垂足為F,連接MF,BF,若BM⊥平面A1CD,則BM⊥CD.又CD⊥MF,BM∩MF＝M,BM?平面BMF,MF?平面BMF,所以CD⊥平面BMF,CD⊥BF,這與BC⊥CD矛盾,故④錯誤.

綜上,選B.

點評本題易錯點在于不能明確翻折問題中的變與不變,翻折問題的核心是“折痕”,一條折痕把平面圖形分成兩部分,與折痕平行或垂直的線段翻折前后平行關系或垂直關系不變.一般情況下,如果一個量的兩個要素在折痕同側,則在翻折前后量是不變的;如果一個量的兩個要素在折痕兩側,則在翻折前后量是變化的.

3 未準確把握平面幾何中的結論

例3下列命題中正確的個數為( ).

①平行于同一直線的兩直線平行;

②平行于同一平面的兩直線平行;

③平行于同一直線的兩平面平行;

④平行于同一平面的兩平面平行.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析由平行線的傳遞性知平行于同一直線的兩直線平行,故①正確.平行于同一平面的兩直線平行、相交、異面都有可能,故②錯誤.平行于同一直線的兩平面平行、相交都有可能,故③錯誤.平行于同一平面的兩平面平行,故④正確.綜上,選B.

點評有關位置關系在平面幾何中成立的某些結論,在空間中任意地推廣、拓展,有時得出的結論是不成立的.

4 無法準確確定球心的位置

例4在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC是邊長為6 的等邊三角形,△PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形,則該三棱錐外接球的表面積為________.

解析如圖3 所示,在等邊△ABC中,取AB的中點F,設△ABC的中心為O,由AB＝6,可得

圖3

因為△PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形,所以PF⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,所以PF⊥平面ABC,PF⊥OF,OP＝,則O為棱錐P-ABC外接球的球心,外接球半徑R＝OC＝,所以該三棱錐外接球的表面積為4π×＝48π.

點評空間想象能力差,無法準確作出圖像,無法確定球心位置,是求解球與幾何體相接問題容易失誤的主要原因.

5 誤將兩向量關系與線面關系等同

例5如圖4所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥DC,∠DAB＝90°,PD⊥底 面ABCD,且PD＝DA＝CD＝2AB＝2,點M為PC的中點.

圖4

(1)求證:BM∥ 平面PAD;

(2)在平面PAD內找一點N,使MN⊥平面PBD.

解析(1)由 于PD⊥底面ABCD,CD∥AB,CD⊥AD,故以D為原點,DA,DC,DP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖5所示的空間直角坐標系D-xyz.

圖5

因為PD＝CD＝DA＝2AB＝2,所以A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1).

(完)