鎖相放大器噪聲測量原理與教學(xué)實驗設(shè)計

何振輝

(中山大學(xué) 物理與天文學(xué)院，廣東 珠海 519082)

在物理專業(yè)課程中，對應(yīng)于統(tǒng)計物理的實驗教學(xué)內(nèi)容很少. 然而，作為連接微觀運動與宏觀現(xiàn)象和規(guī)律的物理量，玻耳茲曼常量在知識結(jié)構(gòu)中有著十分重要的地位，它不僅已被用于定義國際溫標(biāo)(開爾文)，對熵的定義甚至超出物理知識含義.通過PN結(jié)電流特性測量[1,2]，玻耳茲曼常量測量的本科實驗教學(xué)已開展多年. 相比之下，通過鎖相放大器測量電阻熱噪聲的方法獲得玻耳茲曼常量則更為直接,物理上也更容易理解，但測量精度和測量技術(shù)要求也更高. 受制于鎖相放大器的普及和環(huán)境噪聲的屏蔽技術(shù)，后者在教學(xué)實驗中尚未見有實踐報道.

隨著實驗物理對精密控制與測量的需求不斷增長以及鎖相放大技術(shù)及其應(yīng)用的發(fā)展，鎖相放大器實驗教學(xué)被越來越多的高校納入到近代物理實驗課程中. 特別是將數(shù)字鎖相放大器應(yīng)用于實驗教學(xué)[3]，其工作原理的數(shù)學(xué)描述[4]便于那些即使未修過電子技術(shù)課程的學(xué)生理解；鎖相放大器處理(低信噪比)弱信號的能力[5]讓學(xué)生印象深刻，直接測量電阻熱噪聲的應(yīng)用[6]使基于Johnson噪聲測量玻耳茲曼常量成為可能. 為配合精密測量物理教學(xué)，筆者在實驗教學(xué)課程中開設(shè)了鎖相放大器實驗及熱噪聲測量內(nèi)容，并探索將電阻器溫度下降至液氮溫區(qū)，以更好理解熱噪聲與溫度的關(guān)系. 在教學(xué)實踐過程中，有些好學(xué)的學(xué)生不滿足僅僅按講義或文獻(xiàn)提供的公式、參數(shù)、甚至測量步驟完成實驗；另一方面，因?qū)υ肼暅y量原理缺乏深入透徹的理解，學(xué)生在選擇儀器參數(shù)時仍時有不知其所以然，而盲從講義的指引，這不符合物理專業(yè)的思維方式. 一些勇于探索的學(xué)生想通過試錯方式來學(xué)習(xí)，但因時間不足，不合理的儀器參數(shù)設(shè)置造成測量精度不合理的偏離.

為了彌補(bǔ)上述教學(xué)不足，本文擬在OE1022數(shù)字鎖相放大器教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上做以下補(bǔ)充：1) 基于物理圖像的導(dǎo)體電阻熱噪聲公式推導(dǎo)；2) 鎖相放大器測量噪聲的工作原理及等效噪聲帶寬的推導(dǎo)；3) 電阻熱噪聲測量及玻耳茲曼常量測量的誤差分析；4) 基于所述誤差分析的實驗教學(xué)設(shè)計改革.

1 電阻熱噪聲

對一個經(jīng)典的系統(tǒng)，微觀粒子都在做無規(guī)熱運動，其系統(tǒng)宏觀性質(zhì)由微觀粒子的統(tǒng)計結(jié)果決定. 微觀運動的漲落(熱漲落)服從高斯分布. 帶電的微觀粒子(如金屬中的電子)熱漲落產(chǎn)生噪聲電流，噪聲電流通過電阻則產(chǎn)生噪聲電壓，這一現(xiàn)象被Johnson觀察到[7]，因而被稱為Johnson噪聲或電阻熱噪聲. 為此，無論是否加電，電子器件都會對外呈現(xiàn)出熱噪聲特性. 下面從物理圖像對該熱噪聲的特性做非嚴(yán)格的推導(dǎo).

電阻器與環(huán)境不斷交換能量，當(dāng)達(dá)到熱平衡時，它從環(huán)境接收的能量等于向環(huán)境發(fā)射的能量.設(shè)能量交換以熱輻射方式進(jìn)行，則在長波極限下(?ω<

(1)

式(1)中，kB=1.38×10-23J/K，為玻耳茲曼常量.實驗室環(huán)境溫度(～300 K)和測量頻段(102～106Hz)滿足此極限條件. 同理，電阻器從溫度為Te的環(huán)境吸收的輻射為kBTe，兩者都與電磁波的頻率無關(guān)，熱平衡時T=Te.

