滾動(dòng)摩擦成因分析

張馬悅,陳思博,桑芝芳

(蘇州大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006)

物體的滾動(dòng)是物體的運(yùn)動(dòng)形式之一，然而在很多大學(xué)物理教科書中，對(duì)于物體滾動(dòng)中的摩擦問(wèn)題解釋過(guò)于簡(jiǎn)略，有些直接忽略[1-3]，導(dǎo)致部分學(xué)生對(duì)滾動(dòng)摩擦知之甚少，對(duì)其認(rèn)識(shí)仍只停留在高中階段，只認(rèn)識(shí)到：當(dāng)壓力相同時(shí)，滾動(dòng)摩擦力比滑動(dòng)摩擦力小很多.筆者認(rèn)為學(xué)生有必要對(duì)滾動(dòng)摩擦的成因及其相關(guān)知識(shí)有所掌握.一方面，在實(shí)際生活中或者在做物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，滾動(dòng)摩擦作用往往不可忽略；另一方面，學(xué)習(xí)滾動(dòng)摩擦有助于學(xué)生形成完整的力學(xué)知識(shí)體系.本文對(duì)滾動(dòng)摩擦的成因做了簡(jiǎn)要分析，并且對(duì)滾動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦力這兩個(gè)概念進(jìn)行了闡釋.

1 滾動(dòng)摩擦的成因分析

滾動(dòng)摩擦在我們的實(shí)際生活中十分常見(jiàn).例如，壓路機(jī)在工作時(shí)，路面由于發(fā)生不對(duì)稱形變，對(duì)碾輪的滾動(dòng)起阻礙作用；自行車在水平地面上行進(jìn)時(shí)，輪胎由于發(fā)生不對(duì)稱形變，導(dǎo)致地面對(duì)其作用力不對(duì)稱，阻礙其滾動(dòng).由于材料、硬度、表面狀況等因素的不同，滾動(dòng)物體與支承面之間的滾動(dòng)摩擦還可能受熱彈性滯后、微觀滑動(dòng)以及塑性滯后等作用的影響，可見(jiàn)實(shí)際的滾動(dòng)摩擦情況相當(dāng)復(fù)雜.為了方便研究，我們假設(shè)兩接觸物體中的其中一個(gè)為剛體，另一個(gè)物體在力的作用下發(fā)生形變，不易發(fā)生形變的物體較硬，易發(fā)生形變的物體較軟.從中，我們簡(jiǎn)化出兩種基本模型：1) 剛體在水平軟支承面上的滾動(dòng)；2) 軟物體在水平剛性支承面上的滾動(dòng)，并且假設(shè)滾動(dòng)物體在支承面上做無(wú)滑滾動(dòng)，以便進(jìn)一步分析滾動(dòng)摩擦的成因.

1.1 剛體在水平軟支承面上做純滾動(dòng)

我們假設(shè)滾動(dòng)物體為圓柱形剛體，軟支承面在壓力的作用下發(fā)生形變.若圓柱體在水平支承面上靜止，如圖1所示，圓柱體受重力FG作用，支承面發(fā)生的形變是對(duì)稱的，因而對(duì)圓柱體的支持力對(duì)稱分布在重力作用線兩側(cè)，支承面對(duì)圓柱體的支持力合力FN通過(guò)圓柱體質(zhì)心O.FG與FN構(gòu)成一對(duì)平衡力，故物體不發(fā)生滾動(dòng).

圖2 物體受水平外力作用

若在柱體質(zhì)心O處施加一個(gè)水平力F，如圖2所示，此時(shí)支承面會(huì)對(duì)圓柱體產(chǎn)生一個(gè)與力F方向相反的摩擦力Fs，物體將在力Fs產(chǎn)生的力矩作用下向右滾動(dòng).然而，在實(shí)際情況中，當(dāng)水平力F不太大時(shí)，物體仍能在支承面上保持靜止.這是因?yàn)槭懿牧橡椥孕阅苡绊?，?dāng)物體發(fā)生滾動(dòng)或者有滾動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，支承面的形變是不對(duì)稱的，從而使得接觸面上的支持力分布不對(duì)稱，如圖3(a)所示.