將此電磁輻射能量交換的圖像簡化為一維的電磁波的發(fā)射和接收，以兩個相互串聯(lián)的電阻作等效描述(如圖1所示)，R為研究對象電阻，Re為環(huán)境的等效電阻，則電阻器向環(huán)境輻射的平均功率等于從R輸出并損耗在Re上的電功率，表示為

(2)

其中，IN(R)為等效噪聲電流，vN(R)為電阻器R的噪聲電壓(隨機(jī)信號).注意環(huán)境的噪聲電壓vN(Re)與vN(R)是獨立的，不能疊加.同理從環(huán)境吸收的輻射平均功率為

(3)

圖1 電阻器與環(huán)境熱變交換等效 電路圖；熱平衡時，Re=R

即帶寬Δf內(nèi)噪聲電壓的時間方均值為

(4)

它占據(jù)(理想矩形)帶寬Δf，定義與帶寬無關(guān)的噪聲功率譜密度為

(5)

可見，噪聲功率譜密度均與頻率無關(guān).

2 測量原理

2.1 噪聲測量

(6)

(7)

即對m種類型或來源的噪聲，如果不同噪聲之間存在相關(guān)性，式(7)中nfk(ti)nfj(ti)≠0(k≠j)，分離不同種類的噪聲是困難的，除非在輸入端作物理隔離.例如，要測量熱噪聲，需要通過屏蔽環(huán)境噪聲，使之在參考頻率段遠(yuǎn)低于熱噪聲.對不相干的噪聲源nfk(ti)，式(7)寫為

(8)

式(8)給出了不同類型非相干噪聲的疊加原理，是扣除隨機(jī)本底噪聲的算法依據(jù).對隨機(jī)噪聲，X與Y獨立等價，從式(2)得熱噪聲的平均功率為

(9)

2.2 本底噪聲

與所有電子儀器一樣，鎖相放大器具有自身本底噪聲(nB)，主要來自于熱噪聲、溫漂噪聲、模數(shù)轉(zhuǎn)換噪聲等非相干噪聲.而實際測量的噪聲值(nm)是待測熱噪聲(nT)與本底噪聲的疊加.根據(jù)隨機(jī)噪聲疊加原理式(8)得

(10)

可扣除儀器的本底噪聲，前提是測量本底噪聲時與測量噪聲時的條件以及所選的鎖相放大器參數(shù)相同.

2.3 等效噪聲帶寬

(11)

(12)

(13)

表1 等效噪聲帶寬與陡降和時間常數(shù)τ的對應(yīng)關(guān)系

將隨機(jī)變化的噪聲視為幅值隨機(jī)的階躍輸入信號，則窄帶濾波器使輸出信號延遲. 定義輸出信號達(dá)到階躍值的99%視為反映輸入噪聲幅值，其延遲等待時間也列于表1中. 也就是說，噪聲測量時輸出的時間間隔，應(yīng)不小于表1給出的測量等待時間.

根據(jù)式(12)算出的儀器帶寬ΔfLPF取代式(4)中的帶寬Δf，得噪聲電壓強(qiáng)度表達(dá)式為

(14)

(15)

(16)

單位為伏·秒1/2(V·s1/2).

3 測量誤差分析

梳理影響電阻噪聲測量的因素：1)電阻器熱平衡；2)樣本量與統(tǒng)計不確定度；3)環(huán)境噪聲影響；4)鎖相放大器的輸入帶寬.

3.1 電阻器熱平衡

從式(2)推導(dǎo)假設(shè)知，電阻熱噪聲的表述要求電阻處理熱平衡，即電阻向環(huán)境發(fā)出的能量等于它從外界吸收的能量.這意味著如果測量時電阻器未達(dá)到熱平衡會帶來測量誤差.1)測量時溫度足夠穩(wěn)定，即電阻與環(huán)境溫度相同；2)電阻器的熱容量足夠小而熱導(dǎo)足夠大，則即使電阻溫度存在波動，由之造成的對與外界能量交換的影響也足夠小.另一方面，電阻器與環(huán)境未達(dá)到熱平衡亦會帶來溫度測量讀數(shù)與電阻器實際溫度的偏差.

3.2 樣本量與系統(tǒng)統(tǒng)計不確定度

由于測量對象(噪聲)本身具有隨機(jī)性，系統(tǒng)不確定度也具有統(tǒng)計的特性，式(8)表明，X分量的噪聲電壓強(qiáng)度即為X分量測量值的標(biāo)準(zhǔn)差.實際測量時，鎖相放大器樣本量M(測量次數(shù))不可能無限大，尤其對于教學(xué)實驗時間有限，則該噪聲測量值僅為最佳估計值.簡單起見，先假定環(huán)境噪聲為零，易得噪聲電壓測量值的比值不確定度[8]為

(17)

(18)

3.3 基于隨機(jī)誤差的熱噪聲測量不確定度

熱噪聲測量需用式(10)扣除本底，假設(shè)本底測量與信號測量樣本量同為M，通過式(18)和誤差傳遞可得

(19)

熱噪聲測量的比值不確定度為

(20)

3.4 環(huán)境噪聲影響

3.5 鎖相放大器輸入帶寬

從式(14)和式(19)可知，要降低噪聲測量誤差，電阻器的阻值應(yīng)盡量大.然而，過大的電阻會降低鎖相放大器的輸入帶寬.