接觸面上分布力的示意圖

將接觸面上不對(duì)稱分布的力進(jìn)行合成，合力為F0，并可等效看成作用在接觸面上的A點(diǎn)，如圖3(b)所示.為了便于描述A點(diǎn)的位置，我們建立以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向的直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)坐標(biāo)可表示為(xA,-yA,0)，其中xA>0，yA>0.FN為F0的豎直分力，近似與支承面垂直；Fs為F0的水平分力.此時(shí)在豎直方向上有FG+FN=0，在水平方向上有Fs+F=0，因而合外力等于0；又由于FN和FG構(gòu)成一對(duì)力偶，產(chǎn)生力偶矩為M=xAFN；F和Fs構(gòu)成一對(duì)力偶，產(chǎn)生力偶矩為M′=yAFs，M和M′大小相等，方向相反，從而合力矩等于0.因此，物體仍能在支承面上保持靜止.由上述分析可知，F(xiàn)N和FG這對(duì)力偶產(chǎn)生的力偶矩起著阻礙物體滾動(dòng)的作用，稱為滾動(dòng)摩擦力偶矩，大小為M=xAFN.

當(dāng)水平力F逐漸增加時(shí)，支承面對(duì)圓柱體作用力的作用點(diǎn)A向前移動(dòng)，F(xiàn)G與FN之間的距離xA增大，滾動(dòng)摩擦力偶矩也隨之增大，直到xA增大到可能達(dá)到的最大值δ時(shí)(圖4)，物體便達(dá)到了一個(gè)將滾未滾的臨界平衡態(tài).這時(shí)，滾動(dòng)摩擦力偶矩達(dá)到最大，稱為最大滾動(dòng)摩擦力偶矩，用Mmax表示，其大小為Mmax=δFN.在物理學(xué)中，我們通常把δ稱為滾動(dòng)摩擦因數(shù)，它具有長(zhǎng)度的量綱，經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，滾動(dòng)摩擦因數(shù)大小跟滾動(dòng)物體和支承面的材料硬度、表面狀況等因素有關(guān)[4].

圖4 最大滾動(dòng)摩擦力偶矩

如果繼續(xù)增大力F，F(xiàn)s也隨之增大，當(dāng)F和Fs產(chǎn)生的力偶矩大于最大滾動(dòng)摩擦力偶矩，即M′=yAFs>Mmax時(shí)，柱體將會(huì)加速滾動(dòng).在滾動(dòng)的過(guò)程中，滾動(dòng)摩擦力偶矩大小近似等于Mmax；如果撤去力F(圖5)，物體將繼續(xù)向前滾動(dòng)，但在滾動(dòng)摩擦力偶矩M作用下，柱體的角速度將會(huì)逐漸減小直至為零，柱體最終靜止在支承面上.從上述分析我們可知，柱體所受滾動(dòng)摩擦力偶矩大小介于零和Mmax之間，即0≤M≤Mmax.

圖5 無(wú)外力作用下的滾動(dòng)

對(duì)于同一滾動(dòng)物體而言，支承面越硬，其滾動(dòng)摩擦因數(shù)δ就越小，受到的最大滾動(dòng)摩擦力偶矩也越小，物體滾動(dòng)時(shí)受到的阻礙就越小，反之亦然.這也解釋了為什么我們?cè)谲涃|(zhì)地面上騎車比在硬質(zhì)地面上騎車感覺(jué)更費(fèi)力.

1.2 軟物體在水平剛性支承面上做純滾動(dòng)

下面我們討論軟物體在水平剛性支承面上的純滾動(dòng).在這一模型中，支承面為剛體，滾動(dòng)物體為發(fā)生形變的圓柱體，例如行進(jìn)中的自行車輪胎.如圖6(a)所示，當(dāng)物體靜止在水平支承面上時(shí)，與支承面的接觸面上受到的支持力對(duì)稱分布，其合力與重力平衡.

若使柱體在水平力F的作用下發(fā)生無(wú)滑滾動(dòng)，則柱體還將受到一個(gè)向后的靜摩擦力以防止物體與支承面之間發(fā)生相對(duì)滑動(dòng).經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，柱體在滾動(dòng)過(guò)程中接觸面上各點(diǎn)所受到的支持力呈不對(duì)稱分布，后部支持力相比前部迅速減小，分布情況大致如圖6(b)所示.類似地，將接觸面上分布的力進(jìn)行合成，支持力合力FN可等效看成作用在接觸面中心點(diǎn)前方的A點(diǎn)，靜摩擦力合力為Fs，如圖6(c)所示.同樣建立以柱體質(zhì)心O點(diǎn)為原點(diǎn)，以水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向的直角坐標(biāo)系，我們可以表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xA,-yA,0)，其中xA>0，yA>0.重力FG和支持力FN構(gòu)成一對(duì)力偶，對(duì)物體的滾動(dòng)起阻礙作用，該力偶矩就是滾動(dòng)摩擦力偶矩，大小為M=xAFN.

支持力對(duì)稱分布

由滾動(dòng)摩擦力偶矩公式可知，在自行車行進(jìn)過(guò)程中，自行車胎氣充得越足，車胎與地面接觸面積就越小，xA就越小，滾動(dòng)摩擦力偶矩就越小，自行車騎起來(lái)就更為容易.