電阻Rs通過同軸電纜接入鎖相放大器的信號輸入端. 實際電纜長約1 m，遠(yuǎn)小于鎖相放大器最高測量頻率(100 kHz)所對應(yīng)的電磁波波長，則電纜自帶的電容、電感所構(gòu)成的直流耦合等效電路如圖2所示，Rin為鎖相放大器的輸入電阻，Cain為輸入電容，Cb和Lb分別為電纜的電容和電感.

圖2 電阻熱噪聲輸入簡化等效電話(直流耦合)

估算單位長度同軸電纜的電感和電容值分別為：Lb=3.78×10-7H/m，和Cb=4.52×10-11F/m，對OE1022鎖相放大器，Cain=25 pF，Rin=10 MΩ，即使在最高頻率100 kHz，感抗約為0.24 Ω，選擇Rs約為103～105Ω，ωLb<

式中ω0=1/RC為鎖相放大器的輸入帶寬.這里有兩處修正：1)鎖相放大器測量的是總電阻R產(chǎn)生的熱噪聲，當(dāng)Rs≤105Ω時，與阻值R的誤差小于1%；2) 當(dāng)Rsf>109ΩHz時，噪聲功率誤差大于5%，需對輸入帶寬的影響做修正，即

(21)

3.6 玻耳茲曼常量測量的不確定度估算

通過式(5)計算玻耳茲曼常量kB，假設(shè)鎖相放大器的數(shù)值低通濾波器的相對誤差可忽略不計，電阻R、溫度T獨立測量，其誤差主要取決于測量儀器的系統(tǒng)誤差.將式(20)代入誤差傳遞可得kB的比值不確定度為

(22)

3.7 儀器不確定度

標(biāo)定過的熱電偶的誤差主要來自于測溫儀的冷端補(bǔ)償?shù)恼`差，δT≈0.5 K，相對誤差δT/T低于1%水平；采用數(shù)字萬用表測量電阻的相對誤差δR/R也低于1%水平；對于數(shù)字鎖相放大器，儀器不確定度主要來自前置放大器的漂移和模數(shù)轉(zhuǎn)換噪聲.前者可以通過在儀器工作穩(wěn)定后，用標(biāo)準(zhǔn)信號校正增益消減；后者通過恰當(dāng)選擇動態(tài)儲備和增益壓減，并歸到儀器本底噪聲中，不在此展開討論.

4 教學(xué)實驗設(shè)計

4.1 知識點安排

用鎖相放大器測量電阻熱噪聲實驗安排在大學(xué)三年級的近代物理實驗課程中，要求學(xué)生已修“大學(xué)物理實驗”“誤差分析導(dǎo)論”“熱力學(xué)與統(tǒng)計物理”或相近課程，修過“電子技術(shù)”課的會更好.

4.1.1 隨機(jī)噪聲的統(tǒng)計特性

通過測量噪聲電壓的X分量和Y分量，用測量結(jié)果討論：1) 測量值是否服從正則分布？2)X值和Y值是否獨立無關(guān)？3)X值、Y值是否等價？4) 分析熱噪聲的測量誤差.

4.1.2 電阻熱噪聲特性

通過測量數(shù)據(jù)：1) 討論所測導(dǎo)體噪聲是否服從正則分布？2) 從電阻熱噪聲的時域分布和頻域分布，認(rèn)識是否與頻率無關(guān)？3) 認(rèn)識熱噪聲分別與電阻值和溫度的關(guān)系.

4.1.3 玻耳茲曼常量測量

高精度的玻耳茲曼常量測量要求對噪聲的統(tǒng)計特性有透徹的理解，更涉及一些其他實驗不常遇到的誤差分析知識點，如隨機(jī)測量的誤差傳遞以及標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差或方差的標(biāo)準(zhǔn)差；此外，該實驗可配合統(tǒng)計物理理論課教學(xué)開展.

4.2 減少誤差的設(shè)計

4.2.1 電阻器選取

首先電阻器應(yīng)該質(zhì)量小(從而熱容量小)，容易與環(huán)境達(dá)到熱平衡，例如采用貼片電阻[6]；其次，電阻器取值范圍(103～105Ω)使式(20)描述的比值標(biāo)準(zhǔn)差較小.

4.2.2 減少環(huán)境噪聲造成的誤差

為方便測量熱噪聲與溫度的關(guān)系，將電阻器安裝在可置于液氮溫區(qū)環(huán)境、外徑為10 mm的不銹鋼管(測試桿)內(nèi)，管殼與同軸電纜外層接地連接.由于電阻熱噪聲在10-9～10-8V數(shù)量級，該屏蔽措施難以達(dá)到或低于這一水平.

在教學(xué)實驗對電磁干擾屏蔽能力有限的條件下，為減少環(huán)境噪聲的影響，可將實驗安排在下班后，采取遠(yuǎn)程測量方式進(jìn)行，要求實驗現(xiàn)場無人，且除電腦和鎖相放大器外的其他電器設(shè)備關(guān)閉. 在本教學(xué)實驗室的實驗表明，環(huán)境噪聲的影響能下降到熱噪聲或更低的水平.

4.2.3 最少非相關(guān)樣本量

在達(dá)到熱平衡后，玻耳茲曼常量kB測量的誤差主要來自于式(21)右邊第一項的噪聲測量，它約為熱噪聲測量比值標(biāo)準(zhǔn)差的一半，因此樣本量的要求為5千至1萬個非相干樣本.數(shù)字鎖相放大器的輸出信號頻率受制于模數(shù)轉(zhuǎn)換速度和濾波器帶寬.以O(shè)E1022數(shù)字鎖相為例，盡管通道快輸出(CH1+fast)可達(dá)到312.5kHz的數(shù)據(jù)率，但只有當(dāng)輸出數(shù)據(jù)時間間隔大于濾波器時間常數(shù)的5～10倍時(見表1)，輸出數(shù)據(jù)才能達(dá)到輸入變化的99%，可近似認(rèn)為兩次電壓采樣之間是獨立的.考慮到實驗教學(xué)課時的限制，以1s為采樣時間間隔，包括設(shè)置參數(shù)和等待儀器穩(wěn)定在內(nèi)的理想狀態(tài)下，完成一次測量時間約在20分鐘、可采集樣本約1千個，測量綜合誤差約10%.計及學(xué)生操作熟練程度和參數(shù)選擇正確性等其他不確定度因素的影響，一般課堂實驗的測量誤差在50%以內(nèi)的預(yù)期是較為恰當(dāng)和可以接受的.

5 教學(xué)實踐與問題改進(jìn)

在近代物理實驗課原有不同溫度下測量電阻熱噪聲的基礎(chǔ)上，依據(jù)上述實驗設(shè)計對2019級中實驗教學(xué)作了改進(jìn)，實驗講義增加了基于能量均分定理的電阻熱噪聲推導(dǎo)(本文簡化了推導(dǎo))和測量原理介紹，作為設(shè)計性實驗首次要求通過遠(yuǎn)程桌面控制測量玻耳茲曼常量，但講義沒有提供第3節(jié)測量誤差分析的內(nèi)容，期望學(xué)生通過誤差分析優(yōu)化實驗設(shè)計；講義提供了包括參數(shù)選取在內(nèi)的操作例子，但仍鼓勵學(xué)生自己在更寬的范圍內(nèi)探索.此外，由于時間的限制，沒有要求學(xué)生做熱噪聲統(tǒng)計特性的內(nèi)容.

有20組40位學(xué)生選做了該實驗.約有一半的實驗組在玻耳茲曼常量測量上取得預(yù)期效果，測量偏差大的主要原因是獨立樣本量偏低、采樣時間間隔不合理(影響到樣本的獨立性)和部分操作不當(dāng)(如測量時電阻器與環(huán)境尚未達(dá)到熱平衡)，也可歸因于實驗時間不足和學(xué)生對實驗的理解仍不充分.與預(yù)期偏離較大的是，在缺少引導(dǎo)的情況下，很少學(xué)生的誤差分析能對其實驗方案設(shè)計有指導(dǎo)意義；最后，近代物理教學(xué)實驗室的空調(diào)和風(fēng)機(jī)每天24小時不間斷運行，但學(xué)生沒有測量環(huán)境噪聲頻譜，因而尚不能排除實驗時他們?nèi)∵x的參考頻率與環(huán)境噪聲頻率相近的可能性.為此提出了下一年級的教學(xué)改進(jìn)：1) 在實驗講義附錄中增加測量誤差分析的指引；2) 增加具體的實驗指引，縮小學(xué)生摸索參數(shù)的范圍；3) 先測量環(huán)境噪聲頻譜提供給學(xué)生在選頻時參考；4) 進(jìn)一步改進(jìn)測試桿，降低環(huán)境噪聲干擾.限于篇幅，更多的教學(xué)實踐探索情況將另文介紹.

致謝：

作者衷心感謝與李佳明老師就有關(guān)鎖相放大器噪聲測量的輸入帶寬、與鄺志健工程師就有關(guān)鎖相放大器測量等待時間等方面進(jìn)行的有益討論.