綜上所述，滾動(dòng)摩擦是一個(gè)物體在另一物體上滾動(dòng)或有滾動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，支承面對(duì)滾動(dòng)物體作用力的不對(duì)稱分布所引起的一種阻礙滾動(dòng)的作用.這種力的不對(duì)稱分布既可以是由于滾動(dòng)物體的不對(duì)稱形變產(chǎn)生的，也可以是由于支承面的不對(duì)稱形變產(chǎn)生的.如果兩個(gè)物體都為剛性的，則支承面對(duì)物體的支持力作用點(diǎn)位于兩剛性物體的接觸點(diǎn)A處，此時(shí)xA=0，物體不受滾動(dòng)摩擦作用，而是受靜摩擦力作用[5].當(dāng)然，在現(xiàn)實(shí)生活中，絕對(duì)剛體是不存在的，任何物體在受力作用后，都會(huì)或多或少地發(fā)生一定量的形變，實(shí)際發(fā)生的滾動(dòng)摩擦是一個(gè)更為復(fù)雜的過(guò)程.國(guó)內(nèi)外也有許多學(xué)者對(duì)不同情況下物體所受滾動(dòng)摩擦的成因進(jìn)行了深入研究[6-8]，進(jìn)一步完善了滾動(dòng)摩擦理論.

2 滾動(dòng)摩擦與滾動(dòng)摩擦力

通過(guò)上述討論我們可知滾動(dòng)摩擦對(duì)滾動(dòng)物體的阻礙作用，是由支承面對(duì)物體支持力的力矩造成的，即滾動(dòng)摩擦的實(shí)質(zhì)不是力而是力矩.然而，學(xué)生普遍存在“當(dāng)壓力相同時(shí)，滾動(dòng)摩擦力比滑動(dòng)摩擦力小很多”這一觀念.那么如何理解滾動(dòng)摩擦力這一說(shuō)法呢，我們對(duì)此作以下探討.

圖7 物體在水平外力作用下做純滾動(dòng)

我們以剛性均質(zhì)圓柱體在水平軟支承面上做純滾動(dòng)為例，假設(shè)物體在水平力F作用下做純滾動(dòng)，如圖7所示，根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律有

F-Fs=max

(1)

Iβz=yAFs-xAFN

(2)

FN=mg

(3)

ax=βzr

(4)

其中，m為圓柱體的質(zhì)量，ax是柱體質(zhì)心的加速度，βz是柱體相對(duì)于質(zhì)心軸的角加速度，r為圓柱體半徑，I為圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.通過(guò)上式可解得

從物理學(xué)角度而言，滾動(dòng)摩擦和滑動(dòng)摩擦兩者性質(zhì)并不相同.人們普遍認(rèn)為“當(dāng)壓力相同時(shí)，滾動(dòng)摩擦力比滑動(dòng)摩擦力小很多”，是因?yàn)槿藗兺ǔＪ怯檬刮矬w前進(jìn)所需的外力來(lái)衡量是否省力還是費(fèi)力的.也就是說(shuō)，當(dāng)壓力相同時(shí)，克服物體滾動(dòng)摩擦所需要的外力要比克服物體滑動(dòng)摩擦所需要的外力小得多.我們通常采用滾動(dòng)摩擦力這一說(shuō)法也是為了基于學(xué)生的認(rèn)知水平更好地向?qū)W生解釋輪子、小車等物體的運(yùn)動(dòng)情況.

3 結(jié)語(yǔ)

本文分析了剛體在水平軟支承面上做純滾動(dòng)和軟物體在水平剛性支承面上做純滾動(dòng)兩種情況下所受滾動(dòng)摩擦的成因.分析表明，滾動(dòng)摩擦是一個(gè)物體在另一物體上滾動(dòng)或有滾動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，支承面對(duì)滾動(dòng)體作用力的不對(duì)稱分布所引起的一種阻礙滾動(dòng)的作用，其實(shí)質(zhì)不是力，而是力矩.本文還進(jìn)一步闡釋了如何理解滾動(dòng)摩擦力這一概念，希望對(duì)更全面地認(rèn)識(shí)物體的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)有所幫助.

在實(shí)際課堂中，教師應(yīng)改進(jìn)對(duì)滾動(dòng)摩擦等相關(guān)知識(shí)的教學(xué)，進(jìn)一步完善學(xué)生的知識(shí)體系，對(duì)于學(xué)生有可能產(chǎn)生的困惑和認(rèn)知錯(cuò)誤加以及時(shí)糾正，以正確的教育理念和方法促進(jìn)學(xué)生物理學(xué)科素養(yǎng)的提高